信頼区間と両側検定の関係目次

■信頼区間と両側検定の関係
区間推定とは、母集団の平均値や分散値（真の値）を、ある幅を持って推定することであり、全数調
査でない限り、母集団全体の（真の）平均値や分散値は不明で推定せざるを得ないので、標本のデータ
から推定して、母集団の平均値や分散値の存在する推定値は、この値からこの値までの間に存在するの
ではないか」という推定を行うことである。
信頼区間とは、母集団の平均値や分散値などが存在する考えられる区間（範囲）のことである。検定
の有意水準（危険率）をαとしたとき、帰無仮説 H0 における母集団の平均値や分散値などの値が信頼
率 1－αで存在すると考えられる推定区間のことである。
ここで、次の①と②は同値である。
① 両側検定における検定統計量が帰無仮説 H0 の棄却域にはなく、採択域にあること。
即ち、有意水準αで、両側検定が有意とならないこと。
② 帰無仮説 H0 の値が信頼率 1－αの信頼区間に含まれること、
Z検定推定解説図
N(0,12)
1-α
同値
α/2
α/2
μ0
信頼区間
信頼下限
信頼上限
以下に、各検定方式おいて、上記のことを具体的に解説する。
目次
●Z 検定 1 両側検定と信頼区間の関係
●Z 検定 2 両側検定と信頼区間の関係
●F 検定両側検定と信頼区間の関係
●t 検定 0 両側検定と信頼区間の関係
●t 検定 2 両側検定と信頼区間の関係
-1-
●Z 検定 1
両側検定と信頼区間の関係
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母分散が既知の場合の母平均の検定手順（1 つの母集団）
★検定の仮説
帰無仮説 H0：μ＝μ0，対立仮説 H1：μ≠μ0
有意水準α
★両側検定の棄却域と採択域
検定統計量
u0 
x  0
/ n
x  0
棄却域
R : u0 
採択域
 u ( / 2) 
/ n
 u ( / 2)
x  0
/ n
 u ( / 2)
･････式(1)
★推定の手順
＊母平均μの点推定
̂  x
＊母平均μの区間推定
信頼上限
信頼下限
ˆU  x  u ( / 2)
ˆ L  x  u ( / 2)

n

n
★信頼区間
信頼率 1－αの母平均μの信頼区間は、

x  u ( / 2)
n
   x  u ( / 2)

n
この信頼区間が帰無仮説の値μ0 を信頼区間の内部に含んでいるとき、次の式(2)が成り立つ。

x  u ( / 2)
n
 0  x  u ( / 2)

･････式(2)
n
この式(2)を変形すると，
 u ( / 2)

 u ( / 2) 
 x  0  x  u ( / 2)
n
x  0
/ n

n
 u ( / 2)
･････式(3)
ここで、式(3)は両側検定の採択域の式(1)と同一である。
以上より、
式(2)は、①「帰無仮説の値μ0 が信頼率 1－αの信頼区間に含まれること」を意味する。
式(1)(3)は、②「検定統計量 u0 が帰無仮説 H0 の採択域にあること」
即ち、
「有意水準αの両側検定で有意にならないこと」を意味する。
①と②は、同値であることが分かる．
-2-
★解説図
Z検定推定解説図
式(2)
式(1)(3)
N(0,12)
1-α
同値
α/2
α/2
μ0
信頼区間
信頼下限
信頼上限
信頼率 1－αの信頼区間に比較値μ0 が含
まれていれば、帰無仮説 H0 が採択される。
検定統計量 u0 が帰無仮説 H0 の採択域
にある。
有意水準αの両側検定では有意にならない。
母平均μは比較値μ0 と異なるとは言えない。
-3-
●Z 検定 2
両側検定と信頼区間の関係
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母分散が既知の場合の母平均の差の検定手順（2 標本）
★検定の仮説
帰無仮説 H0：μ1＝μ2，対立仮説 H1：μ1≠μ2
有意水準α
★両側検定の棄却域と採択域
棄却的域
x1  x2
u0 
検定統計量
 12
 22

n1
n2
| x1  x2 |
R :| u0 |
 12
n1

 22
n2
 u ( / 2) 
両側検定の採択域
 u ( / 2)
x1  x2
1
2
n1

2
 u ( / 2)
2
･････式(1)
n2
★推定の手順
＊母平均の差μ1－μ2 の点推定
ˆ1  ˆ 2  x1  x2
＊母平均の差μ1－μ2 の区間推定（信頼率 1－α）
信頼上限
( 1   2 )U  ( x1  x2 )  u ( / 2)
信頼下限
( 1   2 ) L  ( x1  x2 )  u ( / 2)
 12

 22

 22
n1
 12
n1
n2
n2
★信頼区間
信頼率 1－αの母平均μ1－μ2 の信頼区間
( x1  x2 )  u ( / 2)
 12
n1

 22
n2
 1   2  ( x1  x2 )  u ( / 2)
 12
n1

 22
n2
･････
式(2)
この式(2)を変形すると，
 u ( / 2)
 12

n1
 22
n2
 ( x1  x2 )  ( 1   2 )  u ( / 2)
 12
n1

 22
n2
ここで、母平均μ1－μ2 が帰無仮説の採択域にあるときは、μ1－μ2＝0 であるから、
 u ( / 2)
 12

n1
 22
n2
 x1  x2  u ( / 2)
 12
n1

 22
n2
この式を変形して、
 u ( / 2) 
x1  x2
 12
n1

 22
 u ( / 2)
･････式(3)
n2
ここで、式(3)は両側検定の採択域の式(1)と同一である。
-4-
以上より、
式(2)は、①「帰無仮説の値μ1－μ2 が信頼率 1－αの信頼区間に含まれること」を意味する。
式(1)(3)は、②「検定統計量 u0 が帰無仮説 H0 の採択域にあること」
即ち、
「有意水準αの両側検定で有意にならないこと」を意味する。
上記の①と②は、同値であることが分かる．
★解説図
式(2)
同値
信頼率 1－αの信頼区間に 0 が含まれて
いれば、帰無仮説 H0 が採択される。
式(1)(3)
検定統計量 u0 が帰無仮説 H0 の採択域
にある。
有意水準αの両側検定では有意にならない。
二つの母平均μ1，μ2 の差があるとは言えない。
-5-
●F 検定両側検定と信頼区間の関係
★検定の仮説
帰無仮説 H0：σ12＝σ22
対立仮説 H1：σ12≠σ22
有意水準α
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（両側検定）
（等分散の検定）
★両側検定の棄却域と採択域
検定統計量
V1
V2
F0 
V2
V1
or
棄却域
V1
 F (1 ,2 ; / 2)
V2
V
Vl＜V2 のとき F0  1  F (1 ,2 ;1   / 2)
V2
Vl≧V2 のとき F0 
両側検定の採択域
F (1 ,2 ;1   / 2) 
V1
 F (1 ,2 ; / 2)
V2
･････式(1)
★推定の手順
＊母分散の比  1 /  2 の点推定
2
2
ˆ12 V1

ˆ 2 2 V2
＊母分散の比  1 /  2 の区間推定（信頼率 1－α）
2
信頼上限
信頼下限
2
V
2
2
( 1 /  2 )U  F (2 ,1 ; / 2)・ 1
V2
V
V
1
2
2
( 1 /  2 ) L 
・ 1  F (2 ,1 ;1   / 2)・ 1
F (1 ,2 ; / 2) V2
V2
★信頼区間
信頼率 1－αの母分散比  1 /  2 の信頼区間
2
2
V 
V
・ 1  1 2  F (2 ,1 ; / 2)・ 1
F (1 ,2 ; / 2) V2  2
V2
2
1
･････式(2)
この式(2)を変形すると，
V 
 2 1 2  F (2 ,1 ; / 2)
F (1 ,2 ; / 2) V1  2
2
1
ここで、母分散比  1 /  2 は帰無仮説の採択域にあるときは、  1 /  2  1.0 であるから、
2
1
F (1 ,2 ; / 2)

2
2
V2
 F (2 ,1 ; / 2)
V1
この式を変形すると，
F (1 ,2 ; / 2) 
V1
1

 F (1 ,2 ;1   / 2)
V2 F (2 ,1 ; / 2)
-6-
2
F (1 ,2 ;1   / 2) 
V1
 F (1 ,2 ; / 2)
V2
･････式(3)
ここで、式(3)は両側検定の採択域の式(1)と同一である。
以上より、
式(2)は、①「帰無仮説の母分散の比  1 /  2 が信頼率 1－αの信頼区間に含まれること」を意味す
る。
式(1)(3)は、②「検定統計量 t0 が帰無仮説 H0 の採択域にあること」
即ち、
「有意水準αの両側検定で有意にならないこと」を意味する。
上記の①と②は、同値であることが分かる。
2
2
★解説図
式(2)
式(1)(3)
同値
信頼率 1－αの信頼区間に 1 が含まれて
いれば、帰無仮説 H0 が採択される。
検定統計量 F0 が帰無仮説 H0 の採択域
にある。
有意水準αの両側検定では有意にならない。
二つの母分散σ12，σ22 が異なるとは言えない。
-7-
●t 検定 0
両側検定と信頼区間の関係
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1 標本の母平均と基準値との差の検定（母分散σ2 未知）
★検定の仮説
帰無仮説 H0：μ＝μ0
有意水準α
対立仮説 H1：μ≠μ0（両側検定）
★両側検定の棄却域と採択域
検定統計量
t0 
x  0
V /n
棄却的域 R： t0  t ( , )
自由度 φ＝n－1
 t ( , ) 
両側検定の採択域
★推定手順
＊母平均μの点推定
点推定
̂  x  
x  0
V /n
 t ( , )
･････式(1)
xi
n
＊母平均μの区間推定（信頼率 1－α）
信頼上限
信頼上限
V
n
V
 L  x  t ( , )
n
U  x  t ( , )
ただし，φ＝n－1
★信頼区間
信頼率 1－αの母平均μの信頼区間
x  t ( , )
V
V
   x  t ( , )
n
n
この信頼区間が帰無仮説の値μ0 を信頼区間の内部に含んでいるとき、次の式(2)が成り立つ。
x  t ( , )
V
V
 0  x  t ( , )
n
n
･････式(2)
この式(2)を変形すると，
 t ( , ) 
x  0
V /n
 t ( , )
･････式(3)
ここで、式(3)は両側検定の採択域の式(1)と同一である。
以上より、
式(2)は、①「帰無仮説の値μ0 が信頼率 1－αの信頼区間に含まれること」を意味する。
式(1)(3)は、②「検定統計量 t0 が帰無仮説 H0 の採択域にあること」
即ち、
「有意水準αの両側検定で有意にならないこと」を意味する。
①と②は、同値であることが分かる．
-8-
★解説図
式(2)
式(1)(3)
同値
信頼率 1－αの信頼区間に比較値μ0 が含
まれていれば、帰無仮説 H0 が採択される。
検定統計量 t0 が帰無仮説 H0 の採択域
にある。
有意水準αの両側検定では有意にならない。
母平均μは比較値μ0 と異なるとは言えない。
-9-
●t 検定 2
両側検定と信頼区間の関係
→目次へ
σ12 とσ22 は未知だが、σ12＝σ22 と考えられる場合
★検定の仮説
帰無仮説 H0：μ1＝μ2
対立仮説 H1：μ1≠μ2 （両側検定）
★両側検定の棄却域と採択域
検定統計量
t0 
x1  x2
1 1
V   
 n1 n2 
棄却的域 R： t0  t ( , )
φ1＝n1－1
自由度 φ＝φ1＋φ2
両側検定の採択域
 t ( , ) 
x1  x2
1 1
V   
 n1 n2 
φ2＝n2－1
 t ( , )
･････式(1)
★推定手順
＊母平均の差μ1－μ2 の点推定
1  2  x1  x2
＊母平均の差μ1－μ2 の区間推定（信頼率 1－α）
自由度 φ＝φ1＋φ2＝n1＋n2－2
信頼上限
1 1
( 1   2 )U  ( x1  x2 )  t ( , ) V   
 n1 n2 
信頼下限
1 1
( 1   2 ) L  ( x1  x2 )  t ( , ) V   
 n1 n2 
★信頼区間
信頼率 1－αの母平均μ1－μ2 の信頼区間
1 1
1 1
x1  x2  t ( , ) V     1   2  x1  x2  t ( , ) V   
 n1 n2 
 n1 n2 
･････
式(2)
この式(2)を変形すると，
1 1
1 1
 t ( , ) V     x1  x2  ( 1   2 )  t ( , ) V   
 n1 n2 
 n1 n2 
ここで、母平均μ1－μ2 が帰無仮説の採択域にあるときは、μ1－μ2＝0 であるから、
1 1
1 1
 t ( , ) V     x1  x2  t ( , ) V   
 n1 n2 
 n1 n2 
この式を変形して、
 t ( , ) 
x1  x2
1 1
V   
 n1 n2 
 t ( , )
･････式(3)
ここで、式(3)は両側検定の採択域の式(1)と同一である。
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以上より、
式(2)は、①「帰無仮説の値μ1－μ2 が信頼率 1－αの信頼区間に含まれること」を意味する。
式(1)(2)は、②「検定統計量 t0 が帰無仮説 H0 の採択域にあること」
即ち、
「有意水準αの両側検定で有意にならないこと」を意味する。
上記の①と②は、同値であることが分かる．
★解説図
式(1)(3)
式(2)
φ=φ1＋φ2
同値
信頼率 1－αの信頼区間に 0 が含まれて
いれば、帰無仮説 H0 が採択される。
検定統計量 t0 が帰無仮説 H0 の採択域
にある。
有意水準αの両側検定では有意にならない。
二つの母平均μ1，μ2 が異なるとは言えない。
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