Shinshu University Institutional Repository SOAR-IR Title Author(s) Citation Issue Date URL Rights 水制工のまわりの流動・水質特性I−流動特性− 富所, 五郎; 松本, 明人環境科学年報17:99-104(1995) 1995-03-31 http://hdl.handle.net/10091/12401 環境科学年報信州大学ー第1 7巻， 1 9 9 5 ( A n n .E n v i r o n .S c i .，S h i n s h uU n i v1 水制工のまわりの流動・水質特性 I 一一流動特性一一富所五郎・松本明人信州大学工学部 FlowandWaterQ u a l i t yC h a r a c t e r i s t i c saroundS p u r d i k e s GoroTOMIDOKOROandA k i t oM ATSUMOTO F a c u l t y0 1E n g i n e e r i n g ，S h i n s h uU n i v e r s i か Keywords:S p u r d i k e s，Flowi nR i v e r s，WaterQ u a l i t y 水制，河川の流れ，水質 iJ. i J ただし，L=ui ; ; . v ーァ J x+ ' i Jv 1.はじめに V 水制は，昔から多く設置され，災害を通じて徐々に i Jr A一 i Ji， i Jr A i Ji θ rA i Ji D=+ Il A 一 1 + 一 +j I，+i + Ai ￨ i J x "h i J xj ，一 i J yI l "Ah i J y J zI l " J zj >n >n η >V 改良されてきたが，水理的検討の難しさ，設計の標準ここに化の難しさ，護岸・根固め工法の進歩や施工の簡潔さ方向の平均勾配に平行に水面付近にとり，また z軸等のため，一時期ほど用いられなくなっていた。しかはxy平面に直角に，鉛直上方を正としている。また， x軸はx方向の平均勾配 I xに平行に，y軸はy ι し，最近護岸・根固めに対して景観や河川内の生態系 U， V， ωはそれぞれ x， y， z軸方向の流速成分， t は時間，の保全の面から種々の批判がなされるようになり，多 ρは水の密度，Pは圧力，g は重力加速度，A h，A vは自然型河川工法の試みとして，伝統工法や水制工が見それぞれ水平，鉛直渦動粘性係数である。直されるようになってきている。 z そこでここでは，水制工周辺の流動特性を明らかにするために，流れと拡散の二次元数値解析を行う。このため，先ず流れと拡散の基礎式の誘導し，その空間変数と時間変数の離散化法を示し，最後に流れと拡散の数値解析結果を示す。につまた，水制工周辺の水質特性は別報に報告する。 z 2 . 流れの基礎式開水路の流れを支配する基礎式は，図- 1の座標を用いると以下である。 1i J P u+η z=ga t '+Lι = ; ; å~ + D -u ( 1 ) 1i J P+D-v = g I y θt十 L-v+w~一 o z5y ρ '":-，~. i J y ( 2 ) I .LJ V I LV . L = : - 1i J P+D-ω i Jw 一一 L-~w+ 一一一一一一 i J t+ ，~ ，ω ~一 i J z=g ρ i J z ( 3 ) i Ju ， i Jv ， i Jw 一一+ 一一一i 一 i J x ' i J y+ ， J z=0 ( 4 ) 図 - 1 座標の定義ここで，式( 3 )は，一般の開水路の場合では ωが水平流速 u， vに比べて小さく，右辺の第一項，第二項以外は無視され次式のようになる。 1i J P ^ g+: ，， " _ =0 ρ i J z V ( 5 ) V 9 9 富所五郎・松本明人この式( 5 )をz方向に z=zから s( sはxy面から自由水 3"流れの基礎式の離散化 1) 面までの高さ〉まで積分し，水面 z=sで， p=九 =0 ここでは，前節で求めた基礎式の離散化を行う。まとすると， p=ρ' g ( z + ! ; ) ( 6 ) るG a 1 e r k i n有限要素法を用いて離散化を行い，時間となれこれより圧力は静水圧分布する。次に，式( 4 )の第三項を，水底から水面の範囲でz方向に積分して，水面と水底の運動学的条件を用いると， r ο4 弘 =w( S )-w ( h)= 笠+バ)笠 C a J h ( ) zゐ u.，.<;，.-IA/\.~/ fN ¥.J et (.1，\.~/ o x+vV\.~/ ν fl J / - I I o (-h ) .~ "o(-h ) . J "oC-h ) 一一一一〉 -37--u〔-h 〉 -7 子一 ( 7 ) o t -u(-h となる。また，残りの項も同様に積分して， L e i b n i t z の定理を用いると : 1[叫〕ゐ= ! Lω ￡ +fcd-u(C hlax'avJ ←乎 -h) -u(!; 匂位〉去十以 -h) aV.!-h 同が得られる。 ( 9 ) ，ここで，上式において鉛直平均流速を，次式のようにおくと，五 = をl ; u d，E=よをu ;ゐ Lax-Wendroff法を用いて離散化する。 ω 仰を Galerkin有先ず上で求めた流れの基礎式限要素法により離散化する。このために，水平方向の三角形一次要素の形状関数Ni と総和規約を用いると，平均流速と水面上昇量の近似関数は， U=N ，' U i，v=Ni"Vi，S=Ni"Si (i=i， j， k ) 凶と表される。ここに， i=i ， j ， kは三角形一次要素の ω 帥に代入し，重み式(14)で定義した近似関数を式関数として N，をかけ，重み関数の定義域内で積分すると，単一要素の場合，離散化方程式は，つまり o (-h)/ot= 0とすると，式 ( 7 )，( 8 )から次式主 ! f ' o t+if 'o xJ hu "-dz十 O V J hv・ゐ=0 変数に対しては，陽的差分法の一種である t w o s t e p 頂点である。となる。式 ( 7 )において，水底が時間的に変化しない， U，k ず，空間変数に対しては，重み付き残差法の一種であ ( 1 0 ) 式( 9 )は， M i j "Uj+( R X i j k "U j + R Y i j k 'v JU k =g'ι "Di -g 'E X i j 'S j + ( K X i j十 KYij)"Uj+FX ( 1 5 ) M i j "Vj+( R X i j k "U j + R Y i j k "VJVk ' D i -g "E X i j 'S j +(KXij+K Y i j )・ vj+FX ( 1 6 ) =g'ι M i j 'S j +CXij"Uj+C九 " V j ( 1 7 ) (j=i， j ，k，k=i ， j ，k ) となる。ここに， U j，V j，S jの上付きく・〉は時間微分を意味し， i=i ， j ，kである。以上の式は， U j， V j，S jを f ι+ J -' G -d 〉 + 」ー o t ' o x ' ' ' ' ，o y(IJ.d)= 0 ( 1U u，/ となる。ここに， d=h+sである。また同様にして，式( 6 )を式 ( 1 )，( 2 )に代入し，水底から水面の範囲で z方向に積分して，前述と同様に水底の運動学的条件及び，。要素が多数存在場合には，上式の各項を各要素ごとに求め，重み関数にしたがって重ね合わせると，上式と同様の式が得られる。以下に上式の各係数を示す。 r " " r"" o 凡λ j ・ゐ， RXuktNzN ず・ゐ， Mij=J sN i N L e i b n i t zの定理を用いると， U ，- OU ，- OU o : l 一一一どL o t+U '"一 o x+v 'vでァ O ν=glx-g " o ・ゐ r" EXij=r ， Di =人民・ゐ，人N 入T ，。 u hHUF O(A ouI， O(A ouI v + 一一 IAh 一一 1 + 一 IAh 一一 I-T o xl no x) ，一 o yl no y) ' y "，未知量とする連立常微分連立方程式である。ここで， "， v a ; ' 九T ，， r r r od ， o iゐ " " " ゐ， Xij=J FX 一 +v~. i T x i・ YJ一 =Js~'Z"Xt IN N i l i ' " ' ，，C I s " " l LN; s x dJ・ o x ， oN o N r A i r A "oN v~'J ー : . . . ! . L. ゐ +nx Xij=-) A h N z ・ dl I A ho I s . . n ) 1. . " " "O X x o x ， . . . . . . . . " " . J . 1 . . ] V ，-O V o : l O V ，- O 一一一 =gI y-g 手 ν ' V o t+u '"一 o x+V 'vでO ) l ( 。 + 一一 q4d ( A o v I+ ， O(A o v I-Tv 1 A . ， :x v 1 一 1 A . ， :y v 1 o xl . . no )，一 o yl . . no ) ' y x， y方向 Z " y， z " yはの底面せん断応力を ρdで割ったものである。式(1U ω )は，云，IJ，s を未知量とする開水路の流れの基礎式である。ここでは，この流れの基礎式の非定常解析を行い，収束解を定常解とする。以下において，忌， vの(づは簡単のために省略する。 1 0 0 I lN 1 λ yは要素の境界に外向 n x，n y成分である。たきに立てた単位法線ベクトルの x， n yを含む項は，解析領域内部で打ち消し合だし n x，ここに， 1 は要素の辺長が得られる。ここで，流速の鉛直方向変化に対する補正係数を全て1.0としている。なお .L うので，解析境界のみで考慮すればよい。 d， T T x， yは，う Cと同じように近似する。また，RYijk，EYij，F} EXij， Xij，C X i jにおける ; ，C Y i jは， R X i j k， ; ，K KY FX にかえた式で、ある。さらに，各係 x y 仙のを o / o x，T X i，数は，次の公式により簡単に計算できる。水制工のまわりの流動・水質特性 I lN ' fN lm ゐ =G!b!c!.2S 1 ( 8 ) α ( +b十 c+2)1 j シ r μ κ 川 N : V 机昨 ' 打 ! f 勺l 1 α 乱流拡散の基礎式邸)の空間変数に対する離散化は， Ca+b+1 )1 上で求めた時間変数に対する離散化式Q5)~(17) は，時間微分項とその他の項に分けることができる。即ち，左辺の時間微分項以外をすべて右辺に移行して，要素全伽) となる。ここに，MはM i j等を成分とする質量行列， Vはめ， Vj， S Jの未知量を成分とする列行列，Fは V の関数の列行列である。式。0)は tに関する常微分方程式であり，種々の時間微分方程式を用いて解くことができる。本研究では，陽的時間積分法の一種である t w o . s t e p Lax-Wendroff法を用いて，これを解くこととする。以下にこの概要を示す。 ω K1=M-・ F t，Vt+~t!2= Vt +. 1t / 2・ K1 K2 =M- ・ Ft+~t/2 ， Vt+~t = Vt +. 1t. K2 ( 2 2 ) である，ここに，. 1tは時間刻み幅である。上式を与 t e p -bys t e pにえられた境界条件，初期条件のもとに s 1 1 解けば，すべての時刻における未知量の値が決定でき，方程式は解けたことになる。 C=Ni.C ， C i = i， j， k). 扮式仰の濃度 C には上式を，流速 U ， Vには式帥で定義した近似関数を代入し，重み関数として N，を掛け，要素内で積分すると，単一要素の場合， M' o 'Cj+(RX J i k 'U k十 R Y / ; k・ V k )・ Cj = (KX J i+K Y/;+R A ( ; )・Cj十， F (j=i ， j，k ，k=i ， j， k ) ( 2 6 ) i =i ， j ， kであり， Cの上付きく・〉は時間微分 j を意味する。以下に上式の各係数を示す。 f f . a λT ， Mi J = N，N j'ゐ， RXLktNzNq 旦・ゐ， s J 1 l .T 1 I .T 1l."TlI.，. RAL=-4lNλ ・ゐ F，=~ ( N i・ゐ μ. Is P. ls r" a 入T 入T ; r ， _O 九「 i O KX J i=-) 1 I D x N zV~Vj ・ dl Xo sDx~ームー:...:L・政十 x ox." " "，nx " X ) l '-'x"" o x r. .L/ また，R Y / ; k， KY よ，は，R X J i k ， KX J iにおける o / o x， n x 4 . 拡散の基礎式のxをyにかえた式である。乱流の拡散，混合現象を支配する方程式は次のよう i c kの乱流拡散方程式である。なF ， . . " ( 2 3 ) θ r "一o i十， or" oi， or" oi ただし，R= 一一 ID 一￨一一 ID h+ 一 IDv一一 l o xL ho x j， O yL ho yl j+ ，一 o . il a ， z j .L/ よで得られた空間変数に対する離散化方程式仰を，要素全体について重ね合わせると，以下のような時間変数に関する連立一次微分方程式が得られる。 oC ， oC K'， . ，，Q +L.C十 W3Z=R・C 7 C + すここに，方向の流速成分は，流れの解析に依って得た定常解を，ここにこの解法は，二段階よりなり， .L/ を用いて行う。但し，前に述べたように，式(2~ の水平関数は以下である。 ι M.- V=F d t t a a l e r k i n有限要素法流れの基礎式の離散化と同様に G 近似式 Q~ で与えるものとする。また，濃度 C の近似体について重ね合わせると， T 5 . 拡散の基礎式の離散化 .L/ Cは拡散物質濃度，K'は物質の減衰定数， Qは単位体積当たりの物質流入量，D h，Dvはそれぞれ水平，鉛直乱流拡散係数である。上式は，流れの場 M--ZLC+K・C=F d t 。 ) 7 ここに，M は質量行列 . Kは式( 2 6 )の括弧内の各項を成分とする行列， Cは Cj を成分とする行列，FはFi を成分とする列行列である。式(幻)は，種々の時間積分法を用いて離散化されるが， r a n k ここでは拡散解析に広く用いられている C 合と同様にして，。+U N i c h o i s o n法を示す。この方法は陰的な時間積分法の C ， oC+ ， o C V 一一 o t '~ ~~~ o x' v o y=R.C 一つで， orθC i+ ， or " o Ci K 'C+Q 十o IDhV，，~ 1 一y 一l D h 一一一一一 xl ho xj' a U ho y￨ j ρ ρ ， . . " 1 .L/ (2~ となる。式仰が本研究で用いる乱流拡散の基礎式である。但し，解くに当たっては，次の仮定を設ける。 [ 1+ィ 1 + . 1tM " "，2 . J Ct+~t r~"M1 = 1 l. 1t"" 'K 1 i ~ .1~ .1 ~Kj 卜' C ~F ~ Ft+~t t+ 2 ' t '2 ~ t t+ ，2 TT H ( 2 8 ) 1 ) 流体の密度は，物質に関係なく一定である。である。上式を与えられた境界条件，初期条件のもと 2 ) 乱流拡散係数は，座標軸方向の値のみである。 t e p -bys t e pに解けばよい。また，定常解は質量行にs 本研究では，先ず流れの基礎式の非定常解析を行い，列の項を除いた式を解くことによっても求めることが得られた流速を拡散解析に用いて解析を行う。できる。 1 0 1 富所五郎・松本明人 6 . 解析対象河動及び解析条件解析対象は，長野市松代町清野地区の千曲川の低水路部である。ここに，図- 2に示す総節点数5 3 3，総要素数9 6 8の二次元有限要素メッシュを切った。図において破線は不透過水制で，中央の大きな水制が亀腹水制である。この解析で使用した解析条件を以下に示す。流れの解析では，上流端の流速は実測結果に従い，また下流端の流速は，指定された流量の条件のもとに，ない。そこでここでは R eynoldsの相似仮定を用い， E l d e rに従って次式で定めた。 Ax=Knu、 rg.d5/6，Ay=Kn 判官 .d5/6 また，底面せんだん応力は摩擦応力を Manning式より評価して次式より定めた。べ。 =gnv/e矛芋 v rx=gn2u ' ;CU2+ V2)/d4 2 43 2 )/ / d 拡散係数は，渦動粘性係数と同様の式より求めるべきであるが，物理的に見て妥当な解が得られなかった川の中心に向かい大きな値となるよう指定した。また，ために，0 . 5 m ' / sの一定値を用いた。また，流量は3 8 岸では全て，流速を零にした。 r r f/ s，重力加速度は g=9.8m/s2， x方向の水路勾配拡散解析では，亀腹水制より上流の部分で全て濃度はI x=0.00057，y方向のそれは Iy=O.O，時間刻み幅は.dt =0. 4 s，Manning粗度係数は n=O .015m-l/3 を零に拘束した。渦動粘性系数は，現在これを決定する確かな方法は • sとした。 20M 図 - 2 解析領域と有限要素メッシュ 7 . 解析結果友び考察図 - 3に流れの数値解析の流速ベクトル分布を示す。 (破線部は水制〉水制に水深5 0 c m，幅 10m程の切り欠きを設けた場合の流速ベクトル図である。主流の流れが強いために，この程度の切り欠きでは水制下流部の大規模な水平渦をこれは境界条件を一定とした非定常解の収束解より求解消するまでにはなっていない。しかしこれ以上の規めた定常解である。水制により流れは大きく左岸側に模の大きい切り欠きで・は，水制そのものの機能が損な寄せられて，主流の剥離した右岸側の亀腹水制の上下われることになるため，別の流況改善方法を考え出す流にはっきりした水平渦が形成されている。この解析必要がある。結果は，現地観測結果 2)と観測結果に見られる亀腹水つぎに，亀腹水制下流部の物質拡散の状況を把握す制の右岸側の小さな渦を除き，ほぼ一致するものであるための解析結果を示す。図-5は，水制下流部の農り，物理的に見て妥当なものである。業用水排水路口の濃度を 1 0 0に拘束した場合の図ー 3 上に示した亀腹水制の上下流部の水平渦により，上の流速値を用いた場合の濃度分布を示す。水平渦のた流部より流れ下ってくる水草等がトラップされ，堆積めに拡散物質が閉じこめられ，亀腹水制下流部に大きする。夏期には，これが腐敗して付近の水質を悪化さく拡がっている。この解析結果より，堆積した水草のせている。腐敗により生じる汚染物質は，流れにより簡単にはフ図 -4は，この流況改善の一つの試みとして，亀腹 1 0 2 ラッシュされないために，水質悪化が助長されること水制工のまわりの流動・水質特性 I 主主三三子 r三三三二、 - - ご百二 --・ー二一『ー一一一ーニーーーーー-ーー/ J、、一二一二了二三一一一一一ーーー一一一♂" ーも J Lヘ¥( 図 - 3 流速ベクトノレ主主主二./ ン川図 - 4 流速ベクトル図 - 5 濃度分布 1 0 3 富所五郎・松本明人 t O O 図 - 6 濃度分布になる。こす。図 - 6は，流況改善をはかるための切り欠きを設けしかし，この水質改善は，平水時の流況改善によった場合の流速値により，図- 5と同様の境界条件を用ては容易でない。そこで，水制工高をその機能が損ないた拡散解析結果である。濃度分布は，切り欠き部かわれない程度に低下させることにより，小洪水時でもらの流れにより，図-5の場合より下流部へ偏ってい水制を越流する流れにより，堆積物をフラッシュするるが，物質拡散の面積には大きな差は見られない。こ等の配慮が必要である。れは，流速ベクトル図より予測されることであるが，切り欠き部からの流量が，拡散物質濃度を低下させるほど大きくないためである。 8 . おわりに以上に，松代町清野地積の千曲川の亀腹水制工周辺参考文献 1 ) 富所五郎:有限要素法による水理解析， 1 9 9 1年度 ( 第2 7回〉水工学に関する夏期研修会講義集， p p . j\ -1-1~j\ -1-17 ， 1991. 2 ) 桜井善雄，富所五郎:水制工のもつ河川水理及びの流動状況と水制下流部の物質拡散状況を示したが，生物環境の創出効果に関する研究，河川整備基金助解析対象とした規模の不透過水制では，水制下流部に成事業報告書， p p . 1 8 3， 1 9 9 4 . 大きな水平渦が形成され，これにより，主流よりトラ (受付ップされて堆積した水草などが腐敗し，水質悪化を起 1 0 4 1 9 9 5年 2月 6日〉