確率･統計Ⅰ

確率･統計Ⅱ
第9回
2つの母集団（1）
母平均の差の検定・推定
1. 母分散が既知の場合
2. 母分散が未知だが等しい場合
3. 母分散が未知で等しくない場合
復習：母平均の検定（母分散既知）
母分散σ2 とする。
母平均μ=μ0 と仮定（帰無仮説 H0）
標本の大きさ n が大きい場合、
または（nが小さくても）
母集団が正規分布に従う場合
X  0
Z
は標準正規分布に従う
 n
母平均の差の検定（母分散既知）
母分散σX2 , σY2 とする。
母平均μX=μY と仮定（帰無仮説 H0）
母集団が正規分布に従う場合・
標本の大きさ n, m が大きい場合
Z
X Y
-（μX-μY）
 X n Y m
2
2
は標準正規分布に従う
母平均の差の検定（母分散既知）
（有意水準5% , 両側検定の場合）
xy
 X 2 n Y 2 m
と ±z0.025 の大小をチェック
つまり
xy
 X n Y m
2
2
と ±1.96 の大小をチェック
［演習］母平均の差の検定（母分散既知）
[1] 二つの都市の小学校1年生男子そ
れぞれ50人, 100人の平均身長を調べ
たところ、116.2cm, 114.8cm であった。
両都市の平均身長に有意差がある
か、有意水準5%で検定せよ。
ただし、身長の標準偏差は両都市と
も5cmとする。
2つの母集団（1）
母平均の差の検定・推定
1. 母分散が既知の場合
2. 母分散が未知だが等しい場合
3. 母分散が未知で等しくない場合
復習:母平均の検定（母分散未知）
① 標本の大きさ n が大きい場合（n≧30）
σ2 のかわりに s2 を用いる以外は同様。
② 母集団が正規分布に従う場合
σ2 の代わりに s2 を用い、正規分布の代
わりに自由度 n-1 の t 分布を用いる。
母平均の差の検定（母分散未知）
標本の大きさ n, m が大きい場合は、
σX2 , σY2 のかわりに標本分散 SX2 , SY2 を
用いて同様にやればよい。
では小標本の場合は？
例によってt分布を用いるのだが、
２つの場合に分ける。
母平均の差の検定（母分散未知）
① σX2 = σY2 と仮定できる場合
X  Y -（μX-μY）
t
S 1 n 1 m
は自由度 n+m-2 の t分布に従う
ただし
(n  1) S X  (m  1) SY
S 
nm2
2
2
2
［演習］母平均の差の検定
（小標本、母分散未知だが等しい場合）
[2] ある缶ジュースをA社とB社が作っているが、サンプ
ルの果汁率を調べたところ、次のようであった：
A社： 12.2, 14.3, 12.6, 13.8, 14.2, 12.7
13.7, 14.0, 12.4, 13.6, 12.8
B社： 12.3, 11.8, 12.4, 13.2, 11.7, 13.4
12.1, 12.6, 12.1, 11.7, 13.6, 12.4
A社とB社の製品の果汁率の平均値に差があるかどう
か、危険率5％で検定せよ。ただしどちらの会社も製
造機械は同じメーカーのものを使用しているとする。
2つの母集団（1）
母平均の差の検定・推定
1. 母分散が既知の場合
2. 母分散が未知だが等しい場合
3. 母分散が未知で等しくない場合
母平均の差の検定（母分散未知）
② σX2 = σY2 と仮定できない場合
X Y
~
t 
SX
2
-（μX-μY）
n  SY m
2
は近似的に t分布に従うとみなせる。
( S X n  SY m)
自由度は
2
2
2
2
( S X n ) ( S Y m)

n 1
m 1
2
2
2
に最も近い整数
（検定としてばかり述べているが、これらの定
理はもちろん推定として使うこともできる。）
たとえば2つの母集団が正規母集団で、母分
散が既知の場合は、
 z0.05 
x  y  (  X  Y )
 X n Y m
2
2
 z0.05
を解いて、平均値の差μX-μYを区間推定できる：
|  X  Y |  | x  y |  z0.05  X n   Y m
2
2
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