間接証明法

　間接証明法
第１章　数と式
§４　集合と命題
pp.59-61
目標

対偶証明法を用いて証明することができる

背理法を用いて証明することができる
2
キーワード

間接証明法

対偶証明法

背理法

排中律
3
間接証明法

命題　が真であることを直接示すのでは
なく, と同値な命題を考えて真である
ことを示す方法を間接証明法という
✔
高校数学では対偶証明法, 背理法, 数学的帰納法な
どを扱う
✔
これまで真である場合は真と答え, 偽である場合は
反例を挙げてきたが, 真である場合は本来証明を与
える必要がある
4
対偶証明法

命題　に対して対偶　をとって
真であることを示す
逆
裏
対偶
裏
逆
対偶は真偽が一致する
真偽の判定が困難な場合は
5
対偶をとってみよ！
Ex.（対偶証明法）

整数　, について, が奇数ならば積　は
偶数であることを示せ
与えられた命題の対偶をとると
“整数　, について, 積　が奇数ならば　は偶数
”となる.
である
が奇数のとき　, はいずれも　だから
奇数
ある整数　, が存在して
,
と表せる.
6
Ex.（対偶証明法つづき）
, は整数だから　は整数.
したがって, は 2 の倍数.
すなわち, 偶数である.
したがって, 対偶は真.
ゆえに, 元の命題も真.
7
背理法　

命題　に対して　を仮定して矛盾を
導く
✔
元の命題が成り立たないと仮定する
✔
仮定のもとで矛盾を導く
✔
矛盾が生じるのは仮定が間違っているから
背理法の背景には排中律という原理が存在
✔
命題　とその否定　はどちらか一方しか成り立たな
い
8
Ex.（背理法）

が無理数であることを用いて　が無理数で
あることを示せ
が　でないと仮定すると,
無理数
は　有理数
である.
とおくと, 両辺 5 を引けば　.
は有理数であるから　は有理数である.
ところが, 左辺　は無理数であるから矛盾.
したがって, 仮定が間違いであり　は無理数である.
9
演習

教科書p.59-60を解き, p.61を確認しなさい

クリアーpp.32-33を解きなさい

チャート式pp.63-66を解きなさい
10

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