特殊ラグランジュ部分多様体の具体的構成河井公大朗（東北大・理 D1）概要 M をアインシュタイン定数が正であるトーリックケーラーアインシュタイン多様体とする。M の標準束 KM における、トーラス作用で不変な特殊ラグランジュ部分多様体の具体的構成について述べる。構成方法は以下の通りである。まず特殊ラグランジュ部分多様体は、カラビ・ヤウ多様体上で定義される概念である。Calabi ansatz と呼ばれる手法を用いて、標準束 KM にリッチ平坦計量を定め、カラビ・ヤウ構造を定める。そして運動量写像による構成法 [1] を用いて、特殊ラグランジュ部分多様体を具体的に構成する。 1 準備定義 (M, J, ω) を m 次元ケーラー多様体とする。 (M, J, ω) がトーリックであるとは、m 次元トーラス T m = (S 1 )m が、(M, J, ω) に正則、等長的、効果的に作用しているときをいう。 (M, J, ω, Ω) が m 次元カラビ・ヤウ多様体であるとは、以下の条件を満たすときをいう。 • (M, J, ω) はケーラ多様体 • Ω は、M 上の KM の 0 をとらない切断 (√ )m m m(m−1) − 1 ω • ¯ = (−1) 2 Ω ∧ Ω. m! 2 (1.1) 注意上記 ω, Ω が条件 (1.1) を満たすとき、対応するリーマン計量 g はリッチ平坦となる。また Ω は、g のレビ・チビタ接続に関して平行になる。定義 (M, J, ω, Ω) を m 次元カラビ・ヤウ多様体とし、L ⊂ M を実 m 次元の向きづけられた M の部分多様体とする。 L が ω|L ≡ 0, ImΩ|L ≡ 0 を満たすとき、L を M の特殊ラグランジュ部分多様体という。例 Cn は標準的なカラビ・ヤウ構造を持つ。Rn ⊂ Cn は特殊ラグランジュ部分多様体。 -181- 2 運動量写像による構成法運動量写像による手法とは、ある Lie 群 G がカラビ・ヤウ多様体に作用している場合に、G 不変特殊ラグランジュ部分多様体を構成する手法である。この構成法は Ionel, Min-Oo [1] による構成法に基づいている。 G を Lie 群とし、g∗ を G の Lie 環の双対空間とする。また g∗ の中心 Z (g∗ ) を余随伴作用により保たれる g∗ の元全体とする。 Z (g∗ ) := {ξ ∈ g∗ |Ad# (g)ξ = ξ (∀g ∈ G)}. 事実 (M, ω, G, µ) をハミルトニアン G 空間とする。すなわち、(M, ω) はシンプレクティック多様体で、連結 Lie 群 G が M に ω を保って作用しており、運動量写像 µ : M → g∗ が存在するとする。 L ⊂ M を任意の連結 G 不変ラグランジュ部分多様体とすると、c ∈ Z(g∗ ) が存在して、以下が成り立つ。 L ⊂ µ−1 (c). この事実から、G 不変特殊ラグランジュ部分多様体を以下のように構成できる。命題以下の条件を仮定する。 1. (M, J, ω, Ω) は、複素 m 次元カラビ・ヤウ多様体。 2. 実 (m − 1) 次元コンパクト連結 Lie 群 G が、M にカラビ・ヤウ構造を保って作用している。作用の主軌道の次元は、実 (m − 1) 次元である。 3. 上記群作用に対する運動量写像 µ : M → g∗ が存在する。 4. G 不変 (m − 1) 次微分形式 α があって、任意の v1 , · · · , vm−1 ∈ g に対して以下が成立。 ∗ ∗ ImΩ(·, v1∗ , · · · , vm−1 ) = d(α(v1∗ , · · · , vm−1 )) ここで、vi∗ は vi によって生成される M 上の実ベクトル場である。このとき、任意の c ∈ Z(g∗ ), c′ ∈ R, 基底 X = {X1 , · · · , Xm−1 } ⊂ g に対して、 ∗ Lc,c′ ,X := µ−1 (c) ∩ (α(X1∗ , · · · , Xm−1 ))−1 (c′ ) は M の G 不変特殊ラグランジュ部分多様体である。 Lc,c′ ,X は固定部分群が離散的でない点において、特異点を持つ。注意これらは G 不変特殊ラグランジュ部分多様体の中で ”極大 ”なものである。すなわち、任意の連結 G 不変特殊ラグランジュ部分多様体 L は、ある c ∈ Z(g∗ ), c′ ∈ R, 基底 X ⊂ g が存在して、L ⊂ Lc,c′ ,X となる。 -182- 標準束上の特殊ラグランジュ部分多様体の構成 3 以下に構成の概要を述べる。M をアインシュタイン定数が正である m 次元トーリックケーラーアインシュタイン多様体とし、KM をその標準束とする。 T m の M への作用をリフトして、T m が KM に作用していると考える。 3.1 KM へのカラビ・ヤウ構造の導入 ◆正則体積要素 ΩKM の構成余接束上のシンプレクティック形式と同様の手法で構成する。 (z 1 , · · · , z m ) を M の局所座標（およびそれを KM 上に引き戻したもの）とし、 z を dz 1 ∧ · · · ∧ dz m に関するファイバー座標とする。このとき α ∈ Ωm (KM ), ΩKM = dα ∈ Ωm+1 (KM ) を次のように定める。 α = zdz 1 ∧ · · · ∧ dz m ΩKM = dz ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ dz m . ◆リッチ平坦計量 ωKM の構成ケーラー形式 ωKM を KM − {0 切断 } 上で以下の形であると仮定する。 ωKM = π ∗ ωM + ddc F (t) π : KM → M は自然射影、F ∈ C ∞ (R), t = log r, r は 0 切断からの距離を表す。このようなリッチ平坦計量の定め方は、Calabi ansatz と呼ばれる。これを条件式 (1.1) に代入することで、F に関する微分方程式が得られる。積分定数を適当に定めると、この解は以下のように与えられる。 1 F ′ (t) = ((m + 1)e2t + 1) m+1 − 1. これより、ωKM が 0 切断上に滑らかに伸びることも確かめられる。 3.2 2 章の仮定を満たすこと ◆仮定 1：KM がカラビ・ヤウ多様体になることは、上述の通りである。 ◆仮定 2：構成より、T m 作用は KM のカラビ・ヤウ構造を保つ。 ◆仮定 3：T m 作用に対する運動量写像 Φ : KM → (tm )∗ の存在。 ωM がケーラーアインシュタインであることに注意すると、ωKM は KM − {0 切断 } 上で次のような完全形式になっている。 ωKM = ω T + ddc F (t) = d(dc (t + F (t))) -183- これより運動量写像 Φ : KM − {0 切断 } → (tm )∗ が次のように定まる。 ˜ ∗) < Φ, X > = dc (t + F (t))(X ˜ ∗) = (1 + F ′ (t))dc t(X 1 ˜ ∗) = ((m + 1)r2 + 1) m+1 dc t(X これが 0 切断に伸びることも容易に確かめられる。 ◆仮定 4：T m の可換性を用いて、3.1 節の α が仮定 4 を満たすことが示される。以上により運動量写像による構成法を用いて、特殊ラグランジュ部分多様体が構成できる。まとめると次のようになる。 4 主結果定理 M をアインシュタイン定数が正である複素 m 次元トーリックケーラーアインシュタイン多様体とする。 3 章で示したことから、標準束 KM はケーラー形式 ωKM 、正則体積要素 ΩKM = dα をもつカラビ・ヤウ多様体になる。m 次元トーラス T m は KM にカラビ・ヤウ構造を保って作用し、T m 作用に関する運動量写像 Φ : KM → (tm )∗ が存在する。このとき KM 内の T m 不変特殊ラグランジュ部分多様体は次式で与えられる。 { < Φ, Xi >= Ai (1 ≤ i ≤ m) ∗ ∗ ˜ ,··· ,X ˜ )) = Am+1 Im(α(X 1 m { 1 ((m + 1)r2 + 1) m+1 tr(∇M (JM Xi∗ )) = Ai (1 ≤ i ≤ m) ⇔ ˜ ∗, · · · , X ˜ ∗ )) = Am+1 Im(α(X 1 m ここで {X1 , · · · , Xm } は T m のリー環 tm の任意の基底であり、A1 , · · · , Am+1 は任意の実数である。 ˜ ∗ , X ∗ は、それぞれ X ∈ tm で生成される KM , M 上の実ベクトル場である。 X ∇M は ωM に関するレビ・チビタ接続、JM は M 上の複素構造である。参考文献 [1] M. Ionel and M. Min-Oo : Cohomogeneity one special Lagrangian 3-folds in the deformed and the resolved conifolds. Illinois J. Math. 52 (2008), no. 3, 839–865. -184-