数理論理学第8回茨城大学工学部情報工学科佐々木稔前回までのあらすじ  命題論理と推論     三段論法論理的帰結背理法クラスによる三段論法の表現  配布資料は以下からダウンロードできます http://sas.cis.ibaraki.ac.jp/sasaki/Logic/ 前回の問題1      以下の前提から命題変数を記号で表し、論理式を導きなさい。また、これらの前提から得られる結論を導き出しなさい．  死刑を怖れる者がいるならば、死刑に犯罪抑止力がある。  死刑に犯罪抑止力があるならば、死刑は正義である。  誤審が防止できていないならば、死刑は正義ではない。 P:「死者を怖れる者がいる」 Q:「死刑に犯罪抑止力がある」 R:「死刑は正義である」 S:「誤審は防止できている」  死刑を怖れる者がいるならば、死刑に犯罪抑止力がある。  P⇒Q  死刑に犯罪抑止力があるならば、死刑は正義である。  Q⇒R  誤審が防止できていないならば、死刑は正義ではない。  ～S⇒～R  対偶を取って、R⇒S  三段論法により、  P⇒S  「死者を怖れる者がいるならば、誤審は防止できている」前回の問題2  次の論証から命題変数を抜き出し、ベン図を用いて関係を図示せよ。また、この論証が妥当かどうか判定せよ。  「彼の言うことはすべてナンセンスだ。ナンセンスはすべて卑劣だ。彼の言うことはすべて卑劣だ。」  P:「彼の言うこと」  Q:「ナンセンスである」  R:「卑劣である」 P R Q 妥当である今週のお題  述語論理命題論理の復習  命題を記号として表現  ブール代数と同様の演算が可能  演算を繰り返して推論を行う     肯定式否定式三段論法背理法三段論法の復習  前提1：「人間はいつか死ぬ」  前提2：「ソクラテスは人間である」  結論：「ソクラテスはいつか死ぬ」命題記号での記述  命題 P ：「人間はいつか死ぬ」  命題 Q ：「ソクラテスは人間である」  結論 R ：「ソクラテスはいつか死ぬ」  すべて基本命題（原子命題）で表すしかない  (P∧Q)⇒R  恒真式ではないが、論証は正しい命題論理の問題点  「ソクラテス」以外でも論証は正しい  命題：「X は Y である」  命題：「Y は Z である」  結論：「X は Z である」  命題論理の問題点  妥当な論証をすべて表記できない  命題の内部構造をより詳細に分析する述語論理  命題にある固体に着目  「固体について何を述べているか」 例  「すべての日本人は人間である。」  「すべての固体について、その固体が日本人ならば人間である。」  「何を述べるか」の部分を固定する  述語述語  述語  個体間の関係や性質を表す  例  「太陽は西に沈む」  「太陽」と「西」が「沈む」という関係で結ばれる  「６は素数である」  「素数である」という性質が「６」に含まれる  関数の形で表記し、真偽を返す  沈む（太陽, 西）、素数（6）、人間（日本人）述語の変数  固体定数  述語の引数が特定の値  a, b, c, ・・・  固体変数  述語の引数が任意の固体定数の代表  x, y, z, ・・・固体定数と固体変数  沈む（太陽, 西）  a:「太陽」、b:「西」  沈む（a, b）  沈む（x, y） 2項述語  素数（6）  c:「6」  素数（ c ）  素数（ x ） 1項述語述語記号  述語記号  述語そのものを記号で表現  P, Q, R, ・・・ 例  沈む（太陽, 西）  P:「沈む」、a:「太陽」、b:「西」  P (a, b)  引数が任意の値の場合、  P (x, y) 述語論理と命題論理の違い  文の内部構造を表現できる 例  「鯨は哺乳類である」  「鯨は水棲動物である」  「鯨は水棲の哺乳類である」命題論理述語論理鯨⇒哺乳類哺乳類(鯨) 鯨⇒水棲動物水棲動物(鯨) 鯨⇒哺乳類∧水棲動物哺乳類(鯨)∧水棲動物(鯨) 高階述語  変数は述語であってもよい  引数に述語がない述語論理  第1階述語論理  引数に述語が1つ存在する述語論理  第2階述語論理  引数に述語が(n-1)個存在する述語論理  第n階述語論理  この授業では第1階述語論理を対象とする高階述語の例  「x は y の父親である」  父親(x, y)  「z は w を知っている」  知っている(z, w)  「z は x が y の父親であることを知っている」  知っている(z, 父親(x, y)) 中間アンケート  学籍番号と氏名は書かなくても構いません  意見、感想を書いてもらえると嬉しいです。