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制御工学 (第 4 回) (2015.5.8)
A–2–1
課題 2(2015.5.1) 解答例
2
□問題 1．
1) 表 2.1（教科書 p.15）の公式 5) を，ラプラス変換の定義（式 (2.10)）に従い，積
分計算を実行することにより導出しなさい．※ヒント：部分積分を 2 回行うと，
求めるラプラス変換を含んだ式が出てくる．
2) 表 2.1 を使って，次の関数のラプラス変換を求めなさい：cos2 ωt (ω は定数)
3) 表 2.1 を使って，次の関数のラプラス変換を求めなさい：cos(ωt + α) (ω, α は
定数)
(解答例)
1) 公式 5) は，f (t) = cos ωt．問題に従って，ラプラス変換の定義通りに積分計算
を実行する．
定義に従ったラプラス変換の計算で
は，ラプラス変換が存在するならば
∫ ∞
−st
limt→∞ · の項は 0 になる．解答例
L {cos ωt} =
cos ωt · e dt
では，2 回目の部分積分で，この項
0
[
(
)]∞ ∫ ∞
(
)
を最初から 0 としている．
1 −st
1 −st
=
cos ωt · − e
−
(−ω sin ωt) · − e
dt
s
s
0
0
)]
(
)
[
(
∫
(
)
1 0
ω ∞
1 −st
= lim cos ωt · − e
−1· − e −
sin ωt · e−st dt
t→∞
s
s
s 0
[
(
)]∞
)
(
∫
ω ∞
1 ω
1 −st
1
+
=
−
sin ωt · − e
ω cos ωt · − e−st dt
s
s
s
s 0
s
[
(
)] 0 2 ∫ ∞
1 ω
1
ω
=
−
0 − 0 · − e0
− 2
cos ωt · e−st dt
s
s
s
s 0
1 ω2
=
− 2 L {cos ωt}
s
s
これを，L {cos ωt} について解くと，
(
)
ω2
1 + 2 L {cos ωt}
s
=
L {cos ωt} =
1
s
s
s2 + ω 2
最後の式は公式 5) そのものであり，題意は示された．
2)
cos2 ωt =
1
(1 + cos 2ωt)
2
より，
{
}
L cos2 ωt = L
{
1
(1 + cos 2ωt)
2
}
1
1
1
= L {1} + L {cos 2ωt} =
2
2
2
(
1
s
+
s s2 + 4ω 2
)
···
3)
cos(ωt + α) = cos ωt cos α − sin ωt sin α
より，
L {cos(ωt + α)} = L {cos ωt cos α − sin ωt sin α} = cos αL {cos ωt} − sin αL {sin ωt}
s
ω
s cos α − ω sin α
= cos α 2
− sin α 2
=
· · · (答)
2
2
s +ω
s +ω
s2 + ω 2
(答)
制御工学 (第 4 回) (2015.5.8)
A–2–2
【解説】
1) と同様にして公式 4) を計算すると，次のようになる．
∫ ∞
L {sin ωt} =
sin ωt · e−st dt
0
[
(
(
)]∞ ∫ ∞
)
1 −st
1 −st
=
sin ωt · − e
−
ω cos ωt · − e
dt
s
s
0
)] 0 ∫ ∞
[
(
(
)
ω
1
+
=
0 − 0 · − e0
cos ωt · e−st dt
s
s 0
)]∞
(
)
[
(
∫
ω ∞
1 −st
ω
1 −st
−
(−ω sin ωt) · − e
dt
=
cos ωt · − e
s
s
s 0
s
0
)]
[
(
∫
ω
ω2 ∞
1
=
− 2
0 − 1 · − e0
sin ωt · e−st dt
s
s
s 0
ω2
ω
=
− 2 L {sin ωt}
2
s
s
これを，L {sin ωt} について解くと，
(
)
ω2
1 + 2 L {sin ωt}
s
=
L {sin ωt} =
ω
s2
ω
s2 + ω 2
···
公式 4)
1) については，教科書の方法の方が，計算量が少なく導出が容易である．教科書の
方法による余弦関数（cos）のラプラス変換の導出は次の通り．
余弦関数はオイラーの公式を用いて，次のように表せる．
cos ωt =
ejωt + e−jωt
2
この式をラプラス変換すると，
{ jωt
}
{
}]
e + e−jωt
1 [ { jωt }
L {cos ωt} = L
=
L e
+ L e−jωt
2
2
[
]
1
1
1
2s
1
+
= · 2
=
2 s − jω s + jω
2 s + ω2
s
=
s2 + ω 2
2
2), 3) は，ラプラス変換表に載っている形に変形した後に，変換表を適用すればよ
い．特に 2) については，以下の 2 点に注意する．
• 一般に，時間関数の積のラプラス変換 L {f (t)g(t)} は，時間関数のラプラス変換
{
}
2
の積 L {f (t)} L {g(t)} とは一致しない．したがって，L cos2 ωt = L {cos ωt}
という計算は誤りである．
• ラプラス変換においては，時間関数 f (t) は f (t)u(t) を意味する．このため，変
換の際に，定数関数 f (t) = 1 と単位ステップ関数 u(t) は同一視される．
時間関数のラプラス変換の積
L {f (t)} L {g(t)} については，た
たみ込みを参照のこと．

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