力学２演義スタンダード問題 14（阿久津）（２０１６年７月１９日実施） http://wwwacty.phys.sci.osaka-u.ac.jp/~acts/mechanics2/mechanics2.html#engi レベル０：復習・基礎確認問題（必須問題） [0.1] １次元の場 ϕ(x, t) を考える。ラグランジアン密度を L[ϕ(x, t), ϕt (x, t), ϕx (x, t)] とすると ∫ ∫ ∂ϕ ∂ϕ （ϕt = , ϕx = ）、作用 S = dt dx L[ϕ(x, t), ϕt (x, t), ϕx (x, t)] の停留条件は、場のラ ∂t ∂x ( ) ( ) ∂L ∂ ∂L ∂ ∂L ρ T グランジュ方程式 − − = 0 である。L = (ϕt )2 − (ϕx )2 のとき ∂ϕ ∂t ∂ϕt ∂x ∂ϕx 2 2 （ρ, T は定数）、波動方程式を導け。 [0.2] 中心力ポテンシャル U (r) のもとでの粒子の運動を考える（r：動径座標）。座標原点のまわ りの角運動量ベクトル ⃗ ℓ = ⃗r × p⃗（p⃗ は運動量）は保存量である。内積 ⃗r · ⃗ℓ がゼロであること を示し、そのことから、粒子の軌道が平面内にあることを結論付けよ（⃗ ℓ ̸= 0 としてよい）。 ⃗ · (B ⃗ × C) ⃗ =B ⃗ · (C ⃗ × A) ⃗ =C ⃗ · (A ⃗ × B) ⃗ をもちいよ。 必要ならば、スカラー３重積の性質 A レベルＡ：基本問題（必須問題） k [A.1] 中心力ポテンシャルが U (r) = （k は定数）の場合の粒子の運動を考える（質量 m）。[0.2] r より、粒子は平面運動をするので、この平面を xy 面にとり、２次元極座標（r, ϕ）で記述す る。保存する角運動量の値を ℓ とする。ハミルトニアン H(r, ϕ, pr , pϕ ) は H(r, ϕ, pr , pϕ ) = p2ϕ p2r k + + 2 2m 2mr r (1) とする。（１）正準方程式をもちいて pϕ と ϕ̇ との関係を求めよ。（２）ϕ は H にあらわれ ないので循環座標であり、ϕ に共役な正準運動量 pϕ は保存する。このことから mr2 ϕ̇ = ℓ (2) が成立することを示せ。（３）角運動量保存則をもちいると、ハミルトニアンから ϕ の自由 ℓ2 度を消去できて、その代わり、遠心力ポテンシャル が加わった、有効ハミルトニアン 2mr2 H有効 (r, pr ) = p2r ℓ2 k + + 2 2m 2mr r (3) をもちいて r の運動（時間発展）をもとめることができることを示せ（r に対する正準方程 式で、角運動量保存則をもちいる）。 [A.2] [A.1] と同じ設定で考える。ただし、中心力は斥力とする（k > 0）。x 軸の負の側の遠方か ら、ほぼ原点をめがけて運動してきた粒子が、原点付近で大きく軌道を変えて別の方向へ運 動する現象を考える（粒子のポテンシャル散乱）。x → −∞ では、x 軸に平行ながら、わず かに x 軸より b だけ下方にずれた軌道をとり、そこでの速度が v0 であったとする。 （１）角 運動量 ℓ と b, v0 には ℓ = mbv0 の関係があることを示せ。ちなみに b は衝突パラメーター （または衝突径数）と呼ばれる。 レベルＢ：標準・応用問題 1 [B.1] [A.1] の H有効 で記述される系に対し、W3 型の正準変換をもちいて、r → Q = の変数変 r pr 換をする。具体的には、W3 = W3 (pr , Q) = − をもちいて Q ∂W3 ∂W3 r=− , P =− , H ′ (Q, P ) = H有効 (r, pr ) ∂pr ∂Q の関係を設定する。（１） Q4 P 2 ℓ2 Q2 H ′ (Q, P ) = + + kQ 2m 2m mQ̇ となることを示せ。（２）正準方程式をもちいて、P と Q̇ の関係が P = 4 となることを Q 示せ。（３）エネルギー保存則を Q̇ をもちいて書くと（E はエネルギー値） m 2 ℓ2 Q2 Q̇ + + kQ 2Q4 2m となることを示せ。 E= (4) [B.2] 前問の結果を利用して、粒子の軌道の形をもとめる。角運動量保存則（2）をもちいると、Q の時間微分 Q̇ が、軌道上での Q の ϕ 微分に置き換えられる： dQ ( 2) dQ dQ ℓQ dQ dt = ⇒ = . dϕ dϕ dt m dϕ dt dQ （１）これを（4）に代入して整理し、Q′ = とおくと dϕ 1 ′ 2 1 2 mk mE (Q ) + Q + 2 Q = 2 (5) 2 2 ℓ ℓ となることを示せ。 （２）この式は軌道の形を決める微分方程式であり、その形から、中心の 1 ずれた調和振動子の問題と等価である。このことをもちいて、軌道の形 Q = Q(ϕ) = が r(ϕ) Q(ϕ) = A cos(ϕ + α) − B と書けることを示せ（A, B の値を具体的に決めよ。α は「初期条件」で決まる定数））。 [B.3] さらに前問の解析を進め、衝突パラメーター b で衝突してきた粒子の散乱角（衝突前の遠方 での運動方向と、衝突後の遠方での運動方向の成す角）を θ とすると、 ( ) θ 2Eb cot = 2 k の関係があることを示せ。 レベルＣ：発展問題 [C.1] 入射粒子束内の粒子のうち、入射方向に対して θ, ϕ の方位に散乱された粒子の割合を σ ′ (θ, ϕ)dΩ （Ω は立体角、dΩ = sin θdθdϕ）と書き、σ ′ (θ, ϕ) を微分散乱断面積とよぶ。θ = 0 方向（入射 方向）に関する軸対称性がある場合、ϕ 依存性はなく、この場合、衝突パラメータ b 付近の 幅 db の面積を通過する粒子が散乱角 θ 方向に散乱される、と考えて 2πbdb = σ ′ |2π sin θdθ| dσ と書く。これから、微分散乱断面積の計算式 とおく。通常、この σ ′ を dΩ b db dσ = dΩ sin θ dθ を得る。[B.3] の結果をもちい、 補充問題：総合演習問題（別紙） dσ に対するラザフォードの散乱公式を導出せよ。 dΩ
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