運動方程式確認シート NO ５−０＜なめらかな斜面＞ (1)質量 2kg の物体が水平との角度 30 °の斜面の最上点から初速度 10m/s で滑り降りた。 ① 下の図に物体に働く力を書き込みなさい。ａｙ ② 斜面に沿って下向きに動くので、図の N 2gsin30 ° ようにｘ、ｙ軸を取る。重力を分解し、 2gcos30 ° 30 ° ｘ、ｙ成分を求めなさい。 2g ｘ成分： 2gsin30 ° ｙ成分： − 2gcos30 ° ｘ ②ｙ方向はつり合いの式、ｘ方向は加速度をａとして運動方程式を立て、加速度を求めよ。 ③ ｙ方向：ｘ方向：Ｎ＝ 2gcos30 ° ∴ ２ａ＝ 2gsin30 °＝ｇ ∴ ａ＝ g/2 ＝ 4.9 (m/s2 ) 初速度と初めの位置を書き、ｔ秒後の速度と位置を求めなさい。初速度ｖ o ＝ 10 ∴ v(t)＝ 10 ＋ 4.9 ｔ・・① ∴ x(t)＝ 10 ｔ＋ 2.45 ｔ２初めの位置ｘ o ＝ 0 ④ N = 2 g cos 30° = 3 g ・・② 斜面の長さが 20 ｍのとき、物体が斜面の最下端にきたときの時刻と速度を求めよ。 v 2 - v02 = 2 a s, v0 = 10 , a = 2.45, s = 20 より、 v 2 - 100 = 2 ´ 4.9 ´ 20, = 196 \ v 2 = 296, これを①に代入して、 v = 296 = 17.2 17.2 ＝ 10 ＋ 4.9 ｔ（別解）②にｘ＝ 20 を代入して、 ∴ｔ＝ 1.47(s) 20 ＝ 10 ｔ＋ 2.45 ｔ２よって、解の公式を使って 2.45 ｔ２＋ 10 ｔ− 20 ＝０の解を求め、それを①に代入して、そのときの速度を求めてもよい。 ⑤ 物体の速さが 12m/s になったときの時刻と、その時の位置を求めよ。ｖ＝１２を①に代入して、 12 ＝ 10 ＋ 4.9 ｔ ∴ｔ＝ 0.408(s) この時の位置は、ｔ＝ 0.408 を②に代入して、ｘ（0.408)＝ 10 × 0.408 ＋ 2.45 × 0.408 ２（別解）＝ 4.08 ＋ 0.408 ＝ 4.49(m) v 2 - v02 = 2 a s, v = 12, v0 = 10 , a = 4.9 より、 12 2 - 10 2 = 2 ´ 4.9 ´ s, \144 - 100 = 9.8 s \ s = 44 / 9.8 = 4.49 (2)質量 2kg の物体が水平との角度 30 °の斜面の最下点から初速度 10m/s で滑り上げた。 ① 下の図に物体に働く力を書き込みなさい。ａｘ ② 斜面に沿って上向きに動くので、図のようにｘ、ｙ軸を取る。重力を分解し、ｙ 2gsin30 ° 2gcos30 ° ｘ、ｙ成分を求めなさい。ｘ成分： − 2gsin30 ° ｙ成分： − 2gcos30 ° 符号に注意！！ ②ｙ方向のつり合いの式、ｘ方向の加速度をａとして運動方程式を立て、加速度を求めよ。ｙ方向：Ｎ− 2gcos30 °＝０ ∴ ｘ方向：２ａ＝ − 2gsin30 °＝−ｇ N = 2 g cos 30° = 3 g ∴ ａ＝− g/2 ＝− 4.9(m/s2 ) 重力により減速するので、ａ＜０ ③ ④ 初速度と初めの位置を書き、ｔ秒後の速度と位置を求めなさい。初速度ｖ o ＝ 10 ∴ v(t)＝ 10 − 4.9 ｔ・・① 初めの位置ｘ o ＝ 0 ∴ x(t)＝ 10 ｔ− 2.45 ｔ２・・② 物体が斜面に沿って上がりうる距離と、その時の時刻を求めよ。物体は重力によりだんだん減速して、速度が０になるときが最高点となる。よって上がりうる距離は、①でｖ＝０と置いて、０＝ 10 − 4.9 ｔ ∴ ｔ＝ 2.04(s) この時の位置はｔ＝ 2.04 を②に代入して、ｘ（2.04)＝ 10 × 2.04 − 2.45 × 2.04 ２＝ 10.2(m) （別解） v 2 - v02 = 2 a s, v = 0, v0 = 10 , a = -4.9 0 2 - 10 2 = 2 × ( -4.9) × s , ⑤ より、 s = 100 / 9.8 = 10.2 物体が 5.0 ｍ上がったときの時刻とその時の速度を求めなさい。 v 2 - v02 = 2 a s, v0 = 10 , a = -4.9, s = 5.0 より、 v 2 - 10 2 = 2 × ( -4.9) × 5.0, \ v 2 = -49 + 100 = 51 v = 7.14 (別解) ②にｘ＝５を代入して 5 ＝ 10 ｔ− 2.45 ｔ２の 2 次方程式を解いても良いが、 v 2 - v02 = 2 a s, を使った方が計算が簡単。これを①に代入して、 7.14 ＝ 10 − 4.9 ｔ ∴ ｔ＝ 2.86/4.9 ＝ 0.584(s) 運動方程式確認シート NO ５＜粗い斜面＞ (1)質量 2kg の物体が角度 30 °の粗い斜面の最上点から初速度 10m/s で滑り降りた。動摩擦係数をμ＝ 0.30 として、次の問に答えなさい。 ① 下の図に物体に働く重力、垂直抗力Ｎ、摩擦力ｆを書き込みなさい。ａｙ ② 斜面に沿って下向きに動くので、図の N 2gsin30 ° ｆようにｘ、ｙ軸を取る。この物体に働く 2gcos30 ° 30 ° 合力のｘ、ｙ成分を求めなさい。 2g ｘ成分：ｙ成分：Ｎ− 2gcos30 ° ｘ 2gsin30 °−ｆ ②(a)ｙ方向のつり合いの式をたて、垂直抗力Ｎと摩擦力ｆの大きさを求めなさい。ｙ方向：Ｎ− 2gcos30 °＝０ ∴ ∴ N = 2 g cos 30° = 3 g 摩擦力 f = mN = 0.3 3 g (b)ｘ方向の加速度をａとして運動方程式を立て、加速度を求めよ。ｘ方向 ③ ④ ： 2a = 2g sin30° -0.3 3g = (1- 0.3 3)g ∴ ａ＝ 2.35(m/s2 ) 初速度と初めの位置を書き、ｔ秒後の速度と位置を求めなさい。初速度ｖ o ＝ 10 ∴ v(t)＝ 10 ＋ 2.35 ｔ・・① 初めの位置ｘ o ＝０ ∴ x(t)＝ 10 ｔ＋ 1.18 ｔ２・・② 斜面の長さが 20 ｍのとき、物体が斜面の最下端にきたときの時刻と速度を求めよ。 v 2 - v02 = 2 a s, v0 = 10 , a = 2.35, s = 20 より v 2 - 10 2 = 2 ´ 2.35 ´ 20, \ v 2 = 100 + 94 = 194 \ v = 13.9 これを①に代入して、 13.9 ＝ 10 ＋ 2.35 ｔ ⑤ ∴ ｔ＝ 3.9 ／ 2.35 ＝ 1.66(s) 物体の速さが 12m/s になったときの時刻と、その時の位置を求めよ。ｖ＝１２を①に代入して、１２＝ 10 ＋ 2.35 ｔこのとき ∴ ｔ＝２／ 2.35 ＝ 0.85(s) 12 2 - 10 2 = 2 ´ 2.35 ´ s \ s = 44 / 4.7 = 9.36 (2)質量 2kg の物体が水平との角度 30 °の斜面の最下点から初速度 10m/s で滑り上げた。動摩擦係数をμ＝ 0.30 として、次の問に答えなさい。 ① 下の図に物体に働く力を書き込みなさい。ａｘ N ② 斜面に沿って上向きに動くので、図の 2gsin30 ° ようにｘ、ｙ軸を取る。この物体に働くｙ 2gcos30 ° ｆ合力のｘ、ｙ成分を求めなさい。 2g ｘ成分： − 2gsin30 °−ｆｙ成分：Ｎ− 2gcos30 ° ②ｙ方向のつり合いの式、ｘ方向の加速度をａとして運動方程式を立て、加速度を求めよ。ｙ方向ｘ方向 ③ ：：Ｎ− 2gcos30 °＝０ N = 2 g cos 30° = 3 g 2a = -2g sin30° - 0.3 3g = -(1+ 0.3 3)g ∴ ａ＝− 7.45(m/s2) 初速度と初めの位置を書き、ｔ秒後の速度と位置を求めなさい。初速度ｖ o ＝ 10 ∴ v(t)＝ 10 − 7.45 ｔ・・① ∴ x(t)＝ 10 ｔ− 3.73 ｔ２初めの位置ｘ o ＝ ④ ∴ ・・② 物体が斜面に沿って上がりうる距離と、その時の時刻を求めよ。物体が上がりきったとき、速さが０になるので、上がる距離は、 v 2 - v02 = 2 a s, v = 0 , v0 = 10 , a = -7.45, 0 2 - 102 = 2 × ( -7.45) × s, \ s = その時の時刻は、より、 100 = 6.71 2 ´ 7.45 v = v0 + at = 10 - 7.45t = 0 \ t = 1.34 ⑤ 物体が 5.0 ｍ上がったときの時刻とその時の速度を求めなさい。 v 2 - v02 = 2 a s, v0 = 10 , a = -7.45, s = 5.0 より v 2 - 102 = 2 ´ (-7.45) ´ 5.0, \ v 2 = 100 - 74.5 = 25.5 \ v = 5.05( m / s) この時の時刻は、ｖ＝ 5.05 を①に代入して、 5.05 ＝ 10 − 7.45 ｔ ∴ ｔ＝ 0.66(s)