Guía 6 - mathvega.cl

TIPO DE ACTIVIDAD: Ejercicios
Título Actividad:
Nombre
Asignatura:
Función Exponencial.
Algebra
Semana Nº:
7
Sigla
Actividad Nº
6
Lugar
MAT2001
Sala de clases
Otro Lugar (Donde desarrolle sus
horas No Presenciales PEV)
APRENDIZAJES ESPERADOS:
Resolver problemas de fenómenos modelados con funciones
exponenciales en contextos de educación superior, cotidianos o
simulaciones de situaciones laborales.
Resolver problemas de fenómenos modelados con la gráfica de
funciones exponenciales en contextos de educación superior, cotidianos
o simulaciones de situaciones laborales.
Aprendizaje 1
Aprendizaje 2
FUNCIÓN EXPONENCIAL; PROPIEDADES Y SUS GRÁFICAS
Las funciones exponenciales son aquellas en que la variable se encuentra en el exponente.
f ( x)  T  a x , con a ¹ 0 y T ¹ 0 .
Su forma general es:
Donde:
a es un número real positivo distinto de 1, llamado base.
x es un número real, llamado exponente.
T es un número real, distinto de cero.
El Dominio de la función exponencial es el conjunto de los números reales.
Caso especial
a  e , se tiene la función f x   e x , llamada Función Exponencial de base e , donde e es el
número irracional e  2,7182818284
Sí
La función exponencial obedece a todas las reglas de operatoria de las potencias. Así:
1.
a 0 1 ; a  0
 
2. a
x y
 a x y
3. a  b   a  b
x
a
x
x
x
ax
; b 0
bx
x
y
x y
5. a  a  a

4.  
b 
ax
 a x y ; a  0
ay
1
x
7. a
 x ; a 0
a
x
x
a
b 
8.  
   ; a 0 y b  0
b 
a
6.
Propiedad Fundamental
Si f ( x)  a
1
x
y
f ( x)  a y son dos funciones exponenciales, se cumple a x  a
2
Ejemplo:
Si 2x = 4, entonces al igualar las bases: 2x = 22 se puede afirmar que x = 2.
Agosto 2014 / Programa de Matemática.
y
 x y.
Ejemplo:
La sustancia radioactiva Estroncio-90, se desintegra a medida que transcurre el tiempo
años. Considerando que la masa
determinada por la función:
t 
en
M t  , de estroncio-90, en gramos, que va quedando, está
M t   20 0,50,036t
a) ¿Cuál es la masa inicial de la sustancia radioactiva Estroncio-90?
b) ¿Cuál es la masa aproximada que queda de Estrocio-90 al cabo de 3 años?
DESARROLLO
Función exponencial:
M t   20 0,50,036t
donde:
t : tiempo en años.
M t  masa de estroncio-90 en gramos.
a)
Determinar la masa inicial del estroncio, significa que no ha transcurrido tiempo (tiempo
inicial), por lo que t  0 . Por lo tanto se debe calcular M 0 :

Respuesta: La masa inicial de la sustancia radioactiva Estroncio-90 es 20 gramos.
b)
Determinar la masa que queda de Estroncio-90 al cabo de 3 años, significa que
tanto se debe calcular
M 3 :
t  3 . Por lo
Respuesta: La masa de Estroncio-90 que queda al cabo de 3 años, es aproximadamente
18,6 gramos.
I.
A PARTIR DEL MODELO EXPONENCIAL RESPONDA.
1.
Se ha proyectado que dentro de t años, la población de una ciudad del sur de nuestro país
será de
a)
b)
2.
Pt   0,65  e 0,034t
millones de habitantes. Determine:
¿Cuál es la población actual?
¿Cuál será la población en 12 años más?
Una población de ciervos de 1 año de edad se introduce en una zona de caza. El número N(t)
de los que aún quedan vivos, después de t años, se puede predecir utilizando la siguiente
función:
a)
b)
N t   100  0,9t . Determine:
¿Cuántos ciervos se introdujeron inicialmente?
Estime el número de ciervos vivos después de 5 años.
Agosto 2014 / Programa de Matemática.
3.
En una empresa el costo de producción de x artículos se modela por la función
C x   1,45  e 0,005x  125 , donde C se mide en miles de pesos. Determine:
a)
b)
4.
¿Cuál es el costo fijo de producción?
¿Cuál es el costo al producir 100 artículos?
Investigaciones médicas recientes dicen que el porcentaje de riesgo R de tener un accidente
Rx   6  e 2,81x
automovilístico puede ser modelado mediante la función:
donde x es la
concentración de alcohol en la sangre (gr/ml).
a)
b)
Según las investigaciones ¿Qué porcentaje de riesgo tiene un conductor que tiene cero
concentración de alcohol en la sangre?
Un conductor, con una concentración de alcohol en la sangre de 0,6 (gr/ml), ¿qué
porcentaje de riesgo tendrá de tener un accidente?
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL
La gráfica de la función exponencial es una curva, cuya forma depende del valor de a .
Considerando la función
f ( x)  a x ,
0  a 1
con T = 1 se obtienen las siguientes gráficas:
a 1
Observaciones:
La gráfica intersecta al eje Y en 1, es decir, pasa por el punto (0, 1).
Si
se dice que la función es decreciente.
Si
se dice que la función es creciente.
En general para
f ( x)  T  a x
la gráfica interseca al eje Y en T, es decir, en el punto
(0, T).
Agosto 2014 / Programa de Matemática.
II.
5.
DETERMINE LA GRAFICA CORRESPONDIENTE A PARTIR DEL MODELO
EXPONENCIAL Y RESPONDA
En un laboratorio de biotecnología se tiene un cultivo de bacterias en un fermentador. Si al
inicio habían 100 bacterias y se duplican cada tres horas, la función que relaciona la cantidad
de bacterias y el tiempo t, medido en horas, es
f x   100  2
x
3
. ¿Cuál es la gráfica que
modela dicha situación? Justifica tu respuesta.
6. El índice de contaminación I, aumenta a medida que transcurren las horas del día, lo que
está dado por la función
I ( x)  2,1 e 0, 2 x , donde x
es la cantidad de horas transcurridas
a partir de las 6 AM. ¿Cuál es la gráfica que modela dicha situación? Justifica tu respuesta.
Agosto 2014 / Programa de Matemática.
7. La ganancia anual G de una empresa, en miles de dólares, por concepto de negocios con
otras entidades, después de x años que realizados estos negocios, está dada por la
función
Gx   100  60  0,5
x
. ¿Cuál es la gráfica que modela dicha situación? Justifica
tu respuesta.
8. Un taller se dedica a la venta de repuestos mecánicos nuevos y usados. El valor
miles de pesos, de un repuesto está dado por la función
V ( x)  60  e
0, 2 x
, donde
V,
x
en
son
los años de uso del repuesto. ¿Cuál es la gráfica que modela dicha situación? Justifica tu
respuesta.
Agosto 2014 / Programa de Matemática.
ANEXO DE EJERCICIOS
GUIA N°6
FUNCION
EXPONENCIAL
Para tus horas NO Presenciales
Agosto 2014 / Programa de Matemática.
Con los siguientes ejercicios de Función Cuadrática, podrás seguir
practicando, para abordar los Aprendizajes Esperados de la Guía,
relacionados al cálculo de imagen de una función exponencial
e
identificando la gráfica asociada a la función
Si aún quieres aclarar los procedimientos numéricos para el cálculo de imagen de una
función exponencial, puedes trabajar con los siguientes ejercicios, antes de resolver los
problemas de aplicación
1.
Considere la función:
p( x)  1,5  e0,5 x . Determine:
p(1)

b) p 0
c) p(2)
a)
2.
Sea


g ( x)   1 
 4
a)
g (3)
b)
g (2)
c)
g (1)
x
. Determine las pre imágenes, de los siguientes números:
III. A PARTIR DEL MODELO EXPONENCIAL RESPONDA.
9.
En un país de América Latina el porcentaje P de familias que poseen televisor, después de t
años de su introducción, se puede determinar por la función:
a)
b)
Pt   100  100  e 0,11t
Inicialmente, ¿qué porcentaje de familias tenían televisor?
¿Y después de 5 años?
10. En el año 2000 la población de los Estados Unidos era aproximadamente 227 millones, y ha
ido creciendo a una razón de 0,7% cada año. Esta población N(t), t años más tarde, se puede
aproximar mediante la función
N t   227  e0,007t ,
en millones de habitantes. Si
continuara este patrón de crecimiento, determine:
a)
b)
¿Cuál será la población de Estados Unidos en el año 2020?
¿Y en el año 2027?
Agosto 2014 / Programa de Matemática.
IV. DETERMINE LA GRAFICA CORRESPONDIENTE A PARTIR DEL MODELO
EXPONENCIAL Y RESPONDA
11. Un estudio realizado sobre el uso de los artefactos eléctricos, que en la actualidad son
esenciales para nuestra vida, arrojó que en el pasado la proporción de familias que los
poseían, t años después de salir a venta, se puede representar por la expresión
f ( x)  1  e 0,1x . ¿Cuál es la gráfica que modela dicha situación? Justifica tu respuesta.
12. Una constructora se dedica a la venta de casas. El valor
casa está dado por la función
V ( x)  50  e
0, 25x
V,
en millones de pesos, de una
, donde x son los años de antigüedad de
la casa. ¿Cuál es la gráfica que modela dicha situación? Justifica tu respuesta.
Agosto 2014 / Programa de Matemática.
LISTA DE COTEJO GUÍA N°6
A Continuación se te presenta una lista de actividades que debes llevar a cabo, para poder
completar todos pasos del desarrollo de un ejercicio.
Esta lista, te permitirá revisar si lo que estás generando como desarrollo tiene todos pasos
que serán considerados en la evaluación
Calcular la imagen de una Función Exponencial:
 Clasifica la variable dependiente (imagen) en la función exponencial
 Clasifica la variable independiente (pre-imagen) en la función exponencial
 Reemplaza los valores numéricos asignados en la función exponencial
 Obtiene el valor de la imagen de la función exponencial para el valor dado
 Interpreta el valor de la imagen de la función exponencial en el contexto del ejercicio
 Redacta una respuesta verbal, que permita interpretar el valor de la imagen en el contexto
de la función exponencial
Identifica el Grafico que modela una función Exponencial:
 Reconoce del gráfico de la función exponencial un valor correspondiente a la pre imagen de
esta, mirando los datos de la gráfica
 Remplaza el valor seleccionado anteriormente en la función exponencial dada
 Obtiene el valor de la imagen de la función exponencial
 Contrasta el valor de la imagen obtenido con el que muestra la gráfica
 Identifica cuál de los gráficos es el que corresponde a su modelo
 Redacta una respuesta verbal, que permita identificar el grafico en el modelamiento de la
función.
Agosto 2014 / Programa de Matemática.
9
SOLUCIONES
1.
a) La población actual es de 650.000 habitantes.
b) En 12 años más la población será de 977.475 habitantes aprox.
2.
a)
b)
Inicialmente hay 100 ciervos.
Después de 5 años hay 59 ciervos.
3.
a) El costo fijo es $ 126.450.
b) El costo de producir 100 artículos es de $ 127.391.
4.
a) Con una concentración de alcohol en la sangre de 0 (gr/ml), el riesgo de tener un
accidente es del 6%.
b) Con una concentración de alcohol en la sangre de 0,6 (gr/ml), el riesgo de tener un
accidente es del 32,4%.
5. f(0) = 100 y f(6) = 400, entonces el Modelo 3 grafica dicha situación.
6. I(0) = 2,1 y I(2) = 3,13, entonces el Modelo 1 grafica dicha situación.
7. G(1) = 70, entonces el Modelo 3 grafica dicha situación.
8. V(0) = 60 y V(1) = 49,12 entonces el Modelo 2 grafica dicha situación.
9.
a) Inicialmente el 0% de las familias tenía televisor.
b) Después de 5 años el 42,3% de las familias tenía televisor.
10.
a) En el año 2020 la población será de aproximadamente 261.112.152 habitantes.
b) En el año 2027 la población será de aproximadamente 274.225.296 habitantes.
11.
f(0) = 0 y f(1) = 0,095, entonces el Modelo 1 grafica dicha situación.
12.
V(0) = 50 y V(1) = 38,9, entonces el Modelo 1 grafica dicha situación.
Agosto 2014 / Programa de Matemática.
10

Download Report