統計力学１演義 No. 14
7/17/14
[演習問題]
担当：大橋琢磨 TA：比嘉亮太
[採点対象外]
1. 2 個の粒子があり，これらの粒子が 3 つエネルギー準位 ϵn = nϵ (n = 0, 1, 2) を占め
ることのできる系を考える．ここで，ϵ は正の定数である．
(a) 以下の場合に対して，取り得る全ての状態とそのエネルギーを書き下せ．
i. それぞれの粒子を区別することはできず，2 つ以上の粒子が 1 つのエネル
ギー準位を占めることのできない場合
ii. それぞれの粒子を区別することはできないが，1 つのエネルギー準位を粒
子がいくつでも占めることのできる場合
iii. それぞれの粒子を区別することができ，1 つのエネルギー準位を粒子がい
くつでも占めることのできる場合
ここで，i. の統計性を持つ粒子をフェルミ粒子，ii. をボーズ粒子と呼び，iii. は
古典的粒子である．
(b) 上のそれぞれの場合に対して，分配関数を計算せよ．
2. 量子力学的自由粒子について考える．i 番目の状態に対するエネルギーを ϵi とし，i
∑
番目のエネルギー準位を占める粒子数を ni とすると，全粒子数は N = i ni ，全エ
∑
ネルギーは E = i ϵi ni と書ける．
(a) 粒子がフェルミ統計に従う場合，大分配関数が
]
∏[
ZG =
1 + e−β(ϵi −µ)
i
となることを示せ．また，状態 i にある粒子数 ni の期待値が
[
]−1
ni = e−β(ϵi −µ) + 1
となることを示せ．ここで，µ は化学ポテンシャル，β = 1/kB T である．
(b) 粒子がボーズ統計に従う場合，大分配関数が
ZG =
]−1
∏[
1 − e−β(ϵi −µ)
i
となることを示せ．また，状態 i にある粒子数 ni の期待値が
[
]−1
ni = e−β(ϵi −µ) − 1
となることを示せ．
3. 自由なフェルミ粒子が N 個あり，状態密度 D(ε) が,
{
1 ∑
D
D(ε) =
δ(ϵ − ϵi ) =
N
0
i
(ε ≥ 0)
.
(ε < 0)
で与えられている．
(a) 絶対零度における化学ポテンシャルを求めよ．
(b) kB T ≪ µ の低温の場合，この系は (フェルミ) 縮退していると呼ぶ．フェルミ
縮退するための条件を N , D, T を用いて書き直し，その物理的意味について議
論せよ．
(c) 系がフェルミ縮退している場合において，エネルギーの期待値を求め，比熱が
温度に比例することを示せ．
演義の homepage：
http://wwwacty.phys.sci.osaka-u.ac.jp/~ohashi/teaching/ssm1/index.html