スライド 1

2009年度電磁波工学
21
平面波の反射と屈折
完全導体面による反射
［定義］
入射角･･･入射波の方向と境界面の法線方向がなす角：qｉ
入射面･･･入射波の方向と境界面の法線方向を含む平面 TM
H
• TE波（直交偏波）・・・電界が入射面に垂直なy成分のみを持つ平面波。
• TM波（平行偏波）・・・磁界が入射面に垂直なy成分のみを持つ平面波。
すなわち，電界はxz面（入射面）内にある。
x
E
TE
y
Ey
qi
H
注＆復）基準は入射面。偏波は電界の振動方向。
v
y
完全導体表面(x=0)では式(1.43)［導体表面では電界
は法線方向成分のみ］が成立しなければならない。
［ TE波（直交偏波）］
電界はy方向成分のみで表される。
1) 電磁界の比は界インピーダンスh0
z
0
 x
完全導体
u
iu
i
i
E  yˆ E exp   jk 0 u  
（|Ey/Hz|＝±h0）
u
(1)
i
2) 電界方向(y方向)と波の伝搬方向(u方
向）の双方に垂直な方向はu及びy方
向ベクトルの外積方向（ｕ軸からy軸へ
右ねじを回して進む方向）
 x ' z '  u '  (3)
 x 'i u  z 'i u  u 'i u
入射波のみ
では不可能
→反射波と
の重ね合わ
せで充足
z
1 ˆ
E
i
H 
i u  E  ˆi u  yˆ
exp   jk 0 u  
i
h0
h0
上付きの
i は入射波を表す。
 i uは， u 方向単位ベクトル
k
  x ' cos q i  z ' sin q i  u '
 k

(3.3)
← 座標変換
ˆi は， uˆ 方向の単位ベクトル
u
k


 x ' cos q i  z ' cos   q i   u '
 2

x
x
(2)
z
:
  k 0 cos q i
:
k
z
qi
 k 0 sin q i
u
k0
2009年度電磁波工学
22
E , H であれば接線
方向成分が連続
入射波が完全導体面上に表面電流を誘起→表面電流が二次電界を放射・・・反射波
k : k z  k 0 sin q i
1) z 表面電流，放射電界を順に求める方法・・・反射体形状が複雑な場合には有効
※
2) 入射波を既知とし，反射波を未知数を含む形で仮定し，境界条件を適用して未知数を求める方法
q
i
y方向には構造の変化が無いので
k
x
:
 k
k0
  k 0 cos q i
x
E y x, z   X ( x)Z ( z )


(4)
２次元ヘルムホルツ方程式
2
2
 Ey
 Ey
 Z
EZ  X ,


X
2
2
2
Hy 2
x
x
z
z
Ey 2
2
 X
 Z
2
Z

X qi 2  k 0 XZ  0
2
x H
z
v
2
－ｘ方向
(6 a )

(6b )
 E y  x , z   E y exp  jk 0 cos q i x  exp   jk 0 sin q i z 
i
x
( 5 ) と置き，変数分離法で解を求めると，
 exp jk x x  exp  jk 0 cos q i x  
i
 0 と置き，教科書式(2.43)より次式を得る。
y
2
 2

2 
 2 
E y  0

k
0 
2
 x

z


 i 
i
i
Z  exp  jk z z   exp   jk 0 sin q i z 
X

1  X
i
v  x  z
E y  x , z   E y exp   jk 0 cos q r x  exp   jk 0 sin q r z  
r
r
i
r
Ey  Ey  Ey

(8 )
(7 )
1  Z
2
2
z
y 2  k x z k z  0
2
X x
Z z
0
2
2
 X
 Z
2
2

k
X

0
,
 k z Z 完全導体
0
x
2
2
x

z

x
u
X  A exp(  jk x x )  B exp( jk x x )
u
Z  A ' exp(  jk z )  Bi'uexp( jk z )
2
＋ｚ方向
ここで，反射波の電界成分を以下のように仮定する。
2
＋ｘ、＋ｚ方向
・・・入射波と反射波の重ね合わせが総合電磁界
2


z

z
A exp   jkx  ・・・+x方向に進む波動
反射波は，x及びzの正方向へ伝搬するので理にかなっている。また，式(4)も満たす。
A exp   jkx  ・・・－x方向に進む波動
r
 変数は E yと q r である。
境界条件 (1.43) より，
(1)
nˆ  E
0

( 9 ) と式(8)を用いて，電界の境界面（x=0面）での接線成分が０となると置く。
 E exp   jk 0 sin q i z   E exp   jk 0 sin q r z   0
i
r
at x  0

(10 )
2009年度電磁波工学
 E exp   jk 0 sin q i z   E exp   jk 0 sin q r z   0
i
r
at x  0

式(10)がz=－∞とz=∞で成立するには，同式のz依存性がなくならねばならないので，exp( )
の項が等しくなるように選ぶ。（位相整合）
qi  qr

E E 0
i
※）境界面上
(11 )
r

(12 )
 E  E
i
( x  0 )では入射波と反射波の
← 電界振幅は逆位相
r
･･･ exp( )の項を等しくしたので式(10)からexp( )の項を消去出来る。
（位相整合条件）
以上の条件より，反射
波は下記のように書け
r
i
E   E yˆ exp  j   k 0 cos q i x  k 0 sin q i z  
H 
r
1
h0
位相が常に等しい。
る。
(13 )
i
E
i v  Eˆ r  
i v  yˆ exp  j   k 0 cos q i x  k 0 sin q i z  
h0
(14 )
従って，総合電磁界は，以下のようになる。
i
EE E
i
r
H H H
i
 yˆ 2 jE sin  k 0 cos q i x  exp   jk 0 sin q i z  
r

2E
h0
i
xˆ
(15 )
j sin q i sin  k 0 cos q i x   zˆ cos q i cos  k 0 cos q i x  exp   jk 0 sin q i z  
(16 )
x一定でz変化のみ・・・位相定数k0sinqiの平面波 → 進行波
z一定でx変化のみ･･･極大点，ゼロ点の位置が時間に依存しない。 → 定在波
［ TM波（平行偏波）］
TE波の場合と同様に解析できる。
［補足－２０，２１］参照
課題
１．TM波の場合について，式(15)及び(16)に対応する総合電磁界を求めよ。
(10 )
23
領域 I : E exp  jk 1 cos q i x  exp   jk 1 sin q i z   E exp   jk 1 cos q r x  exp   jk 1 sin q r z  
i
2009年度電磁波工学
r
領域 II : E exp  jk 2 cos q t x  exp   jk 2 sin q t z  
t
(+x,+z)
(-x,+z)
完全導体の場合と同様に，境界面(x=0)の領域I及びII側の電界の
接線成分は領域Iでは入射波と反射波，領域IIでは透過波が存在し，
Ey
その重ね合わせとして次式のようになる。
領域 I : E exp   jk 1 sin q i z   E exp   jk 1 sin q r z 
r
領域 II : E exp   jk 2 sin q t z 
t
 上付き添え字の
であることを示す。
at
x0

at
x0

24
(18 )
２種類媒質の平面境界における反射と屈折
i
(17 )
x
領域I：(1) e1, m1
H
qi
uˆ
qr
vˆ
(17 )
z
(18 )
y
i, r および t は，それぞれ入射，反
射，透過波の成分
wˆ
(-x,+z)
qt
領域II：(2) e2, m2
境界条件より，式(17)と(18)が等しいとした次式が，zが（-∞，∞）で等しくなる
にはexp（）の中身が等しくならねばならない。（位相整合の条件）
EyまたはEz
E exp   jk 1 sin q i z   E exp   jk 1 sin q r z   E exp   jk 2 sin q t z  
i
r
t
境界条件より，
 k 1 sin q i  k 1 sin q r  k 2 sin q t

( 20 )
 k1   e 1 m 1 ,

( 21 )
また，式
k2   e 2m2
(20) より次式が成り立つ。
q i  q r , n1 sin q i  n 2 sin q t

［境界条件］
(19 )
 E , H  接線成分
が境界面で連続

 D , B  法線成分
 k 1  n1 k 0
 
 k 2  n 2 k 0
( 23 )
※屈折率 : n i 
ki
k0

e imi
e 0m0

( 22 )
を定義すると，
式(20)はスネルの法則に一致する。
2009年度電磁波工学
25
x
領域I：(1) e1, m1
［ TE波（直交偏波）］
入射（Ei, Hi)，反射（Er, Hr)及び透過（Et, Ht)波の電磁界は次式で表される。
－
[ 入射波 ]
＋
uˆ
i
i
E  E yˆ exp  j  k 1 cos q i x  k 1 sin q i z  
H 
1
i
h1
＋
1
i
E   xˆ sin q i  zˆ cos q i  exp  j  k 1 cos q i x  k 1 sin q i z  
h1
qi
qwrˆ
y
＋
i
vˆ
領域I：(1) e1, m1
uˆ
E  RE yˆ exp  j  k 1 cos q i x  k 1 sin q i z  
r
qr
x
( 23 )
i
E uˆ  yˆ exp  j  k 1 cos q i x  k 1 sin q i z  
[ 反射波 ]
qi
( 24 )
vˆ
x
qt 領域I：(1) e , m
1
1
H 
1
t
h2
hi 
t
2
ei
,
i 1
1
h2
TE
i
  xˆ sin
wˆ
q t  zˆ cos q t  exp  j  k 2 cos q t x  k 2 sin q t z  
qt
A×B
or
2

( 29 ),
領域II：(2) e2, m2
反射係数，（振幅）透
R , T は，それぞれ（振幅）
B
uˆ   xˆ cos q i  zˆ sin q i
( 26 )
z
t
i
TE wˆ  yˆ exp  j  k 2 cos q t x  k 2 sin q t z  
mi
z
( 25 )
領域II：(2) e2, m2 y
1
1
r
i
i
H 
RE vˆ  yˆ exp  j  k 1 cos q i x  k 1 sin q i z  
RE   xˆ sin q i  zˆ cos q i  exp  j  k 1 cosqqi i x  k 1qsin
q z  
r
wˆ vˆ i
uˆ
h1
h1
qt
[ 透過波 ]
－
＋
t
i
領域II：(2) e2, m2 y
E  TE yˆ exp  j  k cos q x  k sin q z   ( 27 )
2
z
A
uˆ  yˆ    xˆ cos q i  zˆ sin q i   yˆ    xˆ cos q i   yˆ  zˆ sin q i  yˆ   zˆ cos q i  xˆ sin q i

( 30 )
vˆ  xˆ cos q i  zˆ sin q i
vˆ  yˆ   xˆ cos q i  zˆ sin q i   yˆ  xˆ cos q i  yˆ  zˆ sin q i  yˆ  zˆ cos q i  xˆ sin q i


過係数
No.23の式(3)から
(3.3)の変換参照
外積A×Bの方向・・・Aベクトル
からBベクトルの方向に右ねじ
を回したときに進む方向
( 31 )
wˆ   xˆ cos q t  zˆ sin q t
wˆ  yˆ    xˆ cos q i  zˆ sin q t   yˆ    xˆ cos q i   yˆ  zˆ sin q t  yˆ   zˆ cos q i  xˆ sin q t
( 28 )
( 32 )
2009年度電磁波工学
26
領域 I 内での電磁界
( E I , H I ) 及び領域 II 内での電磁界
( E II , H II )は，次式で表される。
E I  E  E , H I  H  H  ( 33 )
i
r
i
r
E II  E , H II  H  ( 34 )
t
t
x=0面での境界条件より，x=0と置いて各領域側での電磁界の接線成分（電界はy成分，磁界はz成分）
が等しいとして，次式が得られる。

1
h1
cos q i exp  jk 1 sin q i z  
R
h1
cos q i exp  jk 1 sin q i z   
1
h2
T cos q t exp  jk 2 sin q t z  
exp  jk 1 sin q i z   R exp  jk 1 sin q i z   T exp  jk 2 sin q t z  
( 35 )
( 36 )
式(20)の位相整合条件を適用するとexp（）の項は打ち消し合い，次のようになる。
1
h1
1  R  cos q i
1 R  T


1
h2
T cos q t

( 37 )
( 38 )
式(37)と(38)を連立して解くことにより，TE入射波の場合反射係数，透過係数は下記のように求まる。
R
T
TE
TE


h 2 cos q i  h 1 cos q t
h 2 cos q i  h 1 cos q t
2h 2 cos q i
h 2 cos q i  h 1 cos q t

( 39 )
x
Ey

( 40 )
H
qi
v
y
TM偏波は［補足－21,22］参照
z
0
w
z
2009年度電磁波工学
27
x
各媒質の透磁率はm0に等しく，誘電率は実数 → RTE=0あるいは RTM=0となるための条件（無反射条件）
領域I：(1) e1, m1
m0
h1 
uˆ
R
TE
R
TM
e1
qi
 h1 
m0
,h2 
qr
e2
vˆ
1
m0
n1
e0
h2 
,
e 1m 0
, n1 
e 0m0
1
m0
n2
e0 z

e1
e0

, n2 
e 2m0
e 0m0

R
e2
e0
( 43 )
TE

h 2 cos q i  h 1 cos q t

h 2 cos q i  h 1 cos q t
( 39 )
h cos q t  h 1 cos q i
TM
R
 2
スネルの法則
n sin q  n 
sin q(t 41
) ( 46 )'
h 2 cos q t 1 h 1 cosi q i 2
 0の為には，y
h 2 cos q i  h 1 cos q t  0  n1 cos q i  n 2 cos q t
wˆ
 0の為には，

式(39)及び(41)より
2 ［分子］=0
( 44 )
qt
h 2 cos q t  h 1 cos q i  0  n1 cos q t  n 2 cos q i  ( 45 )
n 
2
2
領域II：(2) e2, m2
式 ( 44 )より，  1  cos q i  cos q t
また，TM(平行偏波)入射の場合について，式(46)’と(45)をかけ合わせると，反射係数が0となる場合の入射角と透過角の関係が求まる。
n
cos q i sin q i  cos q t sin q t  0
qi  qt 


 2 cos q i  q t  sin q i  q t   0
「重要」
R
TM
TE
0
0

(47)
2

q i  tan
2

1
1
 n2 


n 
 1
1
sin q i 
sin q t
2
n 
2
2
2
式 (46)' より， cos q t  1  sin q t  1   1  sin q i
 n2 
 ( 46 )' を用いて，q を消去すればTM(平行偏波)入射の場合にのみ反射係数が0
t
n2
n1 sin q i  n 2 sin q t
ここで，スネルの法則
となる入射角が存在する。
R


2
( 46 )
 n1 


 n   1  境界が存在しない。
 2
n1

2
式 (47) より，
q  q n 
 n1 
2
2

 cos] q i  sin q i   21   1

[ブルースター角
n 
 n   
式 (45) より， cos q  
cos  2 q    sin q
 2
2

t

i
t
i


i
sin q
TE入射では無反射状態は存在しない!!
 ( n cos q  ) n sin q  n cos q ,
 tan q 
i
1
t
1
i
2
i
cos q i
i
n2
n1
ブルースター角でTE波(直交偏波)およびTM波(平行偏波)が入射した場合，TE波のみが反射される。→［偏光角］
※）無反射はTM偏波のみで存在するので偏波が分離される事に由来する。
2009年度電磁波工学
n1 sin q i  n 2 sin q t  ( 46 )'
スネルの法則
28
各媒質の透磁率はm0に等しく，誘電率は実数である → RTE=1， RTM=1となるための条件（全反射条件）
式(39)および(41)の形の類似性に着目 → 複素数 :
A  jB
A  jB
の絶対値は1である。
A  jB
A  jB
常に！

A  jB
A  jB
A B
2
A B
2
2

2
1
反射係数が上記の形になる場合の条件を求めれば，その絶対値は１となる。→cos qtが純虚数になれば良い！
・スネルの法則(46)’より
R
TE

h 2 cos q i  h 1cos
cosq q t
t
h 2 cos q i  h 1 cos q t
2
n

1   1 sin q i 

( 39 )
 n2
なので，純虚数になる条件は以下のように求まる。
2h 2 cos q i
n 2TE 
T
 ( 40 )
sin q i 
 ( 49 )
h 2 cos q i  h 1 cos q t
n1
TM

R ( 48)
負
T
h 2 cos
q t  h 1 cos q i
x
（平方根の中身が）＜０
h 2 cos q t  h 1 cos q i
2h cos q

th 2 cosTEq t 
i h 1 cos q i
E  yˆ T
1 
 q i  tan
1 
1 
( 42 )
qt
n 
 2  [ブルースター角
 n1 
全反射条件：
q i  q c , q c  sin
領域I：(1) e1, m1
q
q
E exp  j  k 2ˆ cos q t x i k 2 sin q t zr vˆ 式(27)より
u
2


 
z


n


i
1
E exp   k 2  
sin q i   1  x  exp  jk 2 sin q t z 


y 
  n 2



エバネッセント波
wˆ
無反射条件：
n 2  n1  
領域II：(2) e2, m2
TM 波（平行偏波）入射　( 41 )
TM 全反射時の透過波電界（TE波；直交偏波の場合）
2
t
n 
 2  [臨界角 ]  ( 50 )
TE
 yˆ T
 n1 
として，
q i  q cの時，反射係数が
1，すなわち全反射とな
る。
n
 sin q i  1なので， 2  1，すなわち
n 2  n1でなければならない。
n1
 q c  sin

n 
 2  [臨界角 ]
 n1 
]
指数関数的に減衰
2009年度電磁波工学
29
s 0
領域IIが良導体（sが十分大きい時）の場合のMaxwellの方程式（m2=m0）
H

   E   m 0  t   j m 0 H  ( 51 )

E
E
  H  i  e 2
 sE  e 2
 s E  j e 2 E  s  j e
t
t

2
E
 伝導電流は i  s E
ベクトル恒等式
式(51)の両辺の回転(rot)をとって次式が得られる。
    E   j m 0   H
No.12より
 ( 52 )
    A    A   A
2
 ( 53 )
式(53)の右辺に式(52)を代入し，ベクトル恒等式を用いると次の様な波動方程式が得られる。
 E  j m 0 s  i e
2
2
E
0
 ( 54 )
k 2   j m 0s   e 2 m 0   j m 0s
2
※）式
2
(55) の第２項は変位電流の
 E  k0 E  0
2
一般の波動方程式：
 ( 55 )
項で，良導体中では変
位電流は無視できる為
2
。
波動方程式(54)の一般解（ベクトルの成分）は次のように書ける。
  A exp[   j   x ] exp   jk 1 sin q i z   A exp
   
m 0s
 ( 57 )
 j  x  exp  
jk 1 sin q i z  exp  x  ( 56 )
下方向はｘは負の方向なので，金属内に入ると減衰
2
上式は領域ＩＩ中で-x方向に減衰定数で減衰する関数である。特に電磁界が1/eまで減衰する
深さ方向距離，すなわちx=1となる距離を表皮深さ（Skin Depth)と呼ぶ。
x 
m 0s
x  1より，
2
表皮深さ ; d 
2
m 0s
 ( 58 ) となる。
2009年度電磁波工学
30
偏波の基準は何に対
する何の方向？？
課題
誘電率はe=ere0
１．携帯電話の電波(1.8GHz)が空気中から比誘電率er=3.0の媒質へ30°の角度
で入射する。電磁波の電界が入射面内にある場合と磁界が入射面内にある場
合について，それぞれ，反射係数を求めなさい。また，それぞれの入射波が何
偏波であるかを答えなさい。
２．周波数が5GHzの電波に対する銅の表皮の深さ（表皮厚さ）を求めなさい。
※）導電率は教科書の付録にある。
x
  
  
 j  cos     j sin     e
 2
 2

 j 
 j
e

2
e
 j

4
 j
領域I：(1) e1, m1

Eは入射面に垂直
2
qi
qr
vˆ
1
  
  
1z  j 
 cos     j sin    
2
 4
 4
uˆ
y
wˆ
qt
領域II：(2) e2, m2

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