教科に教科に関する調査する調査の調査の設問別の設問別の分析結果平成２２平成２２年度２２年度全国学力・全国学力・学習状況調査中学校数学Ａ問題９（３）【出題の出題の趣旨】趣旨】比例のグラフから，ｘの変域に対応するｙの変域を求めることができるかどうかをみる。【学習指導学習指導要領指導要領の要領の内容・内容・領域】領域】第２学年Ｃ数量関係（１）具体的な事象の中から二つの数量を取り出し，それらの変化や対応を調べることを通して，一次関数について理解するとともに，関数関係を見いだし表現し考察する能力を養う。イ一次関数のとる値の変化の割合とグラフの特徴を理解するとともに，一次関数を利用できること。正答率本校 64.4％安芸高田市 61.2％広島県 47.3％全国 45.0％１◎ ２解答類型本校の割合 64.4 0.0 （％）無解答率 11.1％％ 18.3％ 20.0％３４ 0.0 0.0 ５ 8.9 ６ 0.0 ９無解答 15.6 11.1 この問題この問題を問題を解くために必要くために必要な必要な力・グラフから，ｘの値に対応するｙの値を読み取ることができる。・変域について理解し，変域のあるグラフをかくことができる。・ｘの変域に対応するｙの変域を求める際に，ｘの変域の両端の値に対応するｙの値をもとめればよいことを理解している。誤答分析・誤答類型５について－２≦ｘ≦□ （□は 4 以外の数または無解答）と解答している生徒が 8.9％いる。・誤答類型９について誤答類型２から６に当てはまらない誤答が 15.6％いる。・誤答類型５，９，無解答の生徒を合わせると，全体の約 3 分の１である。・変域を求める際に，グラフを用いて視覚的にとらえることができるように，繰り返し指導する必要があると考えられる。教科に教科に関する調査する調査の調査の設問別の設問別の分析結果平成２２平成２２年度２２年度安芸高田市中学校数学調査問題第２学年６学年６（３）【出題の出題の趣旨】趣旨】表やグラフで与えられた情報をよみとり，事象を数学的に解釈するとともに，問題解決の方法を数学的に説明する力をみる。【学習指導要領学習指導要領の要領の内容・内容・領域】領域】第２学年Ｃ数量関係（１）具体的な事象の中から二つの数量を取り出し，それらの変化や対応を調べることを通して，一次関数について理解するとともに，関数関係を見いだし表現し考察する能力を養う。エ一次関数を用いて具体的な事象をとらえ説明すること。６ある携帯電話会社の１か月の料金の契約は，Ａプラン，Ｂプランの２通りのプランがあります。それぞれの契約内容は，下の表のようになっています。ある携帯会社の１か月の料金の契約プラン区分月額基本料金１分ごとの通話料金Ａプラン２００円３０円／分Ｂプラン１０００円２０円／分ただし，１か月の通話料金は月額基本料金と１か月の通話料金を合わせたものとします。（３）１か月の通話時間が１時間のとき，料金が安いのは，Ａプラン，Ｂプランのどちらですか。その理由も答えなさい。本校安芸高田市解答類型本校の割合（％）正答率 55.8 64.1 １○ 34.8 ２○ ３○ 7.0 14.0 ４ 9.3 ５ 27.9 ９無解答 0.0 7.0 この問題この問題を問題を解くために必要くために必要な必要な力・表やグラフで与えられた情報をよみとり，事象を数学的に解釈するとともに，問題解決の方法を数学的に説明する力・正答の解答類型は，理由の説明をするときに何を用いているかによって３つに分かれている。類型 1 はグラフ，類型２は式，類型 3 は表を用いて説明している。グラフを用いて説明している生徒が約１／３である。誤答分析・解答類型４についてＡプランと答えているが，理由を間違えている。（9.3％）・解答類型５についてＢプランと解答している。（27.9％）・無解答について時間が足りなくなった等の理由で，問題に取り組まなかったと考えられる。(7.0％) ・解答類型５と無解答を合わせて約１／３の生徒が，Ａプランという解答に至っておらず，一次関数を用いて具体的な事象をとらえる力が不十分であるといえる。調査結果の調査結果の分析をふまえた分析をふまえた指導改善をふまえた指導改善の指導改善のポイント平成２２平成２２年度２２年度全国学力・全国学力・学習状況調査中学校数学Ａ問題９（３）平成２２平成２２年度２２年度安芸高田市中学校数学調査問題第２学年６（３）【単元名】２乗に比例する関数調査結果からみる課題【課題となる力】・変域を求めるなどの問題を解決する際に，表，式，グラフを関連付けて考える力。・表やグラフで与えられた情報をよみ，事象を数学的に解釈するとともに，問題解決の方法を数学的に説明する力。【指導上の課題】・具体的な事象から，x と y がどのような関係になるかを考えさせたり，見いだした関係を式と表とグラフとを関連付けて数学的に表現させたりする指導が十分とはいえない。（第３学年）指導改善のポイント式，表，グラフなどの相互の関連を理解させ，それらを適切に用いて問題を解決したり，自分の考えを分かりやすく説明したり，互いに自分の考えを表現し伝えあったりすることなどの指導を充実する。【指導の工夫】ア基本的な内容の定着，本時の授業に必要な既習事項の確認，説明することに慣れさせることなどを目的として，課題プリントの答えあわせを授業の最初に行う。イペアや４人班を活用して，説明したり，質問したりする活動を取り入れる。ウ班の話し合いや全体への発表では，ホワイトボード等を活用し，効果的に説明をさせる。１自分の考えを分かりやすく説明したり，互いに自分の考えを表現し伝えあったりすることなどの指導を充実する。 ○ 課題プリントの中に，変化の割合と一次関数の変域を求める問題をいれておき，答えあわせの中で，説明させる。【指導の工夫ア】 ○ ｙ＝ｘ２のグラフを点線で示したプリントを用意し，ｘの変域に対応したグラフを確実にかかせてｙの変域を考えさせる。ペアで確認をする活動を取り入れ，確実に変域のあるグラフをかかせる。【指導の工夫イ】 ○ ６種類のｙの変域を求める問題の解き方を，４人班ごとに分担してホワイトボードに書かせる。ホワイトボードを黒板に貼付して，全体で確認する。【指導の工夫ウ】中学校第中学校第３学年数学科学習指導案数学科学習指導案単元名：単元名：２乗に比例する比例する関数する関数指導者１日２学３場時年所安芸高田市立甲田中学校大丸理恵平成２３年９月２８日（水）校時（１３：４０～１４：３０）第３学年Ａ組（男子１４名女子１０名合計２４名）第３学年Ａ組教室（校舎３階）単元について単元について第１学年では，比例，反比例を取り扱い，第２学年では，一次関数を取り扱っている。いずれにおいても，具体的な事象の中から２つの数量を取り出し，それらの変化や対応を調べることを通して関数関係を見いだし表現し考察する能力を漸次高めてきている。第３学年では，これまでと同様に，具体的な事象における２つの数量の変化や対応を調べることを通して，関数 y=ax2 を考察する。その際，表，式，グラフを相互に関連付けながら，変化の割合やグラフの特徴など関数の理解を一層深める。そして，これらの学習を通して，関数関係を見いだし表現し考察する能力を一層伸ばす。また，日常生活や社会には既習の関数ではとらえられない関数関係があることを取り扱うことにより，中学校における関数についての学習内容を一層豊かにするとともに，後の学習の素地となるようにする。調査結果からみる調査結果からみる課題からみる課題＜誤答分析から＞全国学力・学習状況調査の結果分析から，表，式，グラフを相互に関連付けて理解させ，繰り返し学習させて定着させることが課題と考える。また，「安芸高田市中学校数学調査」の結果分析から，表やグラフで与えられた情報をよみとり，事象を数学的に解釈するとともに，問題解決の方法を数学的に説明する力をつけることが課題であると考える。＜指導上の課題＞・表，式，グラフを相互に関連付けて理解させ，繰り返し学習して定着させる。・数や図形の性質などを的確に表したり，根拠を明らかにして筋道立てて説明したり，自分の思いや考えを伝え合い，それらを共有したり質的に高めたりする学習活動を，効果的に設定する。指導改善指導改善の改善のポイント（１）指導内容・指導方法について式，表，グラフなどの相互の関連を理解させ，それらを適切に用いて問題を解決したり自分の考えを分かりやすく説明したり，互いに自分の考えを表現し伝えあったりすることなどの指導を充実する。ア基本的な内容の定着，本時の授業に必要な既習事項の確認，説明することに慣れさせることなどを目的として，課題プリントの答えあわせを授業の最初に行う。イペアや４人班を活用して，説明したり，質問したりする活動を取り入れる。ウ班の話し合いや全体への発表では，ホワイトボード等を活用し，効果的に説明をさせる。（２）ことばの教育との関連「言語活動の充実」のために，生徒につけたい力は次の通りである。 □ 個人思考をする場面・・・・・■既習事項をもとに，筋道を立てて考え，自分の見をまとめる力 □ グープでまとめた事象について発表する場面・・・・・■自分たの見との共通や相を明らかにしながら＜く・話す＞力各ルち意点違点意聞単元の単元の目標数学への関心・意欲・態度具体的な事象を調べることを通して，１次関数とは異なる数量の関係があることが分かり，こうした見方や考え方をもとに数学的に考察したり，意欲的に問題の解決に活用したりしようとする。数学的な見方や考え方具体的な事象の中から関係や法則を的確にとらえ，関数のとる値の変化の割合に目を向けるなど，変化や対応についての見方や考え方を一層深め，事象を数理的にとらえ，見通しをもち論理的に考察することができる。数学的な表現・処理さまざまな事象の中にある数量の関係を的確に表現したり，関数 y=ax の関係を表，式，グラフなどによって数学的に処理したりする。 2 数量，図形などについての知識・理解関数 y=ax の意味，変化の割合とグラフの特徴,問題解決への利用の仕方を理解している。 2 指導と指導と評価の評価の計画画間（１）全体計（全１３時）次一二三四五六学習内容２乗に比例する関数 ○ともなって変わる２つの数量を取り出し ,その関係を表や式に表す。（２）関数ｙ＝aｘ２のグラフ ○ 関数ｙ＝ｘ２のグラフをかき，その特徴を理解する。 ○関数ｙ＝ａｘ２のａの値がさまざまなグラフをかき，グラフの特徴を理解する。関数ｙ＝aｘ２の値の変化 ○関数ｙ＝ａｘ２の変化の様子を調べ変化の割合を求める。 ○ｘの変域が与えられたときのグラフをかき，ｙの変域を求める。（本時） ○関数ｙ＝ａｘ２で表される運動の平均の速さを求める。関数ｙ＝aｘ２の利用 ○これまで学習した関数のグラフについて考察し，理解を深める。（１） ○身の回りにある関数ｙ＝ａｘ２について考察する。（２）いろいろな関数（１） ○学習のまとめ（２）関見表知意考処理 ◎ 。 ◎ ◎ ○ ○ ◎ ◎ ○◎ ○◎ ◎ ◎○ ◎ 評価評価規準 ○ ・事象の中から２つの数量を取り出し，その変化の様子を表や式などを活用して調べようとする。・事象の中には，関数ｙ＝ａｘ２を用いてとらえられるものがあることを知る。・関数ｙ＝ａｘ２２の式を求めることができる。・関数ｙ＝ｘのグラフの特徴をｘの値を 0.1 おきに点をとることを通して考察する。・関数ｙ＝ｘ２のグラフは滑らかな曲線になることがわかる。・関数ｙ＝ａｘ２のグラフをかくことができる。・関数ｙ＝ａｘ２のグラフの特徴を見つけ，数学的に表現することができる。 ○ ・ｘの値の変化に対応するｙの値の変化は，ｘ＝０を境にして変わることが理解できる。・変化の割合を求めることができる。・ｙ＝ｘ２のグラフは，ｘの変域の両端の値に対応するｙの値が最小値となるとは限らないことを理解することができる。・いろいろな場合の，ｘの変域に対応したｙの変域を求めることができる。・平均の早さを求めることは，変化の割合を求めることに等しいことがわかる。・平均の速さを求めることができる。・座標平面上の三角形の面積を，直線と放物線の ○ 交点の座標を用いて求めることができる。・関数ｙ＝ａｘ２を生活の中から見つけ出し，グラフをかこうとする。評価方法ノート行動観察発表ノート行動観察発表ノート行動観察発表ノート行動観察発表ノート行動観察発表ノート行動観察発表ノート行動観察発表・具体的な事象の中にある２つの数量の関係を，ノート変化や対応の様子に着目して調べ，いろいろな関行動観察数について考察することができる。発表 ○○ 確認テストプリント三画（２）第次の計三次学習内容２の値の変化関数ｙ＝aｘ１ ○関数ｙ＝ａｘ２の変化の様子を調べ変化の割合を求める。 ○ｘの変域が与えられた２ときのグラフをかきｙの変域を求める。２（本時）で表される３ ○関数ｙ＝ａｘ運動の平均の速さを求める。主たる発問 ○関数ｙ＝ａｘ２の変化の割合を求めよう。 ○関数ｙ＝ａｘ２の変域を求めよう。 ○ものが落下するときの平均の速さを求めよう。指導の工夫 ○ 一次関数と比較して考えさせる。 ○ 式から表とグラフをかかせ，表とグラフを関連付けて考えさせる。 ○ ｙ＝ｘ２のグラフで，ｘの変域が与えられた場合のグラフをなぞらせ，ｙの変域を求めさせる。 ○ 最小値または最大値に０が入る場合を丁寧に扱う。 ○物が落下するときには速さが一定ではないので，「平均の速さ」を求めることになることと平均の速さが変化の割合になることを，グラフと関連付けて理解させる。本時の本時の学習標ｙ＝ａｘｙ域域求求【】簡単ｘ域ｙ域求【処】評価規準 ○ ｙ＝ｘｘｙ値減少ｘ範囲ｙ値増加ｘ域両端値ｙ値小値限 ◎ ろろｘ域ｙ域求（３）本時の学習展開学習活動指導上の評価規準学習活動指導上の留意事項評価規準評価方法１既習事項について既習事項について確認について確認する確認する。する。（１０（１０分１０分） ○ 「継続は力なりプリント」（宿題プ・５人の生徒が，授業が始リント）の答え合わせをする。まるまでに黒板に解答を書いておく。４変化の割合を求める。５一次関数の変域を求める。・４番と５番については，前に出て説明させる。２２乗に比例する比例する関数する関数の関数のｙの変域を変域を求める。める。（３０（３０分３０分）本時の目標 2 乗に比例する関数のｙの変域を求めよう。（１）本時の目２のの変を，一次関数の変のめ方をもとにしてグラフをかいてめ，説明・関数し合う活動を通して理解する。数学的な見方・考え方・なグラフをかいての変に対応したの変をめることができる。表現・理（２）本時の２のグラフは，＜０のときのはし，＞０のではのはするので，の変ののに対応するのが最となるとはらないことを理解することができる。いいな場合の，の変に対応したの変をめることができる。関数 y = x 2 の変域について変域について調について調べよう（１） x の変域が１≦ x ≦３のとき ψ 9 8 7 6 （２） x の変域が－３≦ x ≦－１のとき 5 4 3 2 （３） x の変域が－２≦ x ≦３のときノ紙貼ｙ域求ぞ 1 教 − 3 − 2 − 1Ο − 1 域机間ぞ書 1 2 3 ξ ・ートにをり，それれの変・指導を行う。の場合について，グラフをなり，・それれの変について，の変をめる。＜個人思考＞一人ずつ指名し，に出・ペアで確認しあう。てかせる。ぞ域前の y の変域を求めるには，x 域の変域をなぞる→グラフをなぞる→ y の変域を求めるの順で考えるように指導する。 y=ax2 ぞ黒板の前で説明をする。・それれ 2,3 番・目の問題については，誤答をしてしっかりと説明をさせる。提示 , ｘの変域が－２≦ｘ≦３のときは，ｘ＝－２のときｙ＝４，ｘ＝３のときｙ＝９となるが，ｙの変域は４≦ｙ≦９ではなく，０≦ｙ≦９となる。＜理由＞・ｙ＝４より，ｙ＝０の方が小さいから。・ｙ＝ｘ２のグラフは，変化の割合が一定ではなく，ｘ＝０で，変化が減少から増加に変わるから，ｘ=－3 のときより，ｘ＝０の時の方が，ｙの値が小さい。言語活動の充実黒板の前で説明をするときには・みんなの方を見ながら説明をする。・該当する箇所を指さしながら説明をする。・見方・考え方ｘの変域の両端の値に対応するｙの値が最小値となるとは限らないノート発表ことを理解することができる。考違一次関数の場合とうのはなかを考えさせ，イントを理解させる。ポぜ・説明したことの確認をし，質問があったら指名して質問に答える。ノポ書込む。関数 y=ax でいろいろな場合のｙの変域を求めようプリント・２枚目のノート貼付用プリントを，・簡単なグラフをかいて考表現・処理えるように指導する。自分の班の番号から解く。ｘの変域に対・机間指導をする。＜個人思考＞応したｙの変・時間になったら，4 人班の隊形にな・時間がなければ，前には域を求めるこられたホワイトボードをとができる。り，自分の班の番号の問題について見て，各自答え合わせを解答を確認し，説明しながらホワイし，分からない所は質問トボードに書く。＜グループ思考＞させる。・ホワイトボードを黒板に貼付し，簡表潔に説明する。グラフなどを示しな言語活動の充実がら，分かりやすく表現させる。 ○班活動を取り入れる目的・・・班内で教えあう。 ○班活動を行う際に取り組んでいること・ホワイトボードに書きながら，班内の人に説明をする。・時間を設定し，時間になったら話し合いの途中でもホワイトボードを前にはらせる。発表を・検証問題の確認をする。するときに，補足させる。・ートにイントをき 2 ３今日の今日の学習を学習を振り返る。（１０（１０分１０分） ○ 数学プリントの問題（検証問題，発・検証問題について確認する。展問題）を解く。・できた人は，前で答え合わせをする。・継続は力なりプリントを配付する。 ○ 「自己評価カード」に記入する。・本日の学習についての評価をする。板書計画（４）／28(水) 変域を求める（p90）関数 y = x 2 9 １班２班３班４班５班６班（１）１≦ x ≦３（２）－３≦ x ≦－１（３）－２≦ x ≦３ ψ ψ ψ 9 9 9 8 8 8 7 7 7 6 6 6 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 − 3 − 2 − 1Ο − 1 1 2 3 ξ − 3 − 2 − 1Ο − 1 1 ＜ホワイトボード活用例＞ 2 3 ξ − 3 − 2 − 1Ο − 1 1 2 3 ξ 2 乗に比例するグラフの特徴Ａ組Ｂ組評価問題評価問題健太さんが短距離走でスタートしてから走った距離を，0.5 秒ごとに 3 秒間測定しました。次の表は，健太さんが x 秒間に y m 走ったとして，その結果をまとめたものです。（１）この x と y の関係について，下のア～エの中からあてはまるものを１つ選び，記号で答えなさい。ア y は x に比例するイ y は x に反比例するウ y は x の一次関数エ y は x の２乗に比例する（２）スタートしてから５秒後の走った距離の求め方についての説明を書きなさい。検証前述の評価問題を平成２２年度及び平成２３年度に実施した結果は次のとおりである。平成２２年度平成２３年度増減（１）５４．０％６２．９％８．９ポイント増加（２）３６．０％３５．８％０．２ポイント減少（１）のような問題の通過率は伸びており，授業改善の結果，基礎・基本が確実に定着してきているといえる。しかし，（２）のような説明をする問題の通過率の向上が見られない。今後も授業で話型を提示したり，説明する前に自分の考えを整理させ，ペアで説明させる場面を増やしたりすることで，手順や方法，理由などがしっかり説明できるようにしていきたい。