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信号とシステム
信号とシステム
システム科学専攻
林和則
• 第 2 章連続時間信号の変換
• 第 3 章サンプリングと z 変換
• 第 4 章 FFT とその応用
• 第 5 章アナログフィルタとディジタルフィルタ
• 第 6 章適応フィルタ
講義資料：http://www.msys.sys.i.kyoto-u.ac.jp/˜kazunori/ss.html
1
信号とシステム
第 3 章サンプリングと z 変換
• 連続な変数に対して連続な値をとる信号 ⇒ アナログ信号
• 離散な変数に対して連続な値をとる信号 ⇒ 離散 (時間) 信号
• 離散な変数に対して離散な値をとる信号 ⇒ ディジタル信号
• サンプリング定理，量子化、離散時間フーリエ変換，z 変換，離散
システムについて説明する．
第 3 章サンプリングと z 変換
2
信号とシステム
標本化と量子化
アナログ信号 x(t) をディジタル信号に変換
• 標本化 (sampling): t を離散化
• 量子化 (quantization): 関数値 x(t) を離散化
sampling
t
第 3 章サンプリングと z 変換
quantization
t
t
3
信号とシステム
インパルス関数列
• インパルス関数列：
dT (t) =
∞
∑
δ(t − kT )
k=−∞
• インパルス関数列のフーリエ級数表示：
∫ T2
∞
∑
2π
2π
1
1
dT (t) =
ck ej T kt , ck =
δ(t)e−j T kt dt =
T − T2
T
k=−∞
インパルス関数列 (周期 T ) のスペクトルはインパルス関数列 (周期
2π
T )
dT(t)
ck
t
T
第 3 章サンプリングと z 変換
2π/T
ω
4
信号とシステム
標本化@時間領域
• アナログ信号 x(t) とインパルス関数列 dT (t) の積：
x
ˆ(t) = x(t)dT (t) =
∞
∑
x(t)δ(t − kT ) =
k=−∞
∞
∑
x(kT )δ(t − kT )
k=−∞
∞
1 ∑
j 2π
=
x(t)e T kt
T
k=−∞
T ：標本化周期，1/T ：標本化周波数
x(t)
t
^
x(t)
t
dT(t)
t
T
第 3 章サンプリングと z 変換
5
信号とシステム
標本化＠周波数領域
ˆ
• x(t) ⇐⇒ X(jω), x
ˆ(t) ⇐⇒ X(jω)
とすると
(
)
∞ ∫ ∞
∞
∑
∑
2π
1
1
2π
ˆ
X(jω)
=
X jω − j k
x(t)e−j(ω− T k)t dt =
T
T
T
−∞
k=−∞
k=−∞
ˆ
X(jω)
はアナログ信号のスペクトル X(jω) とインパルス関数列
( 1)
dT (t) のスペクトルの畳み込み × T
X(jω)
ω
^
X(jω)
ω
ck
2π/T
第 3 章サンプリングと z 変換
ω
6
信号とシステム
標本化定理
1
• 標本化定理 (sampling theorem): 周波数成分が 2T
[Hz] (= Tπ
[rad/sec]) 以下に制限されている信号 x(t) は，T 刻みの時間の信号
値によって完全に定まる．すなわち
x(t) =
∞
∑
k=−∞
第 3 章サンプリングと z 変換
sin Tπ (t − kT )
x(kT ) π
T (t − kT )
7
信号とシステム
標本化定理の証明 (1)
• 帯域制限信号を仮定：
(
X(jω) = 0
ˆ
• X(jω)
は，周期
2π
T
π)
|ω| >
T
ˆ
の周期関数で，X(jω) = T X(jω)
(|ω| ≤ π/T )
∞
∑
ˆ
X(jω)
=
Cˆk e−jkT ω
k=−∞
T
ˆ
Ck =
2π
∫
π
T
1
X(jω)ejkT ω dω
π T
−T
∫ ∞
1
jωt
=
X(jω)e dω 2π −∞
t=kT
= x(kT )
第 3 章サンプリングと z 変換
8
信号とシステム
標本化定理の証明 (2)
ˆ
X(jω)
=
∞
∑
x(kT )e−jkT ω
k=−∞
両辺に T ejωt をかけて ω について積分
( ∞
)
∫ Tπ
∑
jωt
(右辺) =
Te
x(kT )e−jkT ω dω
π
−T
∞
∑
=
k=−∞
∫
T x(kT )
k=−∞
∞
∑
=2
k=−∞
第 3 章サンプリングと z 変換
π
T
ejω(t−kT ) dω
π
−T
sin Tπ (t − kT )
T x(kT )
t − kT
9
信号とシステム
標本化定理の証明 (3)
∫
π
T
(左辺) =
∫
jωt
ˆ
T X(jω)e
dω
π
−T
π
T
=
π
−T
∫ ∞
=
X(jω)ejωt dω
ˆ
(∵ X(jω) = T X(jω),
|ω| ≤ π/T )
X(jω)ejωt dω
−∞
= 2πx(t)
よって
x(t) =
∞
∑
k=−∞
第 3 章サンプリングと z 変換
sin Tπ (t − kT )
x(kT ) π
T (t − kT )
10
信号とシステム
標本化定理の別証明 (1)
x(t) が |ω| >
π
T
に帯域制限されているとすると
x(t) =
となる．|ω| >
1
2π
π
T
∫
∞
X(jω)ejωt dω =
−∞
の X(jω) はそれが周期
∞
∑
X(jω) =
1
2π
2π
T
∫
π
T
X(jω)ejωt dω
π
−T
の周期関数と見なすことで，
Ck e−jkT ω
k=−∞
T
Ck =
2π
∫
π
T
X(jω)ejkT ω dω
π
−T
とかける．これより
Ck = T x(kT )
第 3 章サンプリングと z 変換
11
信号とシステム
標本化定理の別証明 (2)
1
x(t) =
2π
1
=
2π
T
=
2π
=
∫
X(jω)ejωt dω
π
−T
∫
π
T
∞
∑
π
−T
k=−∞
∞
∑
T x(kT )e−jkT ω ejωt dω
∫
π
T
x(kT )
k=−∞
∞
∑
k=−∞
第 3 章サンプリングと z 変換
π
T
ej(t−KT )ω dω
π
−T
sin Tπ (t − kT )
x(kT ) π
T (t − kT )
12
信号とシステム
標本化関数
∫
π
T
∫
ˆ
T X(jω)e
jωt
∞
dω = T
π
−T
∫
jωt
ˆ
X(jω)S(jω)e
dω
−∞
π
T
=
X(jω)ejωt dω
π
−T
S(jω): カットオフ周波数が π/T の理想低域通過フィルタの周波数応答
sin Tπ t
• S(jω) ⇐⇒ s(t) =
: 標本化関数 (sampling function)
πt
s(t)
S(jω)
1
-π/T
0 π/T
第 3 章サンプリングと z 変換
ω
T
-T
0
t
13
信号とシステム
量子化 (1)
• 量子化：アナログ信号 x(t) のサンプル値 x(nT ) の振幅 (実数値) を
有限桁の数値で表すこと
x
ˆQ (n) = Q(ˆ
x(nT ))
– 打ち切り誤差：定められた桁数以下を切り捨てることによる誤差
– 丸め誤差：定められた桁の一つ下の桁で四捨五入することによ
る誤差
^
x(nT)
x(t)
Sampler
Quantizer
^xQ (nT)
Coder
^xB (nT)
A/D コンバータ
第 3 章サンプリングと z 変換
14
信号とシステム
量子化 (2)
^
Q(x)
4∆
3∆
2∆
• 信号の範囲：R
∆
• 量子化ビット数：n
−∆/2
−9∆/2 −7∆/2 −5∆/2 −3∆/2
∆/2
−∆
−2∆
−3∆
3∆/2 5∆/2 7∆/2 9∆/2
x^
• 量子化レベル数：2n
• 量子化ステップサイズ：
R
∆= n
2
−4∆
R
第 3 章サンプリングと z 変換
15
信号とシステム
量子化誤差
• 量子化誤差：
ε=x
ˆQ (nT ) − x
ˆ(nT )
(
)
∆
1
∆
• ε の確率密度関数：
p(ε) =
− ≤ε≤
∆
2
2
∫ ∆2
• 量子化雑音の平均：
mε =
εp(ε)dε = 0
−∆
2
• 量子化雑音の分散：
∫ ∆2
∫
σε2 =
(ε − mε )2 p(ε)dε =
−∆
2
∆
2
−∆
2
∆2
R2
1
ε
dε =
=
∆
12
12 · 22n
2
• SNR (x(t) の平均 0, 分散 σx2 )：
12σx2
σx2
12 · 22n · σx2
; 6n + 10 log 2
SNR = 10 log 2 = 10 log
2
σε
R
R
第 3 章サンプリングと z 変換
16
信号とシステム
離散時間フーリエ変換 (DTFT)
• 以下，離散時間信号 x(nT ) を x(n) と書く
• 正規化角周波数 ω = Ω × T [rad]
(Ω [rad/sec]: 実角周波数，T [sec]: サンプリング周期)
• 離散時間フーリエ変換：
X(jω) =
∞
∑
x(n)e−jωn
n=−∞
• 離散時間フーリエ逆変換：
1
x(n) =
2π
∫
π
X(jω)ejωn dω
−π
• 周波数軸上でのフーリエ級数展開とみればよい（周期: 2π ）
第 3 章サンプリングと z 変換
17
信号とシステム
z 変換
• 両側 z 変換：
∞
∑
X(z) =
x(n)z −n
n=−∞
• 片側 z 変換：
X(z) =
∞
∑
x(n)z −n
n=0
• 級数が収束しないとき，z 変換は存在しない
第 3 章サンプリングと z 変換
18
信号とシステム
z 変換の例 (1)
• 単位ステップ関数：
∞
∑
X(z) =
u(n)z −n =
n=−∞
∞ ( )n
∑
1
n=0
z
=
1
1 − z −1
(|z| > 1)
• 指数関数（右側）
：

an n ≥ 0
x(n) =
0
n<0
X(z) =
∞
∑
n=0
第 3 章サンプリングと z 変換
an z −n =
∞
∑
n=0
(az −1 )n =
1
z
=
1 − az −1
z−a
(|z| > |a|)
19
信号とシステム
z 変換の例 (2)
• 指数関数（左側）
：

0 n ≥ 0
x(n) =
bn n < 0
X(z) =
−1
∑
n −n
b z
=
∞
∑
(b
−1
n0
z)
n0 =1
n=−∞
b−1 z
z
=
=
−1
1−b z
b−z
(|z| < |b|)
• 指数関数（両側）

an n ≥ 0
x(n) =
bn n < 0
X(z) =
−1
∑
n=−∞
第 3 章サンプリングと z 変換
bn z −n +
∞
∑
n=0
an z −n =
z
z
+
b−z
z−a
(|a| < |z| < |b|)
20
信号とシステム
z 逆変換 (1)
• z 逆変換：
1
x(n) =
2πj
I
X(z)z n−1 dz
C
ただし，複素周回積分路 C は収束領域内にとる
• 確認
1
2πj
I
1
X(z)z n−1 dz =
2πj
C
I
∞
∑
x(k)z −k z n−1 dz
C k=−∞
I
1
z n−k−1 dz
=
x(k)
2πj C
k=−∞


I
2πj
= x(n) ∵
z n−k−1 dz =
0
C
∞
∑
第 3 章サンプリングと z 変換

n=k
n 6= k

21
信号とシステム
z 逆変換 (2)
• 零点と極：X(z) が z の有理関数とする
X(z) =
P (z)
, (P (z), Q(z) : z の多項式)
Q(z)
– P (z) = 0 の根：X(z) の零点
– Q(z) = 0 の根：X(z) の極
• X(z) の極を zi (i = 1, 2, · · · , N )，X(z)z n−1 の留数を
]
[
n−1
Res X(z)z
とすると
z=zi
1
x(n) =
2πj
第 3 章サンプリングと z 変換
I
X(z)z
C
n−1
dz =
N
∑
[
]
n−1
Res X(z)z
z=zi
i=1
22
信号とシステム
z 逆変換の例 (1)
X(z) が次で与えられる両側系列 x(n) を求める．ただし，収束領域
(ROC) は 0.7 < |z| < 2．
−0.1z −1 + 3.05z −2
X(z) =
(1 − 0.5z −1 )(1 + 0.7z −1 )(1 + 2z −1 )
部分分数分解より
X(z) =
A
B
C
+
+
1 − 0.5z −1
1 + 0.7z −1
1 + 2z −1
ただし，
A = (1 − 0.5z −1 )X(z)|z=0.5 = 1
B = (1 + 0.7z −1 )X(z)|z=−0.7 = −2
C = (1 + 2z −1 )X(z)|z=−2 = 1
第 3 章サンプリングと z 変換
23
信号とシステム
z 逆変換の例 (2)
X(z) =
2
1
1
−
+
1 − 0.5z −1
1 + 0.7z −1
1 + 2z −1
1
= 1 + a + a2 + · · ·
1−a
for |a| < 1
ROC 内 (0.7 < |z| < 2) で |0.5z −1 | < 1，|0.7z −1 | < 1 なので
∞
∑
1
−1
2 −2
n −n
=
1
+
0.5z
+
0.5
z
+
·
·
·
=
0.5
z
1 − 0.5z −1
n=0
{
}
−2
−1
2 −2
= −2 1 + (−0.7)z + (−0.7) z + · · ·
1 − (−0.7)z −1
∞
∑
= −2
(−0.7)n z −n
n=0
第 3 章サンプリングと z 変換
24
信号とシステム
z 逆変換の例 (3)
ROC 内 (0.7 < |z| < 2) で |2z −1 | > 1
1
0.5z
=
1 + 2z −1
1 + 0.5z
ROC 内 (0.7 < |z| < 2) で |0.5z| < 1
{
}
0.5z
2 2
= 0.5z 1 + (−0.5)z + (−0.5) z + · · ·
1 − (−0.5)z
= −(−2)−1 z − (−2)−2 z 2 − (−2)−3 z 3 + · · ·
=−
−1
∑
(−2)n z −n
n=−∞

−(−2)n
x(n) =
0.5n − 2(−0.7)n
第 3 章サンプリングと z 変換
n<0
n≥0
25
信号とシステム
z 変換の収束領域 (1)
• 級数
∑∞
n=−∞
|x(n)| が有界であれば，X(z) が存在 (@|z| = 1)
|X(z)| ≤
∞
∑
|x(n)| < ∞
n=−∞
• z の極座標表示を z = r · ejω (r > 0, ω ：実数) とすると
∞
∑
X(z) =
x(n)r−n e−jnω
n=−∞
∞
∑
|X(z)| ≤
|x(n)|r−n
n=−∞
∑∞
|x(n)| が有界でなくても，ある大きな r (= |z|) に対して
X(z) が存在（収束領域）
n=−∞
第 3 章サンプリングと z 変換
26
信号とシステム
z 変換の収束領域 (2)
• 収束領域は z 平面内の原点を中心としたリングあるいはディスク
• x(n) のフーリエ変換は，x(n) の z 変換の収束領域が単位円を含む
ときに収束
• 収束領域は極を含まない
• x(n) が有限長の系列のとき，その z 変換の収束領域は z 平面全体
(ただし，z = 0 あるいは z = ∞ を含まないことがある)
• x(n) が右側系列のとき，収束領域は絶対値が最大の極の外側
• x(n) が左側系列のとき，収束領域は絶対値が最小の極の内側
• x(n) が両側系列のとき，収束領域は外側と内側が極で定まるリング
• 収束領域は連結でないといけない
第 3 章サンプリングと z 変換
27
信号とシステム
z 変換の性質 (1)
x(n) ⇐⇒ X(z) (ROC = Rx )，y(n) ⇐⇒ Y (z) (ROC = Ry ) とする
• 線形性：
ax(n) + by(n) ⇐⇒ aX(z) + bY (z),
ROC = Rx ∩ Ry
• 時間シフト：
x(n − k) ⇐⇒ z −k X(z),
ROC = Rx
x(n − k)u(n) ⇐⇒ z −k X(z) + z −k+1 x(−1) + z −k+2 x(−2)+
· · · + z −1 x(−k + 1) + x(−k),
ROC = Rx
• 指数関数の積：
z0n x(n) ⇐⇒ X(z/z0 ),
第 3 章サンプリングと z 変換
ROC = |z0 |Rx
28
信号とシステム
z 変換の性質 (2)
• X(z) の微分：
dX(z)
nx(n) ⇐⇒ −z
,
dz
ROC = Rx
• 複素共役：
x∗ (n) ⇐⇒ X ∗ (z ∗ ),
ROC = Rx
• 時間反転：
x(−n) ⇐⇒ X(1/z),
ROC =
1
Rx
• 畳み込み：
∞
∑
x(k)y(n − k) ⇐⇒ X(z)Y (z),
ROC = Rx ∩ Ry
k=−∞
第 3 章サンプリングと z 変換
29
信号とシステム
z 変換の性質 (3)
• 初期値定理：x(n) = 0 (n < 0) に対して
x(0) = lim X(z)
z→∞
• 信号の積：
1
x(n)y(n) ⇐⇒
2πj
I
(z )
1
X
Y (v) dv
v
v
C
I
(z ) 1
1
X(v)Y
dv ≡ X(z) ∗ Y (z)
=
2πj C
v v
• パーセバルの等式：
∞
∑
1
x(n)y (n) =
2πj
n=−∞
第 3 章サンプリングと z 変換
∗
I
X(z)Y
C
∗
(
1
z∗
)
1
dz
z
30
信号とシステム
定係数線形差分方程式の解法

y(n) = (α + β)y(n − 1) − α · β · y(n − 2), n = 0, 1, 2, · · · , α, β ∈ R
y(−1) = 1, y(−2) = 0
⇓ z 変換
Y (z) = (α + β){z −1 Y (z) + y(−1)} − αβ{z −2 Y (z) + z −1 y(−1) + y(−2)}
⇓ Y (z) について解く
(α + β)z 2 + αβz
Y (z) =
(z − α)(z − β)
⇓ z 逆変換
1
y(n) =
{αn+2 − β n+2 }u(n)
α−β
第 3 章サンプリングと z 変換
31
信号とシステム
線形離散システム (1)
離散システムを，入力 x(n) から出力 y(n) へ写像する演算子 L と見なす
y(n) = Lx(n)
x(n)
L
y(n)
• 線形性：
y1 (n) = Lx1 (n), y2 (n) = Lx2 (n)
とする．任意の係数 α, β に対して
L[αx1 (n) + βx2 (n)] = αLx1 (n) + βLx2 (n)
= αy1 (n) + βy2 (n)
第 3 章サンプリングと z 変換
32
信号とシステム
線形離散システム (2)
• インパルス応答：任意の信号 x(n) は単位インパルス δ(n) を用いて
x(n) =
∞
∑
x(k)δ(n − k)
k=−∞
と書ける．ただし，

1
δ(n) =
0
y(n) = Lx(n) = L
∞
∑
k=−∞
n=0
n 6= 0
x(k)δ(n − k) =
∞
∑
x(k)Lδ(n − k)
k=−∞
Lδ(n − k)：インパルス応答（一般に k に依存→線形時変システム）
第 3 章サンプリングと z 変換
33
信号とシステム
線形離散システム (3)
• 時不変性：h(n) = Lδ(n) とするとき，Lδ(n − k) = h(n − k) であ
れば，入力の k シフトに対して，出力も k シフト
y(n) =
∞
∑
x(k)h(n − k) =
k=−∞
∞
∑
x(n − k)h(k) = x(n) ∗ h(n)
k=−∞
• 因果性：時刻 n の出力 y(n) が n ≥ k なる入力 x(k) のみに依存す
るシステム (h(k) = 0 for k < 0) を因果的 (causal) という
• 安定性：有界な入力に対して有界な出力を生成するシステムは安定
∑∞
(stable) という. システムが安定である条件は k=−∞ |h(k)| < ∞
y(n) =
∞
∑
k=−∞
第 3 章サンプリングと z 変換
x(n − k)h(k) ≤
∞
∑
k=−∞
|x(n − k)| · |h(k)| ≤ M
∞
∑
|h(k)|
k=−∞
34
信号とシステム
定係数線形差分方程式によるシステムの表現
• 入出力関係：時刻 n での出力 y(n) は過去の出力と，過去及び現在
の入力の線形結合
y(n) =
N
∑
k=1
ak y(n − k) +
M
∑
bk x(n − k)
k=0
• IIR (infinite impulse response) システム：
y(n) = 0.3y(n − 1) + x(n),
x(n) = δ(n)
• FIR (finite impulse response) システム：
y(n) = x(n) + 0.5x(n − 1) + 0.25x(n − 2),
第 3 章サンプリングと z 変換
x(n) = δ(n)
35
信号とシステム
伝達関数とインパルス応答
x(n) ⇐⇒ X(z), y(n) ⇐⇒ Y (z) として
Y (z) =
N
∑
ak z −k Y (z) +
k=1
1−
bk z −k X(z)
k=0
∑M
=
M
∑
−k
k=0 bk z
X(z)
∑N
−k
k=1 ak z
= H(z)X(z)
伝達関数：
∑M
H(z) =
1−
−k
k=0 bk z
∑N
−k
k=1 ak z
インパルス応答：h(n) ⇐⇒ H(z)
y(n) =
∞
∑
h(k)x(n − k)
k=−∞
第 3 章サンプリングと z 変換
36
信号とシステム
伝達関数と安定性
因果的システム H(z) が安定となる必要十分条件は，H(z) が単位円内
にのみ極をもつこと
• H(z) が因果的
⇒ インパルス応答 h(n) は右側系列 ⇒ H(z) の収束領域は絶対値が最大の極の外側
• H(z) が安定
⇒ h(n) が絶対可算
⇒ h(n) が離散時間フーリエ変換をもつ
⇒ H(z) の収束領域が単位円を含む
第 3 章サンプリングと z 変換
37
信号とシステム
フーリエ変換とラプラス変換，DTFT と z 変換
z 平面（z = re−jωn ）
s 平面（s = σ + jω ）
Im
Im
ω
1
z
s
r
0
σ
Re
太線上がフーリエ変換
第 3 章サンプリングと z 変換
ω
0
1
Re
太線上が DTFT
38

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