統計学第5回 10/26

統計学
１０/25（木）
鈴木智也
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今日の講義の位置づけ
全三部構成
第一部記述統計：データの特性を記述
第二部確率論：推測統計への橋渡し
・確率論入門 ← 今はここ！
・確率変数と確率分布
第三部推測統計：データから全体像を推測
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確率とは？
• 何が起こるのか前もって分からない時に、
ある事象が起こる確からしさを測る。
⇒事象Aが起こる確率を P（A）と表す。
• ０≦P（A）≦１である。
• 事象Aが確実に起こる時、P（A）＝1。
• 事象Aが決して起こらない時、P（A）=0。
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確率を測る代表的な方法
• 先験的アプローチ
起こり得る結果について、あらゆる場合の
数 n と、ある事象Aの起こる場合の数 nAを
数え上げて計算する。 ⇒ P（A）=nA/n
• 経験的アプローチ
実際にデータを取ってみて、相対頻度（第
３回講義で履修）を確率として代用する。
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例題：先験的アプローチ
• サイコロを振って、３の目が出る確率は？
⇒サイコロの目は全部で６通り。そのうちの
一つなので、３の目が出る確率は1/6。
• グーを出して、じゃんけんで勝つ確率は？
⇒相手がチョキなら勝ち、グーならあいこ、
パーなら負け、の三通りなので、1/3。
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先験的と経験的
例：ある金融資産の投資収益率が10％に
なる確率はいくらか？
⇒先験的には分らない。
⇒経験的（実験的）アプローチを使う。
データを取り、そのデータのうち、何回10％
の収益率を記録したかを調べる。
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例題：経験的アプローチ
• 松井秀喜選手（NYヤンキース）が次の打
席で安打を放つ確率は何％か？
⇒解答例：先シーズンの成績は、629打数で
192安打であった。
⇒安打を放った相対頻度は、192/629=0.305
⇒30.5％と予想される。
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関連語：余事象
☆余事象の確率
• 「Aではない」という事象をAの余事象とい
い、その確率は１－P（A）で計算する。
• 例：「松井選手が試合中に少なくとも１安打
を放つ」をAとすれば、その余事象は「松井
選手が試合中に１安打も放たない」になる。
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確率の性質 ①
☆ 確率の加法定理
• 二つの事象AとBが同時には起こり得ない
時、AとBは互いに「排反」であるという。
• AとBが排反事象の時、AまたはBが起こる
確率は次のように計算できる。
P（A∪B）=P（A）＋P（B）。
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確率の性質 ②
☆確率の乗法定理（続）
• AとBが排反事象ではない場合、
P（A∪B）=P（A）＋P（B）－P（A∩B）
ただし、P（A∩B）はAとBが同時に起こる確
率である。
⇒P（A∩B）についての計算規則は？
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条件つき確率（準備）
• 阪神タイガースの今季の勝率は0.617。
⇒次の試合で勝つ確率は61.7％。
↑相手がどこかは関係ない（無条件）
では、相手が中日なら阪神の勝率は？
⇒中日との対戦成績は今季11勝11敗。
⇒中日に勝つ確率は50％。（条件つき確率）
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条件つき確率（公式）
• Bが起こった場合に、Aが起こる確率は
P（A｜B）と表す。
超重要な公式：P（A｜B）=P（AB）/P（B）。
⇒変形：P（AB）=P（A｜B）×P（B）
ここで、P（AB）はABが同時に起こる確率。
また、P（B）をAの「周辺確率」と呼ぶ。
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公式の項目の説明
事象W：阪神が勝つ
事象D：対戦相手が中日になる
P（W｜D）：対戦相手が中日だと決まってい
る場合に、阪神が勝つ確率
P（WD）：対戦相手が中日になり、なおかつ
阪神が勝利を挙げる確率
P（D）：対戦相手が中日になる確率
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公式の使用例
• 対戦相手は11チームの一つ。
⇒ P（D）=1/11=0.091 （9.1％）
• 昨季の中日戦22試合中11勝。
⇒ P（W｜D）=11/22=0.5 （50％）
• 阪神の対戦相手が中日に決まって、なお
かつ勝つ確率。
⇒ P（WD）=0.091×0.5=0.045 （4.5％）
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重要：ベイズ定理
• 阪神勝利のニュースから、対戦相手が中
日だった確率（事後確率）を推測すると
公式より、P（WD）=P（W｜D）×P（D)。
⇒P（WD）=P（D｜W）×P（W）とも書ける。
⇒定理： P（D｜W）=P（WD）/P（W）。
↑使い方については練習問題を参照。
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