PRÁCTICA DE SIMULACIÓN PROBLEMA 1.- Un sistema de producción tiene cinco máquinas. Los componentes de tipo A tienen que pasar por las máquinas 1, 2 y 5, y los de tipo B por las máquinas 3, 4 y 5. Si la máquina está ocupada, el componente espera en cola. Cada cola tiene una capacidad de 50 unidades, y la disciplina que siguen es elegir el componente que menos procesamiento necesite (SPT). Los componentes que salen de las máquinas 2 y 4 van a dos colas diferentes y la máquina 5 selecciona componentes de la cola más larga. El tiempo entre llegadas de los componentes de tipo A sigue una distribución Exponencial de media 2.5 minutos, mientras que el tiempo entre llegadas, en minutos, de los componentes de tipo B es N(2.5,1). Los tiempos que tarda en procesar cada máquina, vienen dados por la siguiente tabla: Máquina Tiempo de procesamiento (min.) Exponencial (0,1.8) Erlang (0,0.4,5) Uniforme (0.5, 3) Constante = 1.5 Exponencial (0,1.0) 1 2 3 4 5 Para simular el comportamiento de este sistema se usará el procedimiento QSS de WinQSB. Los parámetros de este cuadro se dan ya tal y como hay que introducirlos en el QSS. Hay que tener en cuenta también los tiempos que se tarda en transferir una unidad desde una máquina a la siguiente. Estos tiempos (en minutos) son: 1-2 : 0.2; 2-5 : 0.2; 3-4 : 0.1; 4-5: 0.3. a) Evalúa el comportamiento del sistema con una muestra de tamaño 1 (dejando la semilla que aparece por defecto), realizando una simulación de 2000 minutos, sin tener en cuenta los 100 primeros minutos correspondientes al periodo transitorio. Observar, en particular, el número medio de clientes en cola, el máximo número de elementos en cada cola (para ver si es necesario ampliar o disminuir el espacio destinado a los componentes en cola), y el factor de utilización de cada máquina. 1 2 3 4 5 6 nº medio en cola nº máximo en cola Factor de utilización máquinas Obtener el tiempo medio que pasan las piezas en el sistema de producción (average flow time): b) Si tuvieras presupuesto para reducir un 20% el tiempo medio de procesamiento de una máquina, ¿cuál mejorarías para conseguir reducir el tiempo medio que pasan las piezas en el sistema de producción? Tiempo de procesamiento Tiempo al mejorar la máquina 2 Erlang(0,0.4,4) Tiempo al mejorar la máquina 5 Exponencial(0, ) Por tanto mejoraría la máquina: PROBLEMA 2.- El gerente de una pequeña oficina de correos teme que el crecimiento de la localidad sature el servicio que se ofrece con una sola ventanilla. Decide obtener datos de los tiempos entre llegadas de los clientes a la oficina, y de los tiempos que tardan en ser atendidos mediante una muestra de 100 individuos que solicitan servicio. Con estos datos, realiza un estudio estadístico cuyos resultados arrojan que las distribuciones que más se adecúan a los datos para modelar el tiempo entre llegadas y el tiempo de servicio son, respectivamente, exponencial de media 10.5116 y gamma de parámetros 0.4409 y 20 (los parámetros se dan tal y como hay que introducirlos. Los parámetros de localización son 0 en ambos casos) a) Simular, con el programa QA de WinQSB, el comportamiento de la oficina de correos (al entrar en el programa, elegir la opción G/G/s). Tomar 3 muestras independientes (es decir, cambiando las semillas), cada una durante un periodo de 50000 minutos, dejando los 1000 primeros sin contabilizar. Utilizar las semillas: 27437, 2743 y 274. Estimar el tiempo medio de espera de un cliente en la cola, el número medio de clientes en la oficina y la probabilidad de que el sistema esté vacío. Calcular un intervalo de confianza al 95% del tiempo medio de espera de los clientes (tα = h= 4.3). Tiempo medio de Nº medio de clientes Porcentaje de tiempo espera de los clientes en la oficina que está el sistema en cola vacío Simulación 1 Simulación 2 Simulación 3 Estimación por punto Intervalo de confianza del tiempo medio de espera: b) Supongamos que el tiempo de servicio es una exponencial con la misma media que la que del apartado a) (es decir, 8.8188). Realizar bajo esta hipótesis el apartado b) y anotar los resultados. Tiempo medio de Nº medio de clientes Porcentaje de tiempo espera de los clientes en la oficina que está el sistema vacío Simulación 1 Simulación 2 Simulación 3 Estimación por punto: Intervalo de confianza del tiempo medio de espera: ¿Por qué Wq y L aumentan al cambiar la gamma por la exponencial? c) Obtener los resultados analíticos para el problema planteado en el apartado anterior y compararlos con los obtenidos mediante simulación. Comprobar en este caso que el intervalo de confianza obtenido contiene al verdadero valor del parámetro. Resultados analíticos: Tiempo medio de espera: Número medio de clientes en el sistema: Probabilidad de que el sistema esté vacío: PROBLEMA 3.- Una escuela tiene un sistema de computación consistente en una unidad central de proceso (CPU) y n terminales. El sistema es utilizado por profesores y alumnos, utilizando cada grupo el 50% de los terminales. Los trabajos enviados por los profesores tienen prioridad para ser procesados (el índice de prioridad de los profesores es 2, y el de los alumnos 1). Los profesores “piensan” durante un tiempo exponencial de media 25 seg. y después envían un mensaje a la CPU que tarda en procesarlo un tiempo que se distribuye según una Erlang (0,0.2,4). Los tiempos equivalentes de los alumnos siguen distribuciones exponencial de media 40 y Erlang (0,0.1,3) (los parámetros de la Erlang ya se dan tal y como hay que introducirlos en el QSS). Una vez recibida la respuesta el profesor o el alumno repiten el proceso. A la escuela le interesa saber el número máximo de terminales que puede colgar de forma que los tiempos medios de respuesta sean inferiores a 12 seg. para los alumnos. Probar primero con 48 terminales y luego con 44 y 46. Indicaciones: • Para calcular los parámetros de las variables que miden los tiempos entre llegadas, recordar que si Ti , tiempo que se tarda en enviar un mensaje desde una terminal cualquiera es una Exp de parámetro λi , el tiempo transcurrido en enviar un mensaje desde m terminales trabajando de forma independiente es el Min (T1 ,T2 ,…, Tm ) que se puede demostrar que sigue una distribución Exponencial de parámetro λ1 +λ2 +…+ λm . Probar, en este caso, que si el tiempo que tarda en mandar un mensaje un profesor sigue una distribución exponencial de media 25 seg., el tiempo que tarda en llegar un mensaje de cualquiera de los m terminales de profesores es exponencial de media 25/m seg. Igual para los alumnos. • Los parámetros de las distribuciones tomarlos con cuatro decimales. 40/24 = 1.6667; 25/24 = 1.0417; 40/23 = 1.7391; 25/23 = 1.0870; 40/22 = 1.8182; 25/22 = 1.1364. • Observar que este simulador no permite modelar el caso de población finita. Por tanto en el modelo que construimos estamos suponiendo que se está pensando en el siguiente mensaje que se va a enviar antes de recibir la respuesta de la CPU. • En especificaciones de la simulación indicar que la simulación termina después de 10.000 seg., y que se empieza a contabilizar después de los 300 seg. iniciales para eliminar la influencia de las condiciones iniciales, en las que el sistema está vacío. • Al introducir los parámetros de la distribución de llegadas de los mensajes enviados por profesores y alumnos poner tamaño de cola = 500. Además de obtener el número óptimo de terminales, calcular también los tiempos de respuesta máximos para cada tipo de usuarios, el número medio de mensajes en la cola, y el factor de utilización de la CPU y comparar los resultados. Nº Tiempo medio de termina respuesta para les profesores/alumnos 48 46 44 Tiempo de respuesta máximo para profesores/ alumnos Nº medio de mensajes en cola factor de utilización de la CPU Obtener un intervalo de confianza al 95% para el tiempo medio de respuesta de los alumnos con una muestra de tamaño 3 usando el número de terminales que cumple la condición de diseño requerida (tα = 4.3). Utilizar las mismas semillas que en el problema 2. Simulación 1 Tiempo medio de respuesta para los alumnos Intervalo obtenido: Simulación 2 Simulación 3