中３数学解答と解説１−２１．式を使った証明（図形編②）０５５　たて x m，よこ y m の長方形の花だ【証明】んのまわりに，幅 a m の道があります．この道（証明） 2 m ，真ん中を通る円の周の長さの面積を S S =( x+2 a )( y+2 a )−xy を l m とします． =xy+2 a x+2 a y+4 a 2−xy S =a l となることを証明しなさい． =2 a x+2 a y+4 a 2 また、【考え方】 l=2 (x+a )+2( y+a ) =2 x+2 a+2 y+2 a (y+2a)m =2 x+2 y+4 a (y+a)m al=a (2 x+2 y+4 a) 2 a =2 a x+2 a y+4 a −− m 2 よって、 a a −− m −− m S =a l ■ ym 2 2 (x+a)m (x+2a)m xm ０５６　下の図のように，扇型 OAB から扇型 OCD を取り除いた図形があります． a OA，OC，AC の長さをそれぞれ， x cm， y −− m 2 cm， r cm，AB，CD の長さをそれぞれ l cm， m cm とし，影をつけた部分の面積を S 2 m とします． am lm 1 S = r (l+ m) 2 ★一番大きい長方形のたての長さはいくつ？となることを証明しなさい． → ( x+2 a ) m 【考え方】 ★面積 S とおうぎ形の弧の長さ l ，m に分けて考 ★一番大きい長方形のよこの長さはいくつ？えよう！ → ( y+2 a) m ★まずは，道の面積 S を文字を使って表そう！ ★l の長方形のたての長さはいくつ？ a → x+2× = x+ a (m) 2 ycm a° x cm ★l の長方形のたての長さはいくつ？ rcm a → y+2× = y+a (m) 2 mcm Scm ★道の面積 S の面積はどうやって求める？道の面積 S は，（大きい長方形）ー（小さい長方形）で求めることができます！ S =( x+2 a )( y+2 a )−xy → =xy+2 a x+2 a y+4 a 2−xy =2 a x+2 a y+4 a 2 2 lcm 上の図を見て下さい。影の部分の面積 S は，（青のおうぎ形）ー（赤のおうぎ形）で求めることができます。 Copyright © 2015 高校受験＋ All Rights Reserved. 中３数学解答と解説１−２１．式を使った証明（図形編②）青のおうぎ形の面積 2 π y× 半径が x cm で中心角が a °だから，青のおうぎ形の面積は， a πax π x × = 360 360 2 2 おうぎ形の面積を求める公式中心角おうぎ形の面積＝ π r 2 × −−−−−− 360 a 2π y π y = = 360 360 180 ★今まで文字は x と y しか登場してないよね？ →r も x と y を使って表しておこう！！ r=x− y 【証明】（証明） 2 半径が y cm で中心角が a °だから，赤のおうぎ形の面積は， 2 2 π y × 2 πax πa y − 360 360 2 π a x −π a y 2 = 360 2 2 π a (x − y ) = 360 π a (x+ y )( x− y) = 360 S= 赤のおうぎ形の面積 a πay = 360 360 よって，影の部分の面積 S は， 2 2 πax πa y S= − 360 360 2 π a x −π a y 2 = 360 2 2 π a (x − y ) = 360 π a (x+ y )( x− y) = 360 また、 l=2 π x× 因数分解 a 360 2π x 360 πx = 180 = m=2 π y× a 360 2π y 360 πy = 180 青のおうぎ形の弧の長さ l ここで， r=x− y だから， 1 1 πx πy r(l+m)= (x− y )( + ) 半径が x cm で中心角が a °だから，青のお 2 2 180 180 うぎ形の弧の長さ l は， 1 π x+π y = (x− y )( ) a 2π x π x 2 180 = = 2 π x× 360 360 180 ( x− y)(π x+π y ) = おうぎ形の弧の長さを求める公式 360 π ( x+ y)( x− y) おうぎ形の弧の長さ＝ 2 π r × 中心角 = −−−−−− 360 360 よって、 1 赤のおうぎ形の弧の長さ m S = r (l+m) ■ 2 半径が y cm で中心角が a °だから，赤のおうぎ形の弧の長さ m は， ★次におうぎ形の弧の長さ l ，m 文字を使って表わそう！ = Copyright © 2015 高校受験＋ All Rights Reserved.