Dirección de Formación General Programa de Matemática Nivelación Matemática – MAT100 – MAT1001 Material de Estudio Guía N°6: “Trabajando con Proporciones” x Proporcionalidad Directa En un día de invierno se determinó que si está de manera lloviendo constante en 5 minutos caen 8 mm de agua, ¿Cuántos mm de agua caerán en tres cuarto de hora? Una inversión de $350.000 produce una ganancia de $42.000 en un año, ¿Qué ganancia producirá una inversión de $450.000 a la misma tasa de interés y durante el mismo tiempo? Las dos situaciones planteadas anteriormente se resuelven aplicando una proporción directa. ¿Por qué cumple la regla de la proporcionalidad directa? ¿Cuál es la regla de la proporcionalidad directa? Proporcionalidad Directa: Dos variables x e y son directamente proporcionales si su razón y es constante. En x este caso se dice que las variables x e y son directamente proporcionales. Dicho de otra manera si una de las variables aumenta ( x ), la otra también aumenta ( y ); y si una de las variables disminuye ( x ), la otra también disminuye ( y ) En los casos anteriores: En un día de invierno se determinó que si está lloviendo de manera constante en 5 minutos caen 8 mm de agua, ¿Cuántos mm de agua caerán en tres cuarto de hora? Página 111 Nivelación Matemática Aumentan los minutos y bajo las mismas condiciones aumentan los mm de agua caídos, por lo que cumple la regla de la PD. Dirección de Formación General Programa de Matemática Nivelación Matemática – MAT100 – MAT1001 Una inversión de $350.000 produce una ganancia de $42.000 en un año, ¿Qué ganancia producirá una inversión de $450.000 a la misma tasa de interés y durante el mismo tiempo? Aumenta el dinero invertido y bajo las mismas condiciones aumenta la ganancia, por lo que cumple la regla de la PD. Ejemplo Nº1: En un día de invierno se determinó que si está lloviendo de manera constante en 5 minutos caen 8 mm de agua, ¿Cuántos mm de agua caerán en tres cuarto de hora? Paso 1: Identificar las variables presentes en el problema. Minutos y mm de agua caídas Paso 2: Como uno de los datos está en horas y la variable es minutos, debemos arreglarla. Tres cuarto de hora = 45 minutos Respuesta: Paso 3: Ordenar la información, de tal manera de armar una proporción En tres cuartos de hora si llueve de manera constante, caerán 72 mm de agua. Minutos Mm de agua 5 8 45 ? Paso 4: Para encontrar el valor de la incógnita, que corresponde a la cantidad de mm de agua que se registran en tres cuartos de hora, en la proporción directa, se debe multiplicar cruzado: Respuesta: 45 8 5 x 45 8 x 5 72 x En tres cuartos de hora si llueve de manera constante, caerán 72 mm de agua. Además podemos obtener la Constante de proporcionalidad, dada por y x y x Página 112 8 1,6 5 72 1,6 45 y x: En ambos casos se debe cumplir que la constante de proporcionalidad sea la misma Nivelación Matemática Dirección de Formación General Programa de Matemática Nivelación Matemática – MAT100 – MAT1001 Ejemplo Nº2: El siguiente gráfico presenta la relación entre la cantidad de productos comprados (todos de las mismas características) y el valor a pagar. De acuerdo a la información, ¿Cuál es el valor que se debe cancelar si se compran 15 productos iguales? Paso 1: Como los datos del problema son proporcionados a través de un gráfico, debemos seleccionar un par ordenado para poder hacer la proporción y para esos tenemos varias opciones, observa los puntos marcado en azul a continuación. Si te fijas, hay varios pares ordenados que podrías elegir, nos sirven los que están justo en la intersección y donde se puede ver claramente cuáles con las coordenadas. Para formar la proporción basta con que elijas uno de ellos, ya que con cualquiera obtendrás el mismo valor, porque son parte de la misma recta. Para nuestro ejemplo, seleccionaremos el par (4,20.000) Paso 2: Formar la proporción entre las variables presentes en el gráfico. Cantidad de productos Valor a pagar 4 20000 15 x Paso 3: Multiplicar cruzado y despejar el valor de la incógnita: 15 20000 4 x 15 20000 x 4 75.000 x Página 113 Respuesta: Al comprar 15 productos iguales, se debe cancelar un total de $75.000 Nivelación Matemática Dirección de Formación General Programa de Matemática Nivelación Matemática – MAT100 – MAT1001 Además podemos obtener la Constante de proporcionalidad y x y x 20000 4 75000 15 y x: En ambos casos SE DEBE cumplir que la constante de proporcionalidad sea la misma. Con respecto al ejercicio anterior, podemos observar que la constante de proporcionalidad puede ser un número entero o un número decimal 5.000 5.000 Observación: Puedes observar que el gráfico de la proporción directa es una recta x Proporcionalidad Inversa Proporcionalidad Inversa: Dos variables x e y son inversamente proporcionales si su multiplicación x y k es constante. En este caso se dice que las variables x e y son inversamente proporcionales. Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una, disminuye la otra en la misma proporción. Situación N°1 En una parcela hay 50 animales y el alimento les alcanza para 18 días. Si se compran 10 animales más, ¿Para cuántos días alcanzaría la misma cantidad de alimento? Página 114 Nivelación Matemática Dirección de Formación General Programa de Matemática Nivelación Matemática – MAT100 – MAT1001 Identifiquemos los pasos a seguir: Paso 1: Identificar a qué tipo de proporción corresponde. El enunciado cumple con las reglas de la proporción inversa, ya que si se tienen más animales el alimento alcanzará para menos días, entonces cuando aumenta una variable, disminuye la otra en la misma proporción. Paso 2: Ordenar los datos para establecer la proporción: Cantidad de Animales 50 60 Días 18 x Paso 3: Como en este caso se trata de una proporción inversa, para poder obtener el valor de la incógnita, se tienen dos alternativas: Página 115 Nivelación Matemática Dirección de Formación General Programa de Matemática Nivelación Matemática – MAT100 – MAT1001 Podemos observar que se puede aplicar cualquiera de las dos técnicas y cualquiera de las dos que se aplique llegamos a los mismos resultados. Situación N°2 El siguiente gráfico presenta el valor en miles de pesos de la cuota que debe pagar cada integrante de un grupo familiar, al comprar un producto tecnológico para el grupo familiar. De acuerdo al gráfico, ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?, ¿Cuál será la cuota que deberá pagar cada integrante si el grupo familiar está compuesto por 12 personas? Paso 1: Como los datos del problema son proporcionados a través de un gráfico, debemos seleccionar un par ordenado para poder hacer la proporción y para esos tenemos varias opciones, observa los puntos marcado en azul a continuación: Si te fijas, hay varios pares ordenados que podrías elegir, nos sirven los que están justo en la intersección y donde se puede ver claramente cuáles son las coordenadas. Para formar la proporción basta con que elijas uno de ellos, ya que con cualquiera obtendrás el mismo valor, porque son parte de la misma curva. Para nuestro ejemplo, seleccionaremos el par (20,30) Como el eje “y” está abreviado en Miles $, el par ordenado a utilizar es (20,30000) Paso 2: Formar la proporción entre las variables presentes en el gráfico: Cantidad de productos Valor a pagar 20 12 30000 x Paso 3: Para encontrar el valor de la variable aplicamos cualquiera de las dos técnicas explicadas en el ejemplo anterior, aplicaremos la primera técnica, es decir multiplicaremos horizontal. 20 30000 12 x Página 116 Nivelación Matemática Dirección de Formación General Programa de Matemática Nivelación Matemática – MAT100 – MAT1001 Paso 4: Despejar la incógnita 20 30000 12 x 20 30000 x 12 50.000 x Respuesta: Si hay 12 personas cada una pagará una cuota de $50.000 Además podemos obtener la Constante de proporcionalidad k k k x y 20 30000 600000 x y 12 50000 600000 x y : En ambos casos se debe cumplir que la constante de proporcionalidad sea la misma Observación: Puedes observar que el gráfico de la proporción inversa es una curva Observación: En cambio el gráfico de la proporción Directa siempre será una línea recta. Apuntes de clases: Página 117 Nivelación Matemática Dirección de Formación General Programa de Matemática Nivelación Matemática – MAT100 – MAT1001 Guía de Estudio N°6: “Trabajando con Proporciones” 1. Teresa trabajó tres horas y ganó $8.100. ¿Cuántas horas debe trabajar en el mismo lugar y bajo las mismas condiciones para ganar $32.400? Desarrollo: 2. En condiciones óptimas un alumno del taller de teatro necesita 25 minutos para aprender 15 líneas del texto, ¿cuántos minutos necesitará bajo las mismas condiciones para memorizar 180 líneas?, ¿cuántas horas se demora en memorizar este texto? Desarrollo: 3. El arriendo de una cancha de tenis cuesta $5.500 la media hora. Si Juan y su hermano la arrendarán por 3 horas 15 minutos, ¿cuánto dinero deben pagar? Desarrollo: 4. Un estudio determinó que 100 gramos de naranjas aportan al organismo 34 ml de agua, ¿cuántos ml de agua aportarán al organismo 2 kilos de naranjas? Desarrollo: 5. El siguiente gráfico presenta la relación entre los metros cúbicos consumidos de agua y el valor a pagar en pesos por tal consumo. De acuerdo a la información entregada en el gráfico, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?, ¿cuánto se debe cancelar si se consumen 7.552 metros cúbicos de agua? Desarrollo: Página 118 Nivelación Matemática Dirección de Formación General Programa de Matemática Nivelación Matemática – MAT100 – MAT1001 6. El siguiente gráfico presenta la distancia recorrida por un bus de pasajeros en relación a los litros de combustible consumidos durante el viaje, si mantiene una velocidad constante. De acuerdo a los datos de gráfico, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?, ¿cuántos litros de combustible gastará el bus si realiza un viaje de 375km? Desarrollo: 7. Un acuario puede llenarse con 12 bidones de 15 litros cada uno, ¿cuántos bidones de 4,5 litros se necesitan para llenar el mismo acuario? Desarrollo: 8. Una constructora sabe que para construir un edificio de 8 pisos se necesitan 72 trabajadores, los cuales se demoran 12 meses en terminarlo. ¿Cuántos trabajadores extra se deben contratar para terminar el mismo edificio en 9 meses? Desarrollo: 9. En una parcela hay 50 animales y el alimento les alcanza para 18 días. Si se compran 10 animales más, ¿para cuántos días alcanzaría la misma cantidad de alimento? Desarrollo: 10. Un bus demora 7,5 horas entre Valparaíso y Talca a una velocidad promedio de 84 km/h. ¿A qué velocidad promedio se desplazó otro vehículo que hizo el mismo recorrido en 6 horas? Desarrollo: Página 119 Nivelación Matemática Dirección de Formación General Programa de Matemática Nivelación Matemática – MAT100 – MAT1001 11. El siguiente gráfico presenta el valor en miles de pesos de la cuota que debe pagar cada integrante de un grupo familiar al adquirir un producto tecnológico. De acuerdo al gráfico, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?, ¿cuál sería la cuota que se debería pagar cada integrante, si el grupo familiar estuviera compuesto por 12 personas? Desarrollo: 12. En el siguiente gráfico se presenta información que relaciona el tiempo de espera de los clientes en ser atendidos en una sucursal de telefonía celular, con respecto a la cantidad de trabajadores que están atendiendo. Si trabajan 12 personas en la sucursal, ¿cuántos minutos tendrá que esperar una persona para ser atendida? Desarrollo: 13. Una moto recorre 120 metros en 4 segundos. ¿Qué distancia recorre en 1 minuto 12 segundos, si mantiene su rapidez constante? Desarrollo: Página 120 Nivelación Matemática Dirección de Formación General Programa de Matemática Nivelación Matemática – MAT100 – MAT1001 14. Una inversión de $350.000 produce un Desarrollo: rendimiento (ganancia) de $4.200 en un año. ¿Qué rendimiento producirá una inversión de $450.000 a la misma tasa de interés y durante el mismo tiempo? 15. El siguiente gráfico presenta la relación entre la cantidad de productos comprados (todos de las mismas características) y el valor a pagar. De acuerdo a la información, ¿cuál es el valor que se debe cancelar si se compran 15 productos iguales? Desarrollo: 16. La rapidez de un automóvil es de 70 km/h y demora 5 horas en recorrer una cierta distancia. ¿Cuántas horas demorará en recorrer la misma distancia, otro automóvil, con una rapidez de 80 km/h? Utilice FIX1 Desarrollo: 17. Cuando una llave arroja 32 litros por minuto de cierto líquido, demora 3,5 horas en llenar un estanque. ¿Cuánto demora en llenarse este estanque, si ahora la llave arroja 24 litros por minuto? Utilice FIX1 Desarrollo: 18. Un estudio realizado sobre la salinidad del agua de mar determinó que 2 litros de agua de mar contienen 1,5 gramos de sal. Si se tiene una muestra que contiene 9,375 gramos de sal, ¿cuántos litros de agua de mar se extrajeron? Desarrollo: Página 121 Nivelación Matemática Dirección de Formación General Programa de Matemática Nivelación Matemática – MAT100 – MAT1001 19. Para pavimentar una calle de 800 metros de largo y 12 metros de ancho, se han utilizado 18.000 pastelones. ¿Cuántos pastelones se necesitan para pavimentar una calle de 1.000 metros de largo y 15 metros de ancho? Desarrollo: 20. El siguiente gráfico presenta la relación entre la cantidad de máquinas que se tienen para realizar un determinado trabajo y el tiempo que demoran en realizarlo. ¿Cuántas horas demorarán en hacer el mismo trabajo si se cuenta con 25 máquinas? Desarrollo: 21. Una persona establece la relación entre el número de grifos necesarios y las horas que tardan en llenar una piscina. Si se sabe que 5 grifos demoran 1,6 horas en llenarla, ¿cuál de los siguientes gráficos representa la situación planteada? Desarrollo: Página 122 Nivelación Matemática Dirección de Formación General Programa de Matemática Nivelación Matemática – MAT100 – MAT1001 22. Un instituto confecciona un gráfico donde se representa la relación entre la cantidad de alumnos matriculados y el dinero recaudado por este concepto. Se sabe que se si matriculan 15 alumnos la recaudación es de $750.000, ¿cuál de los siguientes gráficos establece la relación entre las variables? Desarrollo: Selección Múltiple 23. Un árbol de 1,8 metros de altura proyecta una sombra hacia el frente de 2,2 metros. ¿Cuánto mide la sombra de otro árbol de 1,5 metros que se encuentra al lado del primero a la misma hora? Utilizar FIX2 a) b) c) d) e) Desarrollo: 0,54m 1,83m 2,06m 2,64m 5,94m 24. Una máquina puede etiquetar 4.096 envases en cuatro días de trabajo. ¿Cuántos días son necesarios para etiquetar 9.216 envases iguales a los anteriores? a) b) c) d) e) Página 123 Desarrollo: 1 2 9 10 13 Nivelación Matemática Dirección de Formación General Programa de Matemática Nivelación Matemática – MAT100 – MAT1001 25. Una casa se pinta en 20 días con 60 hombres trabajando. Por problemas de presupuesto, al mes siguiente la empresa debe contratar a 45 personas menos bajo las mismas condiciones. ¿Cuántos días se demorarán en pintar una casa de iguales características? a) b) c) d) e) 5 15 26 60 80 26. Si 25 telares producen cierta cantidad de tela en 120 horas de trabajo, ¿cuántas horas demoran 60 telares iguales en producir la misma cantidad de tela? a) b) c) d) e) Desarrollo: Desarrollo: 7,2 12,5 25,0 50,0 288,0 27. Para pintar una pared de 96m2 se ocupan 8 tarros de pintura. ¿Cuántos tarros del mismo tipo de pintura se necesitan para pintar una pared de 28,8 metros de largo por 2,5 metros de ancho? Desarrollo: a) 3 b) 5 c) 6 d) 11 e) 17 28. El pago por el consumo de la electricidad es proporcional a la electricidad que se consume mensualmente. Esta situación se refleja en el siguiente gráfico. Si una familia consume 1.550KW de electricidad en el mes, ¿cuánto es lo que debe cancelar? a) b) c) d) e) Página 124 Desarrollo: $258 $7.750 $9.000 $9.300 $9.360 Nivelación Matemática Dirección de Formación General Programa de Matemática Nivelación Matemática – MAT100 – MAT1001 29. Un jefe de obra construye el siguiente gráfico donde se relaciona la cantidad de operarios trabajando bajo las mismas condiciones, y el tiempo en horas que se demoran en realizar un determinado trabajo. ¿Cuánto tiempo se demorarán en realizar el mismo trabajo 16 operarios? Desarrollo: a) 9,37 b) 6,25 c) 12,5 d) 100 e) 800 30. La cantidad de mg de medicamento en el organismo se relaciona en forma proporcional a las horas transcurridas desde que se ingiere. Pasadas 1,6 horas de haber sido ingerido quedan en el organismo 125mg, ¿cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas? Desarrollo: I. Pasada 1 hora hay en el organismo 200mg del medicamento. II. La constante de proporcionalidad es 50. III. El siguiente gráfico modela la situación. a) b) c) d) e) Página 125 Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo I y III I, II y III Nivelación Matemática Dirección de Formación General Programa de Matemática Nivelación Matemática – MAT100 – MAT1001 31. En una parcela hay 12 caballos que consumen 720 kg. de alfalfa durante el mes de “Abril”. El dueño de la parcela compró 3 caballos más, si tiene la misma cantidad de alfalfa, ¿para cuántos días le alcanzará? a) b) c) d) e) Desarrollo: 7,5 14 24 37,5 38,75 32. Laura quiere comenzar a andar en bicicleta Desarrollo: y diseña un plan de acción que se ve representado en el siguiente gráfico, donde se relacionan en forma proporcional los minutos dedicados a andar en bicicleta y la distancia recorrida en kilómetros. ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas? I. Si hace ejercicio por media hora recorre 5 km en bicicleta. II. La constante de proporcionalidad es 6. III. Si Laura se dedica 1 hora y 24 minutos a andar en bicicleta, recorre 14 km. a) b) c) d) e) Sólo I Sólo III Sólo I y III Sólo II y III I, II y III Página 126 Nivelación Matemática Dirección de Formación General Programa de Matemática Nivelación Matemática – MAT100 – MAT1001 33. Un nutricionista le indica a un paciente que Desarrollo: una porción de yogurt tiene 6,3 proteínas. Si el médico le indica a su paciente que debe consumir diariamente 5 porciones de yogurt con las mismas características, ¿cuántas proteínas debe consumir el paciente a la semana? a) b) c) d) e) 8,82 31,5 126 157,5 220,5 34. Eugenia se quiere comprar una estufa a parafina que gasta 2 litros del combustible en 5 horas. Si el consumo de parafina es proporcional al tiempo de uso, ¿cuántos litros de parafina se gastarán en 8 horas? a) b) c) d) e) Desarrollo: 1,25 2 3,2 11 15 35. Una cuenta se dividirá en forma proporcional a la cantidad de personas que la compartirán, la situación se ve reflejada en el siguiente gráfico. ¿Cuál es la cuota que debe cancelar cada uno, si el grupo tiene en total 16 personas? a) b) c) d) e) Página 127 Desarrollo: $17.500 $18.750 $21.875 $50.000 $114.286 Nivelación Matemática Dirección de Formación General Programa de Matemática Nivelación Matemática – MAT100 – MAT1001 36. Un jardinero utiliza 74,4 metros cuadrados de pasto para colocar la misma cantidad en 6 casas, ¿Cuántos metros cuadrados de pasto necesitará el jardinero para colocar en 14 casas iguales a las anteriores? a) b) c) d) e) Desarrollo: 31,9 m2 94,4 m2 173,6 m2 297,6 m2 520,8 m2 37. Jaime ahorra mensualmente la misma cantidad de dinero. Al consultar su saldo después de 15 meses, observa un total de $354.000. Si Jaime sigue ahorrando de la misma manera, ¿cuánto dinero tendrá ahorrado después de 32 meses? a) b) c) d) e) Desarrollo: $165.938 $377.600 $708.000 $755.200 $826.000 38. Para construir un edifico el capataz de una obra determina que si tiene 70 trabajadores trabajando bajo las mismas condiciones demorarán 24 meses en terminarlo. ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas? Desarrollo: I. La constante de proporcionalidad es 1.680 II. Si el capataz contratara 14 trabajadores más, trabajando bajo las mismas condiciones, demorarían 20 meses en terminar el mismo edificio. III. Si se contrataran más trabajadores, trabajando bajos las mismas condiciones, se demorarán más en terminar el mismo trabajo. a) Sólo I b) Sólo III c) Sólo I y II d) Sólo I y III e) I, II y III Página 128 Nivelación Matemática Dirección de Formación General Programa de Matemática Nivelación Matemática – MAT100 – MAT1001 39. El siguiente gráfico presenta la relación Desarrollo: proporcional entre los litros de pintura utilizados para pintar un muro y la superficie que se puede cubrir al pintar. ¿Cuántos litros de la misma pintura se deben utilizar para pintar un muro de 68 metros cuadrados de superficie? a) b) c) d) e) 0,6 L 6L 6,8 L 7L 10 L 40. Gonzalo necesita dejar su auto en un Desarrollo: estacionamiento. Un letrero le indica que el costo por estacionar 30 minutos es de $800. Si el cobro del estacionamiento es proporcional al tiempo, ¿cuánto debe cancelar Gonzalo si permanece estacionado por 1 hora y 24 minutos? a) b) c) d) e) $ 640 $1.600 $1.720 $2.240 $3.040 Página 129 Nivelación Matemática Dirección de Formación General Programa de Matemática Nivelación Matemática – MAT100 – MAT1001 Respuestas Guía de Estudio N°6: “Trabajando con Proporciones” 1.Debe trabajar 12 horas 2.Se demora 300 minutos = 5 horas 3.Debe pagar $35.750 4.Aportan al organismo 680ml de agua 5.La constante de proporcionalidad es 2. Se deben cancelar $15.104 6.La constante de proporcionalidad es 0,05. Se necesitan 18,75 litros de combustible. 7.Se necesitan 40 bidones 8.Se necesitan 24 trabajadores extra 9.Les alcanza para 15 días 10. Viaja a 105 km/h 11. La constante de proporcionalidad es 600.000. Cada uno debe pagar $50.000 12. El tiempo de espera es de 12,5 minutos 13. La moto recorre 2.160 metros 14. Produce una ganancia de $5.400 15. Por 15 productos cancela $75.000 16. Se demorará 4,4 horas 17. Se demorará 4,7 horas 18. Se extrajeron 12,5 litros de agua de mar 19. Se necesitan 28.125 pastelones 20. Se demoran 16 horas 21. Gráfico B 22. Gráfico C 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B C E D C D C D C E E C C C D C C D Página 130 Nivelación Matemática
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