カイ二乗検定 汪 金芳 千葉大学大学院・理学研究科 カイ二乗検定 – p.1/9 多項分布 一回の試行におけるすべて可能な結果は ̽ ̽ Ì ·½ はすべて異なる Ô Pr Ì ½ ·½ この試行を Ò 回独立に行い， Ì ·½ を Ì の出現回数とする。 多項分布 ½ ´Ü½ ¡¡¡ Ü µ È È ·½ ·½ 注意： Ô ½ , ½ ½ Ü Pr ½ ܽ Ò ·½ ½ ½ É ·½ Ü Ü ÔÜ Ò. カイ二乗検定 – p.2/9 多項分布における推測 多項分布 ÅÆ ´Ò Ô½ ¡ ¡ ¡ Ô ½ において、Ô½ ´Ü½ µ ¡¡¡ Ü µ Ò ·½ ½ ½ É ·½ Ü ÔÜ Ô を知りたい。 サイコロを投げる試行において、次の仮説成り立つか？ Ô½ ½ Ô¾ ½ ¡¡¡ Ô ½ より一般的に, 次の仮説を検定したい 帰無仮説： Ô½ È ¼ Ô ½. ここで、 ·½ ½ Ô¼½ Ô¾ Ô¼¾ ¡ ¡ ¡ Ô ·½ Ô¼ ·½ カイ二乗検定 – p.3/9 Pearson カイ二乗検定統計量 多項分布 ÅÆ ´Ò Ô½ ¡ ¡ ¡ Ô ½ µ ´Ü½ ¡¡¡ Ü À¼ Ô Ô¼ 帰無仮説 検定統計量 ¾ ·½ ½ À¼ が成り立つときに、 ¾ µ Ò ·½ ½ ½ É ·½ Ü ÔÜ ½ ¡¡¡ · ½ ´Ü ÒÔ¼ µ¾ ÒÔ¼ は小さくなる カイ二乗検定 – p.4/9 ¾ 期待値 ¾¡ 検定統計量の性質 ´ ·½ ´Ü ½ ·½ ½ ½ ÒÔ¼ µ ¼ ¾ ÒÔ ÒÔ¼ µ ÒÔ ´½ Ô µ · Ò¾ ´Ô Ô¼ µ¾ À¼ が成り立つときに、 ¾¡ ·½ ½ ·½ ½ ½ ÒÔ¼ ÒÔ¼´½ Ô µ · Ò¾ ´Ô¼ Ô¼ µ¾ ´½ Ô¼µ ·½ ½ カイ二乗検定 – p.5/9 漸近分布 Ò が大きいとき 帰無仮説 À¼ Ô ½ ¡¡¡ · ½ Ô¼ が成り立つならば 検定統計量 ¾ ·½ ½ ´Ü ÒÔ¼ µ¾ ÒÔ¼ は、近似的に、自由度 のカイ二乗分布に従う。 カイ二乗検定 – p.6/9 カイ二乗適合度検定 有意水準 « に対し、 ¾ ½ « ´ µ を自由度 ¾ È ·½ ´Ü ÒÔ µ のカイ二乗分布の ½¼¼´½ «µ パーセン ト点とし、 ¼ ¾ ½ ¾ ½ « ÒÔ¼ 帰無仮説 À¼ Ô Ô¼ ´ µ ならば、 ½ ¡ ¡ ¡ · ½ を棄却する。 カイ二乗検定 – p.7/9 Mendelian Theory の検証 1/2 ある種のエンドウを形と色で次のように分類できるという。 形 丸 丸 角 角 色 黄 緑 黄 緑 理論比 9 3 3 1 Table 1: メンデルの理論 カイ二乗検定 – p.8/9 Mendelian Theory の検証 2/2 形 丸 丸 角 角 Ò 色 黄 緑 黄 緑 実験データ Ü 315 108 101 32 理論値 ÒÔ¼ 312.75 104.25 104.25 34.75 帰無仮説 Ô¼ 9/16 3/16 3/16 1/16 ¿½ · ½¼ · ½¼½ · ¿¾ ¾ ´¿µ ¾ ´¿µ ½ ½ « ¼ ´¿½ ¿½¾ µ¾ ´½¼ ½¼ ¾ µ¾ ´½¼½ ½¼ ¾ µ¾ ´¿¾ ¿ ¾ · · · ¿½¾ ½¼ ¾ ½¼ ¾ ¿ ¾ ¼ ¾½ «´¿µ より、メンデルの理論を棄却でき µ¾ ない カイ二乗検定 – p.9/9
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