統計学

統計学入門２第11回
比率の検定
２母集団の比較
レポート課題

検定を行うような事例を各自で考え、下記のよう
な内容のレポートを作成

分析目的






帰無仮説
対立仮説
データの概略の説明(小さなデータの場合はデータ)
分析結果
解釈
様式：A4用紙２枚以内
今日の内容

検定の手順（復習と確認）



平均の検定
複数の平均の比較
比率の検定
問題１

一世帯あたりの一ヶ月あたりの平均支出
金額が20万円であるかどうかを調べたい
と思った。いまある母集団が設定してあり、
その母集団から大きさ1600の標本を抽出
したところ、平均が22万円で、標準偏差が
5万円だったとする。このとき、平均支出金
額が20万円でないと結論付けられるか。
帰無仮説と対立仮説

帰無仮説


母平均 = 20万円
対立仮説

母平均 ≠ ２０万円
検定統計量と有意水準

検定統計量



検定を行う場合に使用する統計量
帰無仮説の下での(標本)分布を基に、有
意水準に対応する棄却域を設定
検定統計量の実現値に対応する p値を求
め、有意水準と比較
平均の標本分布
(1)
(2)
x の平均は、母集団の平均m
2
x の分散は、  / n
(3a) n が大きいとき、 x の分布は正規分布
(3b) 母集団分布が正規分布であれば、x の
分布は正規分布
帰無仮説と対立仮説

帰無仮説


母平均 = 20万円
対立仮説

母平均 ≠ ２０万円
平均の標本分布
(1)
(2)
x の平均は、母集団の平均２０万
2
x の分散は、  / n
(3a) n が大きいとき、 x の分布は正規分布
(3b) 母集団分布が正規分布であれば、x の
分布は正規分布
検定統計量

平均の検定の場合
x  m0
Z
s/ n
m0
は帰無仮説での母平均
検定統計量

平均の検定の場合（大きな標本の場合）
x  m0
Z
s/ n
帰無仮説の下で、
平均０、分散１の正規分布
検定統計量

平均の検定の場合（大きな標本の場合）
x  m0
Z
s/ n
帰無仮説が正しくなければ、
平均が０でなく、分散１の正規分布
検定の手順





仮説の設定
検定方法（統計量）の決定
有意水準の設定
検定統計量の計算
棄却域との比較(p値の算出)
t 検定

母集団の分布が正規分布であれば…
（標本の大きさに関係なく）
x  m0
Z
s/ n
は帰無仮説の下で自由度(n -1)の t 分布
棄却域

有意水準が５％の場合

自由度(n-1)の t 分布の両側５％点
p 値( p - value ; 有意確率)


帰無仮説の下での分布における、検定統
計量の実現値のパーセント点
あらかじめ決められた有意水準と比較を行
い、検定の結論を下す
正規検定

平均の検定の場合（大きな標本の場合）
x  m0
Z
s/ n
帰無仮説の下で、
平均０、分散１の正規分布
t 検定

母集団の分布が正規分布であれば…
（標本の大きさに関係なく）
x  m0
Z
s/ n
は帰無仮説の下で自由度(n -1)の t 分布
検定の選択

標本が大きいとき


分布が正規分布であるとき


正規検定
t 検定
どちらでもない場合

ノンパラメトリック検定(省略)
複数のグループの比較

2つの場合


2標本検定(p.89-)
t 検定(正規検定)
3つ以上の場合

分散分析(p.94-)
帰無仮説と対立仮説

2グループの場合



帰無仮説：２つの母集団の平均が同じ
対立仮説：２つの母集団の平均が異なる
3グループ以上の場合


帰無仮説：すべての母集団の平均が同じ
対立仮説：いずれかの母集団の平均が
他の母集団の平均と異なる
Excelにおける検定の実践方法

１標本

2標本


t 検定、
3標本以上

分析ツールの分散分析
分析ツール：ｔ検定
分析ツール：ｔ検定
第１標本の
データ
第２標本の
データ
有意水準
分析ツールの出力
t-検定 : 等分散を仮定した２標本による検定
検定統計量の値
両側検定の場合のp値
平均
分散
観測数
プールされた分散
仮説平均との差異
自由度
t
P(T<=t) 片側
t 境界値片側
P(T<=t) 両側
t 境界値両側
変数 1
変数 2
1.857143 3.571429
0.809524 2.952381
7
7
1.880952
0
12
-2.33845
0.018745
1.782287
0.037491
2.178813
分析ツール：分散分析
分析ツール：分散分析
行列形式で
データを入力し
その範囲を指定
列方向に
１グループの
データが並ん
でいる場合
例：分散分析（表5.4, p.95)
例：分散分析（表5.4, p.95)
例：分散分析（表5.4, p.95)
分散分析表
分散分析表
変動要因
変動
グループ間 20750.07
グループ内 9733.8
合計
30483.87
p値
自由度
分散観測された分散比P-値
2 10375.03 28.77868 2.03E-07
27 360.5111
29
検定統計量
2.03E-7 の意味

「E-7」は１０のマイナス７乗

すなわち、
7
2.0310
 0.000000203
仮説




統計的に調べたいと思っている命題
平均が×××である
視聴率が○○○である
A薬とB薬は同じ有効率である
問題２

ある番組の視聴率調査を行うことになった。
無作為に抽出された400人に調査を行った
とき、200人がその番組を見ていた。母集
団の視聴率が、４０％以上であると結論付
けられるか。
帰無仮説と対立仮説

帰無仮説


母比率 = 40%
対立仮説

母比率 > 40%
(母比率 ≦ 40%)
検定統計量

比率の検定の場合
p  P0
Z
P0 (1  P0 ) / n
P0
は帰無仮説での母比率
検定統計量

比率の検定の場合（大きな標本の場合）
p  P0
Z
P0 (1  P0 ) / n
帰無仮説の下で、
平均０、分散１の正規分布
検定統計量

比率の検定の場合（大きな標本の場合）
p  P0
Z
P0 (1  P0 ) / n
帰無仮説が正しくなければ、
平均が０でない正規分布
検定統計量の分布
対立仮説の
下での分布
帰無仮説の
下での分布
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
棄却域の設定


有意水準（α％）と整合する棄却域を設定
する
帰無仮説の下での分布の両側α％点を棄
却域とする
検定統計量

比率の検定の場合（大きな標本の場合）
p  P0
Z
P0 (1  P0 ) / n
帰無仮説の下で、
平均０、分散１の正規分布
例題の解答


帰無仮説:母比率 = 40%(母比率≦40%)
対立仮説:母比率 > 40%
Z
p  P0
P0 (1  P0 ) / n
p  0 .4

0.4(1  0.4) / n
0 .5  0 .4

 4.08
0.4(1  0.4) / 400
棄却域

有意水準が５％の場合

平均0, 分散１の正規分布の両側５％点
±1.96
検定統計量の分布
対立仮説の
下での分布
帰無仮説の
下での分布
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
検定の手順





仮説の設定
検定方法（統計量）の決定
有意水準の設定
検定統計量の計算
棄却域との比較(p値の算出)
p 値( p - value ; 有意確率)


帰無仮説の下での分布における、検定統
計量の実現値のパーセント点
あらかじめ決められた有意水準と比較を行
い、検定の結論を下す
比率の検定

比率の検定の場合（大きな標本の場合）
p  P0
Z
P0 (1  P0 ) / n
帰無仮説の下で、
平均０、分散１の正規分布
複数のグループの比較

2つの場合

2標本の比率の検定

2つの集団の比較



男女間で支持率が違う
男女間で購買する割合が違う
…
２標本の比率の比較
H 0 : PA  PB
H1 : PA  PB
t
p A  pB
 1
1 
p * (1  p*)  
 n A nB 
n A p A  nB p B
p* 
n A  nB
検定方法（p値の計算方法）

検定統計量の帰無仮説での分布は
標準正規分布なので、
p値は標準正規分布に基づいて算出
両側検定の場合；
=(1-NORMSDIST(統計量の値))*2 ;
複数のグループの比較

３つ以上の場合

クロス表の検定で...(最後の講義で)
練習問題１（正しい説明はどれか）
1.
2.
3.
4.
5.
有意水準はできるだけ小さくすべきであ
る
有意確率が有意水準より大きいと帰無仮
説を棄却する
有意水準は収集されたデータを見ながら
決定する
検定の方法はあらかじめ決めておく
第2種の過誤の確率が有意確率である
練習問題2（正しいのはどれか）
2つの番組の視聴率に差があるかどうかの検定を
行い、有意確率が0.01であった。有意水準は
５％とする。
1.
帰無仮説は棄却できない。
2.
有意確率が0.01なので、信頼できる結果があ
られていない
3.
差があると判断する
4.
差があるとはいえない
5.
第2種の過誤の確率が0.01

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