問題集０（単位の表現）単位について：本授業では、SI 単位系で扱う．重力加速度 g=9.8m/s2 として仮定せよ．問題０−１単位について（１）水の密度は 1kg/L（１リットルの質量は 1kg）である．これを，kg/m3 の SI 単位に変換するといくらになるか．（１L=0.001m3） (2)1000kg の質量に作用する重力は何 N（ニュートン）か？ (3)1000kg/m3 の密度の流体（水）の単位体積重量γ=ρg はいくらか．SI 単位で記すこと．途中の単位変換も示すこと． (4)100W を消費して光っている電球は，1 秒当たりに何 J の仕事をしているのか．（1W（ワット）の定義）問題０−２圧力の単位までの変換について（１）水の密度(質量/体積）をρ=1000kg/m3 とする．右図の面積 A=2.0m2 の板に作用する水圧は，その上に載っている水の体積 V=1.0m3 から作用して決まる．以下の手順でこの底面の板に作用する圧力（力/面積）p を求めよ．ただし，すべて単位を付けて記すこと．単位がどのように変換されるのかわかるように書くこと．水：密度：ρ=1000kg/m3 体積 V=1.0m3 板：面積 A=2m2 図-0.1 水柱の底面に作用する圧力 1)この体積 V の水の質量 M を求めよ． 2)その質量に重力によって作用する重量 Fy を求めよ． 3)板に作用する水の圧力（水圧）p を求めよ。（２）この（１）の問いにおいて，仮に水圧 p=2000N/m2=2000kPa がかかっているとき，この板に作用する全水圧 Fy はいくらになるか．水理学演習（2008 年月日提出）学籍番号：氏名：レポート作成時間問題０−３分単位の定義，比重と密度，比重と単位体積重量以下の空白を埋めよ．（１）密度ρ 密度ρはその流体の，（A）である．つまりρ=（B）あたりの（B）／（A）である．水は１L（リットル）あたり 1kg だから，これを「kg/m3」の SI 単位に変換すると，水の密度ρ=（C）（数値） kg/m3 となる． (2) 重量，重さ重量＝重力（重さ）は，力の単位であり，その物体や流体の（B）地球上での（D） ×（D）から求める． m/s2 である．は（E）（数値） kgm/s2 であるが，kg・m/s2=N（ニュートン）例えば，1000kg の質量に作用する重量は（F）（数値）であり，k（キロ）=1000，であるから，（G）（数値） kN と表す． (3)単位体積重量γ 単位体積重量γとは文字通り，ある流体の（A）つまりγ=（I）／（A） γを変形すると，γ=（（B）括弧内は（J）あたりの（I）である．である．（I）は(2)のように，（I）=（B）×（D）であるから，／（A））×（D）から，である．よって，単位体積重量γ=ρg と表される．水の（密度 1000kg/m3）の単位体積重量γ=ρg は，9800(kg/m3)(m/s2）となるが，kg・m/s2=N（ニュートン）であり，k （キロ）=1000，であるから，水の単位体積重量はγ=ρg=（K）（数値と単位）となる． (4)比重 s の使い方比重 s は，その流体の密度と，水の密度の比である．つまり，ある流体の比重 s＝その流体の密度ρ' ／水の密度ρ である．右辺の分母と分子の両方に重力加速度 g を掛けても比重は変わらない．すると分子はρ'g と，分母はρg となり，単位体積重量の比でもある．つまり，ある流体の比重 s＝その流体の単位体積重量（γ'=ρ'g）／水の密度単位体積重量（γ=ρg）となる．比重には単位（次元）がない．これらを変形すると，ある流体の比重が s であるとわかっているとき，・その流体の密度ρ' ＝比重 s × 水の密度ρ（＝（C） kg/m3）・その流体の単位体積重量γ' ＝比重 s × 水の密度単位体積重量γ（=（K）となる．例えば，ある油の比重が s=0.9のとき，その油の密度ρ'は単位体積重量γ'は（L）（数値と単位）） kg/m3 であり，となる． (5)仕事と仕事率（応用編）・100W を消費し光る電球は，1 秒当たりに（M) J の仕事をしている．（1W（ワット）の定義）・真夏の日射が地上 1m2 あたり 1000W/m2 のエネルギー入射があるとする．10m2 の面積の太陽電池パネルがあり，その発電効率が 10%のとき，その出力可能な電力は（O) （Q) 個灯すことができる． 1 時間当り（P) 使われる「１kW・時」という単位は，（R) 問題０−４深さと圧力 W であり，このとき，消費電力 20W の電球を kJ のエネルギーを送ることができる．電力会社のメータで kJ に相当し，電力量＝消費エネルギーの単位である．以下の数値や単位を埋めて文章を完成させよ．（１）絶対圧とゲージ圧：大気の平均的な圧力は，絶対圧で 1013hPa=1013× Pa である． Pa＝これが１気圧(atm)である． Pa=N/m2 であるから，水平に置いた板の面積 1m2 あたりにかかる力が N であるということだ．これは，水面にいつも作用している．しかし「大気の海」の底に住んでいる我々は，絶対圧=0 がいくらであるかを必要としない．つまり，大気圧を 0 とした状態で圧力を測った値をゲージ圧と呼び，通常はこれを利用する． (2)水深 h(m)だけ沈んだ場所の水圧（圧力）を考えてみる．その深さで面積 A（m2）の板を水平に置き，その上面に作用する圧力を考えるため，まず，その上に水面までの四角柱の箱を想像して，その重さ W を考える．h(m)の水深のとき，その体積 V は記号で水の密度=質量/体積が ρ （単位：）であるから，箱の質量は記号でを掛けたものが，重さとなる． N=kg・m/s の単位変換を施すと，重さは記号でると，圧力の式は p= 2 N/m = p= （単 2 ）となり，これに，位：（m3）であり，（または（または）(単位：）となる．これを面積 A で割）となるが，この単位を）（単位：と変換するから，圧力の式は（または）（単位：）・・・式① となる．仮に大気圧を p0 とすると，これがさらに加わり，圧力の式は p= （またはとなる．柱の上面に作用する圧力 p0 に）（単位：）・・・式② を加えたものが下端の水圧 p となる． ■以後，重力加速度 g＝9.8m/s2，水の密度ρ=1000kg/m3，単位体積重量γ=ρg＝9800N/m3＝9.8kN/m3 とする． (3) 式①から，水深 5m での水圧（ゲージ圧）を求めよ．答え： (4) 絶対圧で 10 気圧=10atm になる水深は，およそ何 m となるか？．（数値と単位）理由（計算過程）も示せ．＜やや難＞ 2008.4.23 水理学演習問題集（１）側圧管水の密度ρ=1000kg/m3，重力加速度 g＝9.8m/s2，水の単位体積重量γ=ρg＝9800N/m3＝9.8kN/m3 とする．圧力はすべてゲージ圧で答えよ．（大気圧=0）類題１−１側圧管以下の問いに答えよ．（１）図-1.1 において，A 点での圧力 pA は式でどう表せるか？また，L=0.5m，θ=60°のとき，pA はいくらになるか．（2）図-1.2 において，A 点での圧力 pA は，式でどう表せるか？また，右側の液体をγm＝s γ とし，比重 s=13.6 として，h1=0.3m，h=0.8m のとき， pA の値はいくらか．（3）図-1.3 において，A 点の圧力 pA の計測値を知った時，B 点での圧力 pB は式でどう表せるか？また， pA=0.5kPa，h=0.1m，h1=0.1m，h2=0.1m， s=0.9 とした場合，pB の値を求めよ．（4）図-1.4 において液体 A より軽い液体 B が U 字管の右側に注入された．その高さ h2 がわかっているとき，その差 ∆h=h2-h1 はいくらになるか，図中の記号を用いた式で答えよ．（参考書「絵とき水理学」p.26）また，液体 A が水，液体 B がトルエン（比重 s= ρ2/ρ1=0.875）で，h2=0.2m の時，∆h は数値でいくらか？（5）教科書 p.47 の問題１(a)∼(c)を解け． θ 図-1.1 類題１−２図-1.2 図-1.3 図-1.4 ベンチュリー管（差圧マノメータ）図-1.5 のベンチュリー管の断面 A，B の圧力差を測りたい．水が入っていた U 字管に水銀を入れ，その差圧マノメータの差は h であった．以下の問いに答えよ． ①この時の圧力差∆p＝pa-pb を式で表せ．水銀の比重を s とせよ． ②圧力水頭差（ピエゾ水頭差）∆p/γ＝∆p/ ρg＝(pa-pb)/ ρ g はどうか． ③さらに，水銀の比重を s=13.6 とし，水銀柱の高さの差が h=0.05m の時，圧力差∆p の値はいくらか？図-1.6 水の密度ρ=1000kg/m3，重力加速度 g＝9.8m/s2，水の単位体積重量γ=ρg＝9800N/m3＝9.8kN/m3 とする．圧力はすべてゲージ圧で答えよ．（大気圧=0）問題１−１側圧管以下の問いに答えよ．（１）図-1.7 において，A 点での圧力 pA は，式でどう表せるか？また，L=1.0m，θ=30°のとき，pA はいくらになるか．（２）図-1.8 において，A 点での圧力 pA は，式でどう表せるか？また，h1=0.3m，h=0.2m のとき， pA はいくら（値）になるか求めよ．水銀の比重 s=13.6 とせよ．（３）図-1.9 において，A 点と B 点の圧力差∆p＝pA-pB は式でどう表せるか？また，左右の液体を水とし，真ん中の液体の比重 s=γm/ γ = 13.6 とし， h=0.1m，l=0.1m のときの，∆p の値を求めよ． θ 図-1.7 問題１−２図-1.8 図-1.9 差圧マノメータ（上向き）図-1.10 の様に，水平な管路上の A 点および B 点に，トルエン（比重ｓ）を用いた差圧マノメータが付けてある．その差が∆h の時，以下の問いに答えよ．トルエン：比重 s=0.875 C点 Δh D点水 ①管路のこの AB 間の圧力差∆p＝pA-pB は，記号でどう表される差圧マノメータか？ ②さらにトルエンの比重 s=0.875 とし，∆h =2.0cm=0.02m の時， ∆p はいくらか，値（と単位）で求めよ． ③また，∆p の圧力水頭差はいくらか？ A点管路(水平）図-1.10 B点水理学演習問題集（２）平面に作用する全水圧水の密度ρ=1000kg/m3，重力加速度 g＝9.8m/s2，水の単位体積重量γ=ρg＝9800N/m3＝9.8kN/m3 とする．類題２−１平面に作用する全水圧（1）（長方形，水没パターン） θ =30° 図-2.1 における，全水圧 P の大きさと，作用線の位置 sC および，HC を求めよ．ただし，幅 B，高さ H の長 Hc 全水圧 P O sc 方形の重心周りの断面２次モーメントは， I G = BH 12 であることを利用せよ． 3 C G G C s1=4m B=3m H=4m 図-2.1 θ =30° （2）（一般図形＝円形の例）図-2.2 における，円盤に作用する全水圧 P の大き O 全水圧 P Hc sc さと，作用線の位置 sC および，HC を求めよ．ただし，直径 D の円の重心周りの断面２次モーメントは， C I G = πD 64 であることを利用せよ． 4 G C G s1=4m D=4m 図-2.2 θ =60° （３）（長方形，水面まであるパターン）図-2.3 における，全水圧 P と，作用線の位置 sC および，HC を求めよ． O Hc 全水圧 sc P C G C B=2m 図-2.3 H=6m 問題２−１平面に作用する全水圧 θ =60° （1）（長方形，水没パターン） O 図-2.4 における，長方形板に作用する，全水圧 P の大きさと，作用線の位置 sC および，HC を求めよ．た Hc sc だし，幅 B，高さ H の長方形の重心周りの断面２次モ全水圧ーメントは， I G = BH 12 であることを利用してよい． P 3 s1=3m G C G C H=6m B=2m 図-2.4 θ =30° （2）（一般図形＝三角形の例）図-2.5 における，三角形の板に作用する，全水圧 P P の大きさと，作用線の位置 sC および，HC を求めよ．ただし，底辺 B，高さ H の三角形の重心周りの断面２ O 全水圧 sc Hc 次モーメントは， I G = BH 3 36 であることを利用せよ． G C s1=4m C B=3m G H=4m 図-2.5 θ =30° （３）（長方形，水面まであるパターン）図-2.6 における，長方形板に作用する，全水圧 P と， Hc O 全水圧 P sc G 作用線の位置 sC および，HC を求めよ． C G C B=2m H=6m 図-2.6 水理学演習問題集（２のその２）鉛直平面に作用する全水圧水の密度ρ=1000kg/m3，重力加速度 g＝9.8m/s2，水の単位体積重量γ=ρg＝9800N/m3＝9.8kN/m3 とする．類題２−２平面に作用する全水圧（鉛直面） θ =90° （1）（一般図形＝三角形の例，完全水没，鉛直面） O 図-2.7 における，三角形の板に作用する，全水圧 h1=4m P の大きさと，作用線の位置 HC を求めよ．ただし， Hc 底辺 B，高さ H の三角形の重心周りの断面２次モーメントは， I G = BH 3 36 であることを利用せよ．全水圧 G P G C C H=3m B=3m 図-2.7 θ =90° O （２）（長方形，水面まであるパターン，鉛直）図-2.8 のような鉛直な壁面に作用する，全水圧 P と， Hc 作用線の位置 HC を求めよ．但し，水深 H=6m，奥行き B=10m とする．全水圧 P H=6m G C 幅（奥行き）B=10m 図-2.8 問題２−２平面に作用する全水圧（鉛直面） θ =90° O （1）（長方形，水没パターン，鉛直） Hc 図-2.9 における，幅 B=3m の水没した長方形板に作用する，全水圧 P の大きさと，作用線の位置 HC を h1=4m 全水圧 P 求めよ． G ただし，幅 B，高さ H の長方形の重心周りの断面２ H=4m C 次モーメントは， I G = BH 3 12 であることを利用してよい．幅（奥行き）B=3m 図-2.9 θ =90° O Hc （2）（一般図形＝円形の例，鉛直） h1=4m 図-2.10 における，円盤に作用する全水圧 P の大きさと，作用線の位置 HC を求めよ．ただし，直径 D の円の重心周りの断面２次モーメン全水圧 P トは， I G = πD 4 64 であることを利用せよ． G G C C D=4m 図-2.10 （３）（長方形，水面まであるパターン，鉛直） θ =90° 図-2.11 のように，水深 H=4m，幅（奥行き）B=3m の O 鉛直板（長方形）に作用する，全水圧 P と，作用線の位置 HC を求めよ． Hc 全水圧 P H=4m G C 幅（奥行き）B=3m 図-2.11 水理学演習問題集（３）曲面に作用する全水圧水の密度ρ=1000kg/m3，重力加速度 g＝9.8m/s2，水の単位体積重量γ=ρg＝9800N/m3＝9.8kN/m3 とする．，幅 b，高さ H の長方形の重心周りの断面２次モーメントは， I G = bH 3 12 であることを利用してよい．なお，ここでの「曲面」は，円筒状の曲面に限定される．類題３−１曲面に作用する全水圧（１）（テンターゲート，上向き作用，教科書 p.34 類題）奥行き B=10m 図-3.1 のような，奥行き B=10m，半径 R=4m，中心 A 角θ=60°のテンターゲート(B-E 面）に作用する，全 H1=4m 水圧 P の大きさとその分圧 Px，Pz，作用線の角度αを求めよ．（曲面のゲートにだけ作用する力であること Hc E O α に注意） θ =60° Px また，その作用位置 Hc'および xC を求めよ． Hc' 半径 R=4m 全水圧 P Pz B xC 図-3.1 奥行き B=10m 類題３−２（ローリングゲート，上下面）図-3.2 のような，奥行き B=10m，半径 R=4m のゲート（A-B 面）に作用する，全水圧 P の大きさと，その分圧 Px，Pz，作用線の角度αを求めよ．半径 A R=4m θ =30° Hc E O α また，その作用位置 Hc'および xC を求めよ． Px H c' R=4m 全水圧 P Pz B xC 図-3.2 問題３−１曲面に作用する全水圧（１）（テンターゲート，下向き作用） A 図-3.3 のような，奥行き B=10m，半径 R=6m，中心角θ=60°のテンターゲートに作用する，全水圧 P の奥行き B=10m Hc 半径 R=6m 大きさと，その分圧 Px，Pz，作用線の角度αを求めよ．全水圧 P また，その作用位置 Hc'および xC を求めよ． Pz θ =60° Px Hc' α B O xC 図-3.3 （2）（テンターゲート，上向き作用）奥行き B=10m 図-3.4 のような，奥行き B=10m，半径 R=6m，中心角θ=60°のテンターゲートに作用する，全水圧 P の A O α Hc θ =60° 大きさと，その分圧 Px，Pz，作用線の角度αを求めよ．また，その作用位置 Hc'および xC を求めよ． Px Hc' 全水圧 P 半径 R=6m Pz B xC 図-3.4 問題３−２（ローリングゲート，上下面）奥行き B=5m A （教科書 p.４７問題 2 の類題）図-3.5 のような，奥行き B=5m，直径 4m（半径半径 R=2m R=2m）の円筒形のローリングゲートに作用する，全水圧 P の大きさと，その分圧 Px，Pz，作用線の角度αを Hc E 求めよ． O α また，その作用位置 Hc'および xC を求めよ． Px Hc' R=2m 全水圧 P B Pz xC 図-3.5 水理学演習問題集（４）連続式と流れの分類（乱流・層流）水の密度ρ=1000kg/m3，重力加速度 g＝9.8m/s2，水の単位体積重量γ=ρg＝9800N/m3＝9.8kN/m3 とする．類題４−１連続式 v2 （１本の管路の流れ） v1 図-4.1 のような，流管に流れている水の流量を Q とする．断面①および断面②での平均流速と内径は，それぞれ， v1,D1 および v2,D2 とする． D1=20cm, D2=10cm として，以下の問いに答えよ．（１）流量 Q=5l/s の時の流速 v1 および v2 を求めよ．（2）流速 v1=1.0m/s のときの流量 Q および v2 を求めよ．図-4.1 D3=1m 類題４−２連続式（分岐水路の流れ）図-4.2 のように分岐している水路がある．図の様に，①か速 v1∼v3 とそれぞれ定義する． ② Q2 を求めよ．（2） Q1=12m3/s，v2=1.0m3/s の時の，流量 Q3 を求めよ．図 -4.3 のように，面積 A1=10m2 のタンクから，内径 D2=0.1m の管に流れている．以下の問いに答えよ． (1) このタンクの水位低下速度-dh/dt=v1 が，0.01m/s のとき，図-4.2 面積 A1=10m2 D2=0.1m (2) 管の流速が v2=1.0m/s のとき，タンクの水位低下速度 v1 v2 ② Q を求めよ．図-4.3 内径 D=4cm の円管がある．その層流・乱流の流れの分類について，以下の問いに答えよ．ただし，水の動粘性係数ν （ニュー）=1.0×10-6m2/s=1.0×10-2cm2/s とせよ． (1) 流量 Q=50cm3/s のときの流れは層流か乱流か？ (2) 流量 Q=0.2l/s のときの流れは層流か乱流か？ ① -dh/dt=v1 管を流れる流量 Q と，その流速 v2 を求めよ．類題４−４流れの分類(層流・乱流） D2=2m ① （１） v1=2m/s，v2=1m/s，時の，流量 Q1∼Q3 および，流速 v3 タンクの水位低下と流量（おふろ問題） v2 v1 Q1 D1=4m, D2=2m, D3=1m として，以下の問いに答えよ．類題４−３ ③ 内径 D1=4m ら③の断面において，流量 Q1∼Q3，内径 D1∼D3，平均流 Q3 v3 水の密度ρ=1000kg/m3，重力加速度 g＝9.8m/s2，水の単位体積重量γ=ρg＝9800N/m3＝9.8kN/m3 とする．問題４−１連続式内径 D1=0.5m （１本の管路の流れ）図-4.4 のような，流管に流れている水の流量を Q とする．内径 D2=0.25m v1 断面①および断面②での平均流速と内径は，それぞれ， v2 Q v1,D1 および v2,D2 とする． ② Q ① D1=0.5m, D2=0.25m として，以下の問いに答えよ．（１）流量 Q=0.784m3/s の時の流速 v1 および v2 を求めよ．図-4.4 （2）入り口の流速 v1=2.0m/s のときの流量 Q および断面 ②の流速 v2 を求めよ． D1=2m Q1 ③ 問題４−２ v1 内径 D3=8m 連続式（分岐水路の流れ） v3 図-4.5 のように合流している水路がある．図の様に，① ① から③の断面において，流量 Q1∼Q3，内径 D1∼D3，平均流速 v1∼v3 とそれぞれ定義する． D1=2m, D2=4m, D3=8m とし， v1=2m/s，v2=1m/s の時の， ② v2 Q2 D2=4m 流量 Q1∼Q3 および，流速 v3 を求めよ．問題４−３タンクの水位低下・上昇と流量図-4.5 面積 A1=20m2 面積 A2=4m2 図-4.6 のように，面積 A1=20m2 のタンク①から，面積 A1=4m2 のタンク②へ，内径 D3=0.2m の管を通じて流れて -dh/dt=v1 いる．以下の問いに答えよ． v2 (1) タンク①の水位低下速度-dh/dt=v1 が 0.01m/s のとき，管を流れる流量 Q と，管の流速 v3 を求めよ． Q (2) (1)において，下流タンク②の水位上昇速度 v2 を求めよ．問題４−４流れの分類(層流・乱流）内径 D=1cm=0.01m の円管がある．その層流・乱流の流れの分類について，以下の問いに答えよ．ただし，水の動粘性係数ν（ニュー）=1.0×10-6m2/s=1.0×10-2cm2/s とせよ． (1) 流量 Q=50cm3/s のときの流れは層流か乱流か？ (2) 限界レイノルズ数となるとき，つまり層流と乱流の限界となるときの，流量 Q を求めよ．（ヒント：Re=2000 のときの平均流速 v を求める） Q3 内径 D3=0.2m 図-4.6 水理学演習問題集（５）ベルヌイの式（損失なし）水の密度ρ=1000kg/m3，重力加速度 g＝9.8m/s2，水の単位体積重量γ=ρg＝9800N/m3＝9.8kN/m3 とする．類題５−１ベルヌイの式の基礎今，断面積 A=0.1m2 の管に水が流れている．以下の問いに答えよ．（１）流量 Q=5l/s の時の，速度水頭を求めよ．（2）速度水頭が 5cm=0.05m の時の速度と流量を求めよ．類題５−２ベルヌイの式の基礎（損失なし）図-5.1 について，以下の問いに答えよ．但し，エネルギー損失は考えない．（1）エネルギー損失がない場合，タンクから管にかけて， Q 点A v タンクどこでも全水頭は一定である．全水頭 E はいくらか？ A' （2）管内の流速と流量はいくらか？（3）地点 B での圧力水頭はいくらか？（4）地点 B での圧力はいくらか？（単位付き） 4m B zB=2m 内径 D=0.1m 基準面 zC=3m （4）図-5.1 を描き，全水頭線，動水勾配線を描け．図-5.1 類題５−３ベルヌイの式の基礎（損失なし）図-5.2 の様に，管の断面①および②にそれぞれマノメータが付いている．各断面の内径は，D1=0.2m および D2=0.1m で，z1=3m，z2=2m である． ①における，管中心からのマノメータ水位 h1=2m，流量 Q=0.01m3/s の時について，断面②におけるマノメータの管中心からの水位 h2 と，両断面の流速 v1，v2 を，それぞれ求めよ．但しエネルギー損失は考えない．類題５−４図-5.2 ベンチュリーメータ（損失なし）図-5.４の様な，水銀（比重 s=13.6）を用いたベンチュリーメータがある． (1)流量と H'の関係を求めよ．（補正係数は考えなくて良い．まず，側圧管の方法により①および②での圧力と H'の関係を，ベルヌイの定理から圧力差と流量の関係を求めよ） (2) D1=0.3m，D2=0.15m，H'=0.1m の時の流量 Q を求めよ． C（大気）図-5.3 水の密度ρ=1000kg/m3，重力加速度 g＝9.8m/s2，水の単位体積重量γ=ρg＝9800N/m3＝9.8kN/m3 とする．問題５−１ベルヌイの式の基礎今，図-5.4 のように，タンクから断面積 A=0.01m2 の管に水が流れている．エネルギー損失を無視し，以下の問いに答えよ．点A (1)B 点の管からのマノメータの水位 h が 1m の時，管の流速タンク断面積 A=0.01m2 h および流量はいくらか？ v (2) 流量 Q=0.02m3/s の時，h はいくらか？ A' B Q 4m zB=1m 基準面図-5.4 問題５−２ベルヌイの式の基礎（損失なし）図-5.5 について，以下の問いに答えよ．但し，エネルギー損失は考えない．（1）エネルギー損失がない場合，タンクから管にかけて， Q 点A v タンクどこでも全水頭は一定である．全水頭 E はいくらか？ A' （2）管内の流速と流量はいくらか？（3）地点 B での圧力水頭はいくらか？（4）地点 B での圧力はいくらか？（単位付き） 5m B zB=1m 内径 D=0.2m 基準面 zC=3m （5）図-5.5 を描き，全水頭線，動水勾配線を描け．図-5.5 問題５−３ベルヌイの式の基礎（損失なし）図-5.6 の様に，管の断面①および②にそれぞれマノメータが付いている．各断面の内径は，D1=0.4m および D2=0.2m であり，管の基準面からの高さは z1=4m，z2=2m である．断面②でのマノメータの水位 h2=2m で，流量 Q=0.04m3/s の時，全水頭 E はいくらか，また，断面①でのマノメータの水位 h1 と流速 v1 を求めよ．但しエネルギー損失は考えない． C（大気）図-5.6 水理学演習問題集（６）ベルヌイの式（損失なしその２）水の密度ρ=1000kg/m3，重力加速度 g＝9.8m/s2，水の単位体積重量γ=ρg＝9800N/m3＝9.8kN/m3 とする．類題６−１オリフィス（ベルヌイ）図-6.1 のような，タンクとオリフィスがある．このオリフィスの出口 B 点＝「ベナコントラクタ」での流速と，流量を求めよ．但し，摩擦は無視するものとし，流量係数＝縮点A タンク流係数 C=0.6 とする．内径 D=0.1m 流量係数 C=0.6 点B ３m v Q 大気 zB=1m 図-6.1 類題６−２ベルヌイの式の基礎（損失なし，鉛直管）図-6.2 のようなタンクと鉛直な管がつながって水が流れている．D=0.1m，h=1m，l=2m，y=1m として，以下の問いに答えよ．タンク内の速度水頭と損失は無視してよい．（１）管内流速および流量を求めよ (2) C'点，C 点，および E 点の圧力水頭を求めよ．図-6.2 類題６−３分岐管（損失なし）図-6.3 のような，水平面上に配置された分岐管があり，分岐後すぐに大気中に放流されている．いま，135l/s の流量が流れているとすると，各管の流量および主管 A の圧力はいくらか？図-6.3 類題６−４ピトー管（教科書 p.67）図-6.4 のような，ピトー管がある．H=0.02m のとき，流速 v はいくらか？補正係数 C=1.0 とせよ．図-6.4 基準面水の密度ρ=1000kg/m3，重力加速度 g＝9.8m/s2，水の単位体積重量γ=ρg＝9800N/m3＝9.8kN/m3 とする．問題６−１ベンチュリーメータ（損失なし）図-6.5 の様な，水銀（比重 s=13.6）を用いたベンチュリーメータがある． D1=0.3m，D2=0.15m，H'=0.05m の時の流量 Q を求めよ．公式を用いて良い．また，流量係数 C=1.0 とせよ．図-6.5 問題６−２テンターゲート（ベルヌイ）図-6.6 のような，奥行き B=10m のテンターゲートがある．いま，H1=2.6m，H2=2.2m，H=(H1+H2)/2 であるとき，このゲートの流量を求めよ．小型オリフィス公式を用いるものとし，摩擦を無視し，流量係数=縮流係数 C=0.6 とする．（ヒント：断面積は長方形で縮流係数だけ減少，出口流速はベルヌイ式から求める）図-6.6 問題６−３ベルヌイの式の基礎（損失なし，鉛直管）図-6.7 のようにタンクと鉛直な管がつながって水が流れている．流量 Q=0.15m3/s，D=0.15m，l=3m の時の，管内流速 v，タンク水深 h および C 点の圧力 pC を求めよ．タンク内の速度水頭と損失は無視してよい．（ヒント：まず連続式から点 B の流速を求め，点 A と B の間でベルヌイ式をたて，h を求めよ）図-6.7 問題６−４分岐管（損失なし）図-6.8 のような分岐管で，上流側の断面 A，下流側の顔面 B,C の諸量について，表のようにわかっているとき，断面 B の圧力はいくらか？エネルギー損失はないものとする．（ヒント：A から全水頭 E を求め，ベルヌイ式から vc を求め，連続式からｖB を求め，最後に pB/ρg を求める．図-6.8 水理学演習問題集（７）ベルヌイの式（管路，損失あり，管径一定）水の密度ρ=1000kg/m3，重力加速度 g＝9.8m/s2，水の単位体積重量γ=ρg＝9800N/m3＝9.8kN/m3 とする．（出口損失はいつも fo=１である）類題７−１図-7.1 のような，２つのタンク A および G につながれた，管径一定の管路がある．摩擦損失係数 f=0.02，管径 D=1.2m，点 A-G 間管路長 l=100m 流入損失係数(入り口損失係数）fe=0.5，バルブ（弁）の損失係数 fv=0.1，曲がり（屈折）損失係数をそれぞれの fb=0.18，および図-7.1 流出（出口）損失係数 fo=１，とする．タンク A の水位 HA=15m の時，以下の問いに答えよ． (1)流量 2.5m3/s の水を送るには，タンク G の水位 HG を基準面からいくらにとればよいか？（2）タンク A，タンク G の間の水位差 H=2m のときに管を流れる流量 Q を求めよ． (3) (2)において，管路の全長のうちの中間点 K が点 C と点 F の間にあり，その基準面からの高さは zK=5m であった．この点 C での圧力水頭はいくらか？またその圧力 pK をｋPa で表せ．類題７−２図-7.2 のような，摩擦損失だけの管路がある．以下の管の諸量問いに答えよ．（曲がりと流入損失（入口損失）は無視内径 D=0.1m すること） f=0.01，l=l1+l2， C (1) 管内の速度水頭を H と L を用いて表せ．次に流量 H l1 l1=l2=20m l2 も表せ．管の諸量は数値を代入せよ． zC=H/4 (2) C 点での圧力水頭を H と L で表せ．管の諸量は数値を代入せよ． (3) A H=12m，L=2m の時の，速度水頭，管内流速，流量，C 点での圧力水頭および圧力を数値で求めよ． (4) いま，出口の高さ L を変更できるものとし，C 点での圧力が負とならないときの L の条件を求めよ．図-7.2 B L 水の密度ρ=1000kg/m3，重力加速度 g＝9.8m/s2，水の単位体積重量γ=ρg＝9800N/m3＝9.8kN/m3 とする．（出口損失はいつも fo=１である）問題７−１図-7.3 の様な，管径一定の管路がある．タンク A の水位 HA=10m，管径 D=1.0m，管の全長は 200m である．摩擦損失係数 f=0.02，流入損失係数(入り口損失係数） fe=0.5，バルブ（弁）の損失係数 fv=0.1 および流出（出口）損失に配慮し，曲がり（屈折）の損失を無視し，以下の問いに答えよ．図-7.3 （１）タンク A，タンク G の間の水位差 H=2m のときに管を流れる流量 Q を求めよ． (2) (1)において，管路の全長のうちの中間点 K が点 C と点 F の間にあり，その基準面からの高さは zK=2m であった．この点での圧力水頭はいくらか？また，その圧力 pK をｋPa で表せ． (3) (1)とは別に，流量 Q=1.0m3/s の水を送るには，基準面からのタンク G の水位 HG をいくらにとればよいか？問題７−２管の諸量 Q 図-7.4 のような，単純な管路がある．摩擦損失係数および流出（出口）損失にのみ配慮し，流量 Q または水位差 H が未知であるとして、以下の問いに答え局所損失：内径 D=0.1m 出口損失係数ζ0=1， f=0.01，l=l1+l2，その他局所損失は無視 l1=l2=20m H C l1 よ． (1) タンク間で損失水頭を含むベルヌイ式を立て，(a) l2 基準面 zC 管内の速度水頭と流量を，記号を用いて表せ．次に， (b)諸量の数値を代入し，速度水頭が H に比例する B A 図-7.4 事を確認せよ． (2) いま，zC が予め与えられ、H だけが変更できるものとする。C 点での圧力が負とならないとき（つまりゼロの時）の H と zC の関係を示せ．なお(1)(b)の結果を利用すること．（ヒント：まず，C 点での圧力水頭を H と zc で表せ．） (3) H=10m，zC=2m の時の，管内流量 Q と，C 点での圧力（単位 kPa）を数値で求めよ．問題７−３図-7.5 のようなタンクと管路がある．以下の問いに答えよ．（１）この管路を流れる流量を示せ．ただし，損失は摩擦損失と出口損失のみを考え，出口損失係数 ζ0=1，摩擦損失係数を f とする．管の内径は D とし，l1，l2 は管の長さを表し， l1 H2+H l2 A B fl1/D=1，fl2/D=2 であるとする．（２）C 点での全水頭線，ピエゾ水頭，圧力水頭を式で表せ．また H= 3.0m，L=2.0m の時の C 点での圧力の値を求めよ． C 基準面 H2 zc =H2+L 図-7.5 （３）A 側のタンクの水位 H を自由に変えられる場合， C 点での圧力が負圧（大気圧未満）にならないための， H の条件を求めよ．水理学演習問題集（８）ベルヌイの式（管路，損失あり，管径変化・大気開放）水の密度ρ=1000kg/m3，重力加速度 g＝9.8m/s2，水の単位体積重量γ=ρg＝9800N/m3＝9.8kN/m3 とする．（出口損失はいつも fo=１である）類題８−１図-8.1 のように，タンクから，入口損失，曲がり損失，摩擦損失のある管路をとおり，大気中へ放出している．以下の問いに答えよ． C H=12m (1)速度水頭，流速 v および流量とを求めよ． l1 管の諸量内径 D=0.1m f=0.01，l=l1+l2， l1=l2=20m 入口損失 fe=0.5 曲がり損失 fb=0.5 l2 (1) C 点の曲がり後（点 C+)での圧力水頭および圧力を zC=H/4 数値で求めよ． A 図-8.1 類題８−２図-8.2 のような，管路がある．摩擦損失係数 f1= f2=0.03，管径 D1=0.3m，D2=0.15m，管長 l1=10m，l2=10m，流入損失係数(入り口損失係数）fe=0.25，曲がり（屈折）損失係数を fb=0.25，急縮損失係数 fsc=0.36，バルブ損失係数 fsc=0.14，出口損失 fo=１，点 B∼F の基準面からの高さ zB=zF=3m，タンク A の基準面からの水位 HA を 7m とする．とする．以下の問いに答えよ．（１）タンク A と B の水位差 H=2m のときに管を流れる流量 Q と，管 1 および 2 でのそれぞれの速度水頭 v12/2g および v22/2g を求めよ． (2) (1)において，点 C の右側（急縮後，点 C+）での圧力水頭はいくらか？またその圧力 pC をｋPa で表せ． 20 図-8.2 B L=2m 水の密度ρ=1000kg/m3，重力加速度 g＝9.8m/s2，水の単位体積重量γ=ρg＝9800N/m3＝9.8kN/m3 とする．（出口損失はいつも fo=１である）問題８−１図-8.4 のように，タンク A から，大気に開放された管がある．各諸元は，摩擦損失係数 f1= f2=0.03，管径 D1=0.3m，D2=0.15m，管長 l1=17m，l2=8m，流入損失係数(入り口損失係数）fe=0.25，曲がり（屈折）損失係数を 2 箇所それぞれ fb=0.1，図-8.3 急縮損失係数 fsc=0.36，点 B および F の基準面からの高さ zB=zF=3m とする．ただし，タンク B への出口損失は fo=１である．以下の問いに答えよ．（１）出口を基準面にとり，タンク A の水位 HA=8m， HB=4m のときに管を流れる流量 Q，管 1 および 2 でのそれぞれの速度水頭 v12/2g と v22/2g を求めよ． (2) (1)において，点 F の右側（急縮後，点 F+）での圧力水頭はいくらか？またその圧力 pF をｋPa で表せ．問題８−２図-8.4 のように，タンク A から，大気に開放された管がある．各諸元は，問題８−１と同じである．摩擦損失係数 f1= f2=0.03，管径 D1=0.3m，D2=0.15m，管長 l1=17m，l2=8m，流入損失係数(入り口損失係数）fe=0.25，曲がり（屈折）損失係数を 2 箇所それぞれ fb=0.1，図-8.4 急縮損失係数 fsc=0.36，点 B および F の基準面からの高さ zB=zF=3m とする．当然出口損失はない．以下の問いに答えよ．（１）出口を基準面にとり，タンク A の水位 HA=8m のときに管を流れる流量 Q および速度度水頭 v12/2g と v22/2g を求めよ． (2) (1)において，点 F の右側（急縮後，点 F+）での圧力水頭はいくらか？またその圧力 pF をｋPa で表せ． 21 水理学演習問題集（９）開水路の流れ（常流・射流の分類，等流の流量）重力加速度 g＝9.8m/s2 とする．類題９−１常流と射流（フルード数 Fr）図-9.1 のように，幅 B=1.2m の矩形（長方形）断面の水路に，流量 Q=1.0m3/s が流れている．以下の問いに答えよ． (1) 水深 H=0.8m のとき，流れが常流か射流かを判断せよ．また，水面形は上流・下流のどちら向きに決まるか？ (2) (1)の時比エネルギー(河床を基準面とした全水頭）はいくらか？（ヒント：水面での全水頭でよい．） (3) この流量の限界水深 Hc と限界流速 vc を求めよ．（限界状態 Fr=1 のときの水深と流速を求める．）図-9.1 (4) (3)の時の比エネルギーは，限界水深の何倍か？類題９−２等流と抵抗則（Manning 則）図-9.2 のように，一様な長方形断面の水路を，一定の水深 H=0.8m で流れている．底面の幅 B=1.2m，水路の勾配 ib=1/1000 で，底面・壁面の粗度係数は n=0.015 である．このときの，平均流速 v と，流量 Q を求めよ．図-9.2 類題９−３等流と抵抗則（Manning 則）図 -9.3 のように，左右壁面の勾配が１：２，底面の幅 b=1.7m，底面・壁面の粗度係数 n=0.025 の，一様な台形断面の水路を，水深 H=3.5m，水面勾配 I=1/2000 で流れている．このときの，平均流速 v と，流量 Q を求めよ．（「斜面の勾配 1:2」とは，鉛直１に対し，水平２の割合の傾きである．）図-9.3 類題９−４複断面水路の流量計算（Manning 則）図-9.4 のような，一様な複断面水路の流量を求めよ．ただし，水面勾配 I=1/1600，粗度係数は，高水敷（左側の高い部分）では n1=0.035 ，低水路（右側の低い部分）では n2=0.020，とする．（ヒント：高水敷と低水路に分け，それぞれでの流速・流量を Manning 則から求め，流量を合計す図-9.4 る．） 22 重力加速度 g＝9.8m/s2 とする．問題９−１常流と射流（フルード数 Fr）図 -9.5 のように，幅 B=5.0m の矩形断面水路に，流量 Q=10.0m3/s が流れている．以下の問いに答えよ． Hc？，vc? (1) 水深 H=1.0m のとき，流れが常流か射流かを判断せよ．また，水面形は上流・下流のどちら向きに決まるか？ H Q，v (2) (1)の時，比エネルギーはいくらか？ (3) この流量の限界水深 Hc と限界流速 vc を求めよ． B (4) (3)の時の比エネルギーは，限界水深の何倍か？図-9.5 問題９−２等流と抵抗則（Manning 則）図-9.6 のように，一様な長方形断面の水路を，一定の水深で水が流れている．底面の幅 B=5.0m，水面勾配 I=1/1600 で，底面・ H Q 壁面の粗度係数は n=0.015，水深 H=2.0m である．このときの，平均流速 v と，流量 Q を求めよ． B 図-9.6 問題９−３等流と抵抗則（Manning 則）図-9.7 のように，左右壁面が 45°に傾いた，底面の幅 b=4.0m，粗度係数 n=0.020 の一様な台形断面水路を，水深 H=2.0m，水 H 45 ° 面勾配 I=1/900 で流れている．このときの，平均流速 v と，流量 Q を求めよ． b 図-9.7 問題９−４複断面水路の流量計算（Manning 則） b1=200m b2=300m b3=200m 図-9.8 のような，一様な複断面水路の流量を求めよ．ただし，水面勾配 I=1/1700 であり，粗度係数は，高水敷（左右の高い部分）では n1=n3=0.035，低水路（真ん中の低い部分）では n2=0.020，とする． H1=1.0m n1=0.035 H3=1.0m H2=6.0m n2=0.020 図-9.8 23 n3=0.035