位相空間論 B（担当：小森）４月２２日：実数の完備性（復習）この講義のホームページの URL http://www.f.waseda.jp/ykomori/topology2015.html 命題 1. （前回の復習）コーシー列 {xn } の部分列 {xik } がある実数 α に収束するならば、{xn } 自身も α に収束することを示せ。定義 1. 実数の全体 R の空でない部分集合 A と R の元 p に対し、 (1) p は A の上界（の１つ）であるとは、A の任意の元 a に対し、a 5 p が成り立つこととする。 (2) p は A の下界（の１つ）であるとは、A の任意の元 a に対し、p 5 a が成り立つこととする。 (3) A は上に有界であるとは、A の上界が存在することとする。 (4) A は下に有界であるとは、A の下界が存在することとする。 (5) A は有界であるとは、上に有界かつ下に有界であることとする。定義 2. 実数の全体 R の空でない部分集合 A と R の元 p に対し、 (1) p は A の最大元であるとは、p は A の元であり、かつ A の上界であることとする。記号で max A と表す。 (2) p は A の最小元であるとは、p は A の元であり、かつ A の下界であることとする。記号で min A と表す。 (3) A を上に有界とする。このとき p は A の上限であるとは、B を A の上界全体の集合とするとき、p = min B であることとする。記号で sup A と表す。 (4) A を下に有界とする。このとき p は A の下限であるとは、B を A の下界全体の集合とするとき、p = max B であることとする。記号で inf A と表す。練習問題 1. sup A が存在しても max A が存在するとは限らない。同様に inf B が存在しても min B が存在するとは限らない。練習問題 2. 次の実数の部分集合は上に有界か、下に有界か、有界か調べよ。また上限、下限、最大値、最小値の存在を調べよ。 1 1 A = (−1, 2) ∪ {3, 5}, B = {1 − | n ∈ N}, C = { | n ∈ N} ∪ N n n 1 2 位相空間論 B（担当：小森）４月２２日：実数の完備性（復習）定理 1. （上下に有界な集合は上限下限を持つ） R の空集合でない部分集合 A が上に有界ならば上限 sup A が存在する。また R の空集合でない部分集合 A が下に有界ならば下限 inf A が存在する。定理 2. （上限・下限の特徴付け） (1) R の空でない部分集合 A が上に有界とする。このとき sup A は次の２つの条件を満たす元 b に等しい。 (a) ∀a ∈ A, a 5 b. (b) ∀ε > 0, ∃a ∈ A s.t. b − ε < a. (2) R の空でない部分集合 A が下に有界とする。このとき inf A は次の２つの条件を満たす元 b に等しい。 (a) ∀a ∈ A, a = b. (b) ∀ε > 0, ∃a ∈ A s.t. b + ε > a. 定理 3. （有界単調列は収束する） R の単調増加数列が上に有界ならば収束する。R の単調減少数列が下に有界ならば収束する。定理 4. （カントールの区間縮小法）有限閉区間 In = [an , bn ] の列 {In } が任意の n ∈ N に対し In+1 ⊂ In を満たし、limn→∞ |an − bn | = 0 を満たすとする。このとき {an } と {bn } は同じ極限 c に収束して ∩∞ k=1 Ik は１点集合 {c} になる。定理 5. （ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理）有限閉区間の数列は収束部分列を持つ。定理 6. （実数の完備性） R のコーシー列は収束列である。練習問題 3. （自然対数の底 e の定義） an = (1 + n1 )n とすると数列 {an } は上に有界かつ単調増加を示せ。練習問題 4. （数列空間 ℓ1 の定義） ∑ ∑N ∞ 1 n=1 |xn | = limN →∞ n=1 |xn | < ∞ を満たす実数列 {xn } の全体を ℓ とする。 (1) 任意の {xn } ∈ ℓ1 と任意の実数 c ∈ R に対して c{xn } = {cxn } と定義すると、c{xn } ∈ ℓ1 となることを示せ。 (2) 任意の {xn }, {yn } ∈ ℓ1 に対して {xn } + {yn } = {xn + yn } と定義すると、{xn } + {yn } ∈ ℓ1 となることを示せ。