標本分散の標本分布
2

• 標本分散の統計量
の定義
•
 の性質
2
• 分布表の使い方
2

•
分布の信頼区間
自由度調整済み標本分散
1
2
2
2
s 
{( x1  x )  ( x2  x )      ( xn  x ) }
n 1
2
• 期待値
• 分散
•
s
2
E(s 2 )   2
2
V (s ) 
n 1
4
2
は  2の一致推定量である。

2
分布の定義
• Z1 , Z 2 ,  , Z mを独立な標準正規分布N(0,1)に従
う確率変数とする。
  Z1  Z 2      Z m
2
2
2
2
xi   2
 (
)

i 1
m
とすると、確率変数  が従う確率分布を
自由度m=n-1の  2 分布という。ただし、
2
Z
x

標本分散の統計量
•
 の代わりに x を用いたもの
n
  (
2
i 1
xi  x

) 
2
(n  1) s

2
2

nS

2
2
• は自由度が１だけ減り、n-1の  分布をす
る。
2
分布の密度関数
• 自由度ｍのカイ２乗分布の密度関数は
1
2 m / 2 1
f ( ) 
( )
e
m m/ 2
( )2
2
2 /2
2
で与えられる。ただし、ｘ＞0.
m
そのなか、 ( 2 ) はgamma関数である。
 分布の性質
2
• 特性値
E(  )  m
2
V (  )  2m
2
• 加法性：２つの  変量1 と は互いに独立
2
2
2
2
するとき、
2
2
2
2
1  m1 ; 2  m2
(1   2 )  ( m1m2 )
2
2
2
 分布と ｔ 分布の関係
2
x
/
t
/ n
x s
/

/ n 
n
(
i 1
xi  x

) / n 1
2
 分布のグラフと自由度
2
1
3
5
7
9
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
3
5
7
9
11 13 15 17 19 21 23
 分布表の使い方
2
P(   u)  H m (u)
2
• は  2分布表から求められる。
例えばm=10、   0.05 の場合
 (10)   0.025 (10)  3.247
2
2
2
1 (10)   0.975 (10)  20.483
2
2
2
 の信頼係数   1   の信頼区間
2
P(a    b)  1  
2
 P(a 
(n  1) s

2
2
 b)
(n  1) s
(n  1) s
2
 P(
 
)
b
a
2
2
練習問題
• ある正規分布母集団から  50,  2  25で
あるとすると、これからn=10の標本を
2
取ったとき、標本分散 s が50を超える確率
はどれほどか？
標本分布のまとめ
• 標本比率の標本分布
E ( pˆ )  P
Z
P(1  P)
V ( pˆ ) 
n
pˆ  p
p(1  p) / n
N(0,1)
標本平均の標本分布
• 母集団分散既知
E(x )  
x
Z
/ n
V (x) 

N(0,1)
2
n
標本平均の標本分布
• 母分散未知： ｔ 分布(自由度調整済み分散)
2
nS
s 2   ( xi  x ) 2 /(n  1) 
n 1
i 1
n
x
x
Tm 

s / n S / n 1
m
E (Tm )  0, V (Tm ) 
m2
標本分散の標本分布
• 標本分散の特性値
2
E ( s )   ,V (s ) 
n 1
4
2
2
n
  (
2
xi  x
i 1

2
) 
2
(n  1) s

2
2

nS
E(  )  m,V (  )  2m
2
2

2
2

第2章 確率と確率分布

確率･統計Ⅰ

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