統計学 10/25(木) 鈴木智也 1 今日の講義の位置づけ 全三部構成 第一部 記述統計:データの特性を記述 第二部 確率論:推測統計への橋渡し ・確率論入門 ← 今はここ! ・確率変数と確率分布 第三部 推測統計:データから全体像を推測 2 確率とは? • 何が起こるのか前もって分からない時に、 ある事象が起こる確からしさを測る。 ⇒事象Aが起こる確率を P(A) と表す。 • 0≦P(A)≦1である。 • 事象Aが確実に起こる時、P(A)=1。 • 事象Aが決して起こらない時、P(A)=0。 3 確率を測る代表的な方法 • 先験的アプローチ 起こり得る結果について、あらゆる場合の 数 n と、ある事象Aの起こる場合の数 nAを 数え上げて計算する。 ⇒ P(A)=nA/n • 経験的アプローチ 実際にデータを取ってみて、相対頻度(第 3回講義で履修)を確率として代用する。 4 例題:先験的アプローチ • サイコロを振って、3の目が出る確率は? ⇒サイコロの目は全部で6通り。そのうちの 一つなので、3の目が出る確率は1/6。 • グーを出して、じゃんけんで勝つ確率は? ⇒相手がチョキなら勝ち、グーならあいこ、 パーなら負け、の三通りなので、1/3。 5 先験的と経験的 例:ある金融資産の投資収益率が10%に なる確率はいくらか? ⇒先験的には分らない。 ⇒経験的(実験的)アプローチを使う。 データを取り、そのデータのうち、何回10% の収益率を記録したかを調べる。 6 例題:経験的アプローチ • 松井秀喜選手(NYヤンキース)が次の打 席で安打を放つ確率は何%か? ⇒解答例:先シーズンの成績は、629打数で 192安打であった。 ⇒安打を放った相対頻度は、192/629=0.305 ⇒30.5%と予想される。 7 関連語:余事象 ☆余事象の確率 • 「Aではない」という事象をAの余事象とい い、その確率は 1-P(A) で計算する。 • 例:「松井選手が試合中に少なくとも1安打 を放つ」をAとすれば、その余事象は「松井 選手が試合中に1安打も放たない」になる。 8 確率の性質 ① ☆ 確率の加法定理 • 二つの事象AとBが同時には起こり得ない 時、AとBは互いに「排反」であるという。 • AとBが排反事象の時、AまたはBが起こる 確率は次のように計算できる。 P(A∪B)=P(A)+P(B)。 9 確率の性質 ② ☆確率の乗法定理(続) • AとBが排反事象ではない場合、 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) ただし、P(A∩B)はAとBが同時に起こる確 率である。 ⇒P(A∩B)についての計算規則は? 10 条件つき確率(準備) • 阪神タイガースの今季の勝率は0.617。 ⇒次の試合で勝つ確率は61.7%。 ↑相手がどこかは関係ない(無条件) では、相手が中日なら阪神の勝率は? ⇒中日との対戦成績は今季11勝11敗。 ⇒中日に勝つ確率は50%。(条件つき確率) 11 条件つき確率(公式) • Bが起こった場合に、Aが起こる確率は P(A|B)と表す。 超重要な公式:P(A|B)=P(AB)/P(B)。 ⇒変形:P(AB)=P(A|B)×P(B) ここで、P(AB)はABが同時に起こる確率。 また、P(B)をAの「周辺確率」と呼ぶ。 12 公式の項目の説明 事象W:阪神が勝つ 事象D:対戦相手が中日になる P(W|D):対戦相手が中日だと決まってい る場合に、阪神が勝つ確率 P(WD):対戦相手が中日になり、なおかつ 阪神が勝利を挙げる確率 P(D):対戦相手が中日になる確率 13 公式の使用例 • 対戦相手は11チームの一つ。 ⇒ P(D)=1/11=0.091 (9.1%) • 昨季の中日戦22試合中11勝。 ⇒ P(W|D)=11/22=0.5 (50%) • 阪神の対戦相手が中日に決まって、なお かつ勝つ確率。 ⇒ P(WD)=0.091×0.5=0.045 (4.5%) 14 重要:ベイズ定理 • 阪神勝利のニュースから、対戦相手が中 日だった確率(事後確率)を推測すると 公式より、P(WD)=P(W|D)×P(D)。 ⇒P(WD)=P(D|W)×P(W)とも書ける。 ⇒定理: P(D|W)=P(WD)/P(W)。 ↑使い方については練習問題を参照。 15
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