材料の力学 - Aitai net

第３章力の合成・分解および
引張り・圧縮問題
3.1
力の合成・分解およびモーメント
3.2
本棚の設計
3.3
リンク材の内部張力と伸び問題
3.4 台形台の応力と縮み
3.5
自重を考慮しない円錐台の応力と縮み
3.6
自重を考慮した場合の応力とひずみ
第3章
2015/10/1
総合演習問題
材料の力学第3章
1
第3章引張り・圧縮
3.1 引張り・圧縮の簡単な問題
3.1.1 力の合成・分解
y方向
・力の平行４辺形
・力の合成（ラミの定理）
Fy
Fx
F


sin  2 sin  3 sin 1
Fy
1
・力がつりあうには，３次元問題では，ｘ
方向に関して，

i n
i 1
•
ｘ方向
同様にｙ方向に関して，

i 1
Fyi  0
同様にｚ方向に関して，
1
i1 Fzi  0
i n
•
2
Fx
Fxi  0
i n
•
3
F
この3つの式が成立している時，物体は
任意の一点で静止する。
2015/10/1
材料の力学第3章
Fx
F
Fy
3
2
2
力の合成，分解(2次元）
☆合成した力Rは
R  (  Fxi )2   Fyi 
ｙ方向
2
☆また，合成力が作用す
る方向は（ｘ軸を基準と
し，反時計回りを正とす
る）
F2
2
Fy1
Fx 3
 Fyi
tanθ 
 Fxi
  tan 1 (
2015/10/1
 Fyi )
 Fxi
Fy 2
Fx 2
3
F1
1 Fx1
Fx 4
X方向
Fy 4
4
Fy 3
F4
F3
材料の力学第3章
3
☆3.1.1力の合成・分解（演習問題）
1）力 F1  100N , F2  60N , F3  70N , F4  20N , とし，それぞれの力がx
軸となす作用線の角度  を1  30 ,2  120 ,3  225 ,4  310
として，合成力R，および合成力が作用する方向の角度 (x
軸を基準として反時計回りを正）を求めよ。
（Ans:R=42.1669Ｎ，Ｆｘ＝19.9608N，Ｆｙ＝37.1432N）
 ＝61.746°）
ｙ方向
２）上の問題で，力 F1～F３および １～３
F
を同一としたとき，力が釣合
F
F1

うためには力 F4 をどの方向
F
 F
F
にいくら加えればよいか。
F
F
X方向
F

(Ans: F4  52.943N，  =262.29°）
2
y2
2
y1
x3
1
x2
x4
3
y4
4
Fy 3
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材料の力学第3章
F3
F4
x1
3.1.2 モーメントの定義と応用
☆モーメントの定義：
力のモ－メントは物体を回転または曲げさせ
る能力の評価指標である。すなわち，力をＦ，
支点とモーメントアーム間の距離をＬとして，
モーメント=力×距離
M＝ＦＬ（N・m)または（ｋｇｆ・ｍ）
で求められる。
2015/10/1
材料の力学第3章
5
モーメントの計算(例題１）
150N
100N
支点　O
45°
はり
1.5ｍ
1.0ｍ
例題１：
図に示すはりの，支点ＯまわりのモーメントMを求めよ。
解答
M  100  1.5  150  sin 45  2.5
このように，はりに垂直な
力の成分のみがモーメント（回
転能力）に関係する
（Ｎ・ｍ）
2015/10/1
材料の力学第3章
6
モーメントの計算(例題２）
例題２：障害物の乗り越え
図に示す車輪が段差を
乗り越えるのには，車輪
に加える力Pはいくら以
上必要であるか。
車輪質量m
力Ｐ=?
D/2
直径D
L1
段差高さ
mg
L2
解答：考え方
乗り越え（モーメント）P（D/2+L1)>抵抗モーメント
ｍｇL2である。あとは，数値を代入すればPが求まる。
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材料の力学第3章
7
物体に作用する力とモーメント
☆例題３．
図に示すように，任意の座標点（xa，ｙｂ）に力Rが作用して
いるとき，原点（0，0）まわりのモーメントを求めてみよう。
R
☆解答：力Rの作用点
y
を(xa,yb)とすれば，
原点（0，0）まわりの
Fy
モーメントは
M
M  Fy xa  Fx yb
yb
さらに，着力点が異なる多数の力
(xa,yb) Fx
が物体に作用するときのモーメント
は
i n
x
(0,0)
x
M   Fyi xai  Fxi ybi 
i 1
a
d
8
物体に作用する力とモーメント
☆多数の力の合成力Rはすでに求めたように，
R  (  Fxi )2   Fyi 
2
である。さらに，合成力の作用線の方向と任意点との垂直距離をｄとす
れば，任意点まわりのモーメントは
Rd  M
R
y
M
☆したがって,合成力Rの作用線に任意
点から下ろした垂直距離ｄは
d
M
Fy
yb
(xa,yb)
R
xa
(0,0)
2015/10/1
d
Fx
x
9
3.1.2 モーメントの計算(演習問題）
１.図に示す３つの力の合成力R
とｘ軸から測った，合成力R
の作用方向角度はいくらか。
(Ans： R  169.489( N ) ，   76.2256 ）
７５Ｎ
２．図の座標点（-2ｍ，-1ｍ）ま
わりに合成力Rが作り出す
モーメントおよび合成力の作
用線との垂直距離ｄはいくら
となるか。
(Ans：
2015/10/1
M  289.0( N  m)
，
d
M
R

289.0
169.489
１００Ｎ
ｙ
４５゜
６０゜
５０Ｎ
－２m
３０゜
x
－１m
点Ａ（－２，－１）
 1.705(m)
材料の力学第3章
10
モーメントの計算(演習問題解答）
R  (  Fxi )2   Fyi 
１．合成力Rは
F
2
より
 50cos30  100cos60  75cos135  40.2683
xi
F
yi
１００Ｎ
ｙ
 50sin 30  100sin 60  75sin135  164.6355
７５Ｎ
４５゜
したがって，合力Rは
６０゜
R  40.26832  164.63552  169.489( N )
５０Ｎ
－２m
合力Rが作用する角度は
 Fyi )  tan1  164.6355  76.2256
  tan1 (
 40.2683 
 Fxi
３０゜
x
－１m
点Ａ（－２，－１）
２．座標点（-2，-1）におけるモーメントMはxa=2ｍ，ｙｂ＝1ｍを以下の式に代入して
i n
M   Fyi xai  Fxi ybi   xa  Fyi  yb  Fxi  2 164.6355 1 40.2683 289.0( N  m)
i 1
さらに，合力の作用線と座標点からおろした垂直距離ｄは
d
2015/10/1
M
R

289.0
169.489
 1.705(m)
材料の力学第3章
11
3.2 本棚の設計
☆求めたい物理量
・部材abに働く力,Fab
・部材obに働く力,Fob
・部材abに働く応力,σab
・部材obに働く応力,σob，
・部材の伸び（または縮み） λab,λob
☆既知の物理量
・荷重P，
・部材の長さL，Lab，Lob，
・部材の断面積Aab，Aob，
・部材obとそれを支える壁との角度θ１
・部材abと壁との角度θ=90°
荷重P
Ｌab
断面積Aab
ａ
ｂ
2
Ｌ
1
断面積Aob
Ｌｏｂ
ｏ
Fab
2
P
力のつりあい図
1
Fob
2015/10/1
材料の力学第3章
12
3.2 本棚の設計(続き）
解答：
１）図3.6に示した部材に働く力の３角形より，部
材の内部抗力は
P
Fab  Ptanθ； Fob 
cos 
２）部材の内部応力について
 ab 
Fab Ptanθ
F
P

；  ob  ob 
Aab
Aab
A0b Aob cos
３）部材の伸びまたは縮みについて
ab 
2015/10/1
 ab
E
Lab 
 ab
E
L tan； ob 
材料の力学第3章
 ob
E
Lob 
 ob
L
E cos
13
☆本棚の設計（今日の演習問題）
１.前の例題の本棚の設計問
題では荷重が部材abに垂
直に作用する場合を考え
問題を扱った。ではこの問
題の展開として右図に示す
ように，荷重が部材abに対
して角度 3 傾いて作用す
る場合について，本棚を設
計してみよう。ただし，設計
条件はつぎのようである。
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Ｌab
荷重P
3
断面積Aab
ａ
ｂ
2
Ｌ
材料の力学第3章
1
断面積Aob
Ｌｏｂ
ｏ
14
本棚の設計（今日の演習問題(続き））
１）部材ab，部材obの断面積は：
２）壁のoaの距離は：
３）壁面oaと部材oｂのなす角度  1
および荷重が部材abに作用す
る角度 3 は，それぞれ；
４）部材abに作用する荷重 P は
５）部材ab，obの縦弾性係数は
とする。
Aab  1cm；2 Aob  2cm2
L  30cm
1  45： 3＝30
P  300 N
E  206GPa
この条件のもとで以下の問題を解きなさい
a)部材ab，obに働く力はそれぞれいくらか。
b)部材ab，obに働く応力はそれぞれいくらか。
c)部材ab，obの伸びまたは縮み，はそれぞれ
いくらか。
2015/10/1
材料の力学第3章
15
3.3 リンク材の内部張力と伸び問題
Ａ
Ｃ
θ
Ａ
Ｂ
Ｃ
θ
θ
Ｔ１
Ｔｙ１
Ｌ
Ｌ
Ｏ
Ｔｘ１
Ｂ
θ
Ｔ２
Ｏ
Ｔｙ２
Ｔｘ２
荷重Ｐ
荷重Ｐ
Ａ
☆部材にかかる内部張
力Tと伸びλ，垂直変位
δについて荷重P，角度
θ，部材長さLの関係を
求める。
Ｃ
θ
θ’
Ｌ
Ｏ
伸びλ
2015/10/1
Ｂ
θ≒θ’
変位δ
まずは，解こうとし
ている問題，図を理
解する。
荷重Ｐ
16
3.3 リンク材の内部張力と伸び問題
Ａ
○
Ｃ
Ｂ
荷重Pに対する部材内部の張力をT1,T2と
I n
j n
して，

i 1

Fxi  0
j 1
Fyj  0
θ
<ｘ方向の力のつりあい式＞は：
Tx 2  Tx1  0
＜ｙ方向の力のつりあい式＞は：
( Ty1  Ty 2 )  P  0
T2 sin  T1 sin  0
＜具体的にX方向は＞
∴
＜ｙ方向は＞
T1=T2であるから結局
したがって，内部効力は
2015/10/1
θ’
Ｌ
Ｏ
伸びλ
θ≒θ’
変位δ
荷重Ｐ
T2  T1
T1 cos  T2 cos  P  0
2T1 cos  P
T1  T2 
P
2 cos 
材料の力学第3章
17
3.3 リンク材の内部張力と伸び問題
＜伸びと変位について＞
まず，応力とひずみに関してはフックの法則   E から，部材の長さを
AO=BO=L，両部材の断面積をA，ヤング率をEとして，
T1 T2

A

A
E
Ａ
L
Ｃ
ゆえに，部材の伸びλは
TL
PL
 1 
AE 2 AE cos
Ｂ
θ
となる。さらに，変位は    と仮定して
θ’
Ｌ
 cos   
Ｏ
より，垂直方向の変位δは，

PL
 

cos  2 AE cos 2 
伸びλ
θ≒θ’
変位δ
荷重Ｐ
となる。
2015/10/1
材料の力学第3章
18
3.4 台形板の応力と縮み
・図に示すように，板の厚さ Wが一定な台形板の応力  ( x )
荷重P
と縮みを板の自重を考慮しないで求めよう。
D
解答：まず任意の x  x の位置における台形板の幅
幅 B( x ) は
 x  L
Bx   D

 L 
W
となる。したがって，その位置の断面積は，
板の厚さ W を一定として，
x=x
 x L
A( x)  Bx   W  D
W
 L 
A(x)
任意の位置における応力は，
 x  
L
B(x)
P
PL

A( x ) Dx  L W
2D
2015/10/1
材料の力学第3章
x
19
3.4 台形板の応力と縮み(続き）
• ここで，微小変位ｄλにおけるひずみεは

d
dx
ひずみε＝ｄλ／ｄｘ
と考えることができる。台形板
全体の縮みλは
L
dλ
dx
L
  0 d  0 dx
となる。さらに，フックの法則からひずみεはヤング率を
用いると，
 x 

E
L
より，台形板の全体の縮みは   
0
•
2015/10/1
 ( x)
L
PL
1
dx 
dx

E
DEW 0 x  L 
材料の力学第3章
20
3.4 台形板の応力と縮み(続き）
• 次に台形板の縮みλに関
して右式を積分する。
L

0
 ( x)
L
PL
1
dx 
dx

E
EDW 0 x  L 
今日の課題
上式を積分せよ。ヒント： x  L  t とおく置換積分の実行。
すぐさま，公式を適用してもOK。
L
答え：
 ( x)
L
PL
1
PL 2 L 1
Pl
2L



dx 
dx

dt

ln
t
L


L t


E
EDW
x

L
EDW
EDW
0
0
PL
ln 2 L   PL ln L   PL ln 2

EDW
EDW
EDW
台形台は縦・横・長さがD・W・L一定の平行平板よりもln2（０.693）倍
縮むことが分かる。
21
3.5 自重を考慮しない円錐台の応力と縮み
r (x)
断面積A(x)
荷重P
2D
D
A(x)
x
x
L
上図に示す円錐台の応力と縮みについて，自重を考慮しないで求め
てみよう。各自で以下の黄色い部分を埋めてください。
解答：
まず任意のｘ=xの位置における円錐体の半径ｒ（ｘ）は
ｒ（ｘ）＝
2015/10/1
材料の力学第3章
22
3.5 自重を考慮しない円錐台の応力と縮み
• ｘ=xの位置の断面積A(x)は
r (x)
断面積A(x)
荷重P
D
A(x)=
x
A(x)
x
・したがって，その位置における応力σ（ｘ）は
 x  
L
P

A(x)
L
L
・円錐体の縮みは，前回の問題と同様にして，  0 d  0 dx
L

0
 ( x)
2015/10/1
L
L
4 PL2
1
4 PL2 
1 
dx 
dx


E
D 2 E 0 x  L 2
D 2 E  x  L  0
2 PL
4 PL
2 PL



2
2
D E D E D 2 E
2D
この円錐台は直径D=一定,
長さLの円柱よりも（0.5倍）
縮むことが解った。
23
3.6 自重を考慮した場合の応力とひずみ
• 問題提起：（象の足は何故太い，テレビ鉄塔はなぜ上部ほど
狭い，組体操，ピラミッドの土台の人はなぜ大変？)
自重１
自重２
鉄棒
どっちが
楽？
2015/10/1
テレビ塔
なぜ上が
幅が狭
い？
自重３
材料の力学第3章
24
直径（断面積）が一定な丸棒
（自重を考慮した応力と伸び)
任意の０＜ｘ＜ｘまでの自重
：ｗは
x
x
ｘ＝ｘまでの体積Ｖ（ｍ３）
w  v(m )   kgf / m
3
 x   P A x
断面積A
×比重量γ（ｋｇｆ/ｍ３）
3

 x  L  P A L
L
 Ax(kgf )
x=x
応力  x 
x＝xまでの自重w
w  Ax
したがって，ｘ＝ｘにおける応力σ（ｘ）は
荷重＋自重 P  w P
 x  

  x
断面積
A
A
2015/10/1
材料の力学第3章
 x 0  P A
荷重P
ｘ＝０とｘ＝Ｌにおける
応力はいくらかな？
25
直径（断面積）が一定な丸棒
（自重を考慮したときの安全断面積と伸び)
x
x
丸棒の安全断面積 As
は許容応力を  a とすれば，
As 
 x  L  P A L
 x   P A x
断面積A
L
P
 a  L
x=x
応力  x 
x＝xまでの自重w
w  Ax
丸棒全体の伸びλは
L
L
  0 dx  0
( x )
E
L

1 P
x 2 
x



E A
2 0

2015/10/1

dx 
 x 0  P A
荷重P
1 L P
(  x )dx
E 0 A
1  PL 1 2 
 L   L  P  1 AL 


E A 2
 AE 
2

L 
1 
L 
1 
 P  V  
P  W 
AE 
2  AE 
2 
3
AL ：丸棒全体の体積 V(m )
ただし，
W ：丸棒全体の重量
( kgf )  V
自重を考慮しない時の伸びはいく
ら？考慮すると伸びはいくら？
材料の力学第3章
26
テレビ塔など巨大構造物における自重問題
（応力を一定とするには）
x
x
断面積A
応力一定
自重を考
慮して応
力を一定
に設計す
るには？
 ( x)  P A x
L
断面積一定
x
断面積をど
うしたらよい
かな？
2015/10/1
応力  (x )
 0  P A
荷重P
材料の力学第3章
27
テレビ塔など巨大構造物における自重問題
（応力を一定とするには，続きＮｏ．2）
荷重P
☆応力σ(x)=σ０(一定)とおけば，
0 
P W
=一定
A( x )
ところで，ｘ=xまでの自重Wは（＝体積
×比重量＝底面積×長さ×比重量）より
x=x
x=xまでの
自重
x
W   A( x )dx
L
x
0
断面積
A(x）
x
0 
P   A( x)dx
0
A( x)
 一定
比重量γ
x
2015/10/1
材料の力学第3章
28
テレビ塔などにおける自重問題
（応力を一定とするには，続きＮｏ．２）
それでは，応力を一定とするには，断面積A(x)はどのように変化させれ
荷重P
ばよいかを理論的に求めてみよう。
x
Ax  0  P   A( x )dx
0
両辺をｘで微分すると，
x=x
d
 A( x) 0   dP  d 0 A( x)dx
dx
dx dx
x
0
dA( x )
 A( x ) ，したがって，通分して
dx
x=xまでの
自重
L
x
断面積
A(x）
比重量γ
 0 dA( x )  A( x )dx ，両辺を 0 A( x ) で割り，
dA( x) dx

A( x)  0 ，この常微分方程式を解くと，一般解は，
x
x

(
 C1)
ln A( x) 
x  C1 ，ゆえに
Ax  e  0
 e  0 * eC1
0
x
2015/10/1
材料の力学第3章
29
テレビ塔などにおける自重問題
（応力を一定とするには，続き３）
荷重P
Ax  e
(
x
 C1)
0
e c1  C
x
0
 e * eC1
とおいて，
x=x
A( x)  Ce x  0 
x=xまでの
自重
L
x
断面積
A(x）
Ｘ＝０で，断面積はA0とおけば，
積分定数Cが求まり，
C  A0 
結論
2015/10/1
P
0
比重量γ
重要：断面積A(x)を指数関
数的に増加させること
A( x)  A0 e
x  0 
P x  0 
, A( x)  e
0
材料の力学第3章
x
30
テレビ塔などにおける自重問題
（応力を一定とするには，続き４）
荷重P
このときの伸びまたは縮みλは，
応力が一定であるから
L
L
   d   dx 
0
0
0
E
L
0
dx 
 0L
x=x
E
x=xまでの自重
この結果，当然のことながら応力
一定となるように設計したので縮
み量λは，断面積一定で，自重を
考慮しない場合と一致する。こと
が確認できた。
L
x
断面積
A(x）
比重量γ
x
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材料の力学第3章
31
☆3.6.3 自重を考慮した場合の応力
（演習問題）
1.右図に示すように，直径比が
d1 : d 2 : d 3  1 : 2 : 3
で，それぞれの高さが，ｈ１，ｈ２，ｈ３
であるコンクリート製の円柱を用い
て塔を作るとき，塔の最大許容高さ
Hを求めよ。
ただし，コンクリートの許容圧縮応力を
σ＝12（kgf/cm2)，コンクリートの比
重量γ＝2400(kgf/m3)とする。
なお，もし計算に必要であれば，それ
ぞれの塔の断面積を，A1,A2,A3，と
せよ。
（Ans:115.3ｍ）
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材料の力学第3章
d1
A1
d2
A2
d3
A3
h1
h2
H
h3
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第3章総合演習問題（その１）
1. 右図に示すように，鉄筋コンクリート
コンクリート
の柱において，鉄筋部(４本)およびコ
ンクリート部のそれぞれの横断面積
が7cm2，150cm2であり，鉄筋とコン
クリートの許容圧縮応力が
 S  150.0MPa
 C  8.0MPa
であるとき，上部にかける安全圧縮
荷重Pは最大いくら以下とすればよ
いか。ただし，両者の縦弾性係数は
ES  206.0GPa
安全加重P
剛体壁
EC  19.0GPa
であり，両材料の自重による応力は
考慮しないものとする。
（Ans: P  1.807105 ( N )
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鉄筋
材料の力学第3章
剛体壁
33
第3章総合演習問題（その２）
剛体壁
２. 図に示すように，長さの
等しい3本の棒を天井か
らつるし，棒の下端は剛
体板で固定した。剛体壁
に荷重Pを加えたとき，剛
体板が水平を保つために
はPをどの位置に加えた
らよいか。ただし，各棒の
断面積は，
断面積
Ｌ
A2
A1
L1
A3
L2
剛性板
A1， A２， A3
縦弾性係数は
E1， E２， E3
とする。
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Ans:
ｘ
荷重Ｐ
E2 A2 L１＋E3 A3 L１＋L2 
ｘ＝
A1 E1＋A2 E2＋A3 E3
34
第3章総合演習問題（その３）
３.
図に示すように，剛体天井にピン
結合されたトラスがある。結合点Cに
垂直荷重Pが働くとき，部材AC，BC
に生じる応力および伸びλを求めよ。
ただし，部材の断面積はA，縦弾性
係数はE，ACの長さはL1，BCの長さ
はL2，角度はそれぞれθ1,θ2とする。
剛体壁
Ａ
1
P
A
P
A
１＝
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L
2
Ｃ
sin 2
cos 1 sin 2  sin 1cos 2 
 2＝ 
2
L1
Ans：
１＝ 
Ｂ
荷重Ｐ
sin 1
cos 1 sin 2  sin 1cos 2 
PL1
sin 2

AE cos 1 sin 2  sin 1cos 2 
2＝
PL2
sin 1

AE cos 1 sin 2  sin 1cos 2 
材料の力学第3章
35
第3章総合演習問題（その４）
４.
図に示すように長さL1＝12ｍ，断
面積A1=8cm2の鋼棒と，長さL2＝9ｍ，
A2=12cm2の鋼棒BCをC端でピン結
合し，他端A,BをAB=15mに保って，
垂直な剛体壁面にピン固定した。節
点Cに垂直荷重P=40000（N)を加え
たとき，部材AC，BCに生じる応力，
変位λを求めよ。ただし，鋼の縦弾
性係数はE=206.0GPaとする。
(Ans：
A
L1
C
 AC  4.0 107 N / m2 
 BC  2.0 107 N / m2 
BC  8.7379101 (mm)
B
P
 AC  2.330(mm)
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L2
材料の力学第3章
36
第3章総合演習問題（その５）
５. 図に示すよう長さL，
底面の直径Dの円錐体
を逆さに吊るすとき，自
重による棒の伸びを求
めよ。ただし，材料の比
重量をγとする。
L2
(Ans：  
)
6E
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材料の力学第3章
直径D
x
円錐体
dx
L
x
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第3章総合演習問題（その６）
d1
６.
図に示すように長さL，上部の
直径d1，下部の直径d2の円錐台
の上部が剛体天井に接着されて
いる。下端に荷重Pを加えたとき，
その伸びλを求めよ。ただし，棒
のヤング率をEとし，d1<d2とする。
ただし，棒の自重は考慮しないも
のとする。
（Ans:

4PL
Ed1 d 2
）
x
d (x)
円錐台
d2
X
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L
材料の力学第3章
荷重P
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第3章総合演習問題（その７）
７.
図に示すように長さ1.8m，断面積一定軟鋼丸棒を水平に置き，その
中心を通る軸回りに1200rpmで回転させた。この棒に生じる最大応力お
よび伸びを求めよ。ただし,棒の密度ρはρ＝7800（kg/m3），縦弾性係数
はE=203GPaとする。
(Ans
：  max
-4


2.906

10
(m) )
 4.989 10 (N/m ) ，
7
2
2 L  1.8m

x
dx
1200rpm
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材料の力学第3章
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