Präsenzblatt 2

Prof. Dr. Rainer Dahlhaus
Wahrscheinlichkeitstheorie 1
Sommersemester 2016
Vorbereitung auf 2. Übungsblatt (Präsenzübungen)
Aufgabe P5 (Eigenschaften von Maßen).
Sei A eine σ-Algebra über Ω.
(a) Sei µ ein Maß auf (Ω, A). Zeigen Sie die Modularität: Für A, B ∈ A gilt:
µ(A ∪ B) + µ(A ∩ B) = µ(A) + µ(B).
(b) Sei ν : A → [0, ∞] ein P
Inhalt auf (Ω,
d.h. es gilt ν(∅) = 0 und für endlich viele disjunkte
PA),
n
n
A1 , ..., An ∈ A gilt ν ( i=1 Ai ) = i=1 ν(Ai ). Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
(i) Ist ν ist σ-subadditiv, so ist ν σ-additiv.
(ii) Sei ν(Ω) < ∞. ν ist genau stetig von
S unten (d.h. (An )n∈N ⊂ A mit ∀n ∈ N : An ⊂
An+1 impliziert limn→∞ µ(An ) = µ n∈N An ), wenn ν σ-additiv ist.
Aufgabe P6 (Einfache Berechnungen zum Zählmaß und Lebesgue-Maß).
(a) Laut Vorlesung ist das Lebesgue-Maß λ auf (R, BR ) durch λ((a, b]) = b − a für a, b ∈
R, a < b eindeutig bestimmt. Berechne
λ((0, 1] ∪ (2, 3]),
λ((1, 2)),
λ((−∞, 0]),
λ({0}),
λ(Q),
λ([0, 1]\Q).
(b) Das Zählmaß µZ auf (N, P(N)) ist definiert durch µZ (A) = |A|. Berechne
µZ ({1, 2, 3}),
µZ ({n ∈ N : n gerade}).
Aufgabe P7 (Skalierungsinvariante Maße).
Es bezeichne BR+ die Borelsche σ-Algebra auf R+ , und F : R+ → R+ eine Abbildung. Es sei µ
ein Maß auf (R+ , BR+ ) mit µ 6≡ 0 (d.h. µ ist nicht das Nullmaß) mit den Eigenschaften
• µ ist ein Borel-Maß, d.h. es gelte µ((0, c]) < ∞ für alle c ∈ R+ ,
• µ ist skalierungsinvariant, d.h. für A ∈ BR und c ∈ R+ gilt µ(c · A) = F (c) · µ(A).
In dieser Aufgabe werden wir zeigen, dass F dann eine ganz bestimmte Form hat und µ ein
(Vielfaches von einem) Lebesgue-Stieltjes-Maß ist. Zeigen Sie dazu:
(a) Für alle a, b ∈ R+ , a < b gilt: µ((a, b]) = (F (b) − F (a))µ((0, 1]).
1
(b) Es existiert eine Konstante cµ > 0, so dass µ = cµ · µF , wobei µF das zu F gehörige
Lebesgue-Stieltjes-Maß bezeichnet. Geben Sie cµ in Termen von µ an.
Hinweis: Maßfortsetzungssatz 1.21. Nutzen Sie ohne Beweis, dass für E = {(a, b] : a, b ∈
R+ , a ≤ b} gilt: A(E) = BR+ .
(c) Es existiert eine Konstante α > 0, sodass F (x) = xα . Geben Sie α in Termen von F an.
Hinweis: Zeigen Sie zuerst für c ∈ R, n ∈ N, A = (0, 1] ∈ BR+ : µ(cn A) = F (c)n µ(A).
Folgern Sie dann µ(cq A) = F (c)q µ(A) für q ∈ Q. Wählen Sie dann c = e und erweitern
Sie die Gültigkeit der Aussage für alle q ∈ R.
Aufgabe P8 (Maßfortsetzungssatz - mögliche Anwendungen).
(a) Sei (Ω, A) ein Messraum und E ⊂ P(Ω) ein ∩-stabiles Erzeugendensystem von A. Seien
µ, ν endliche Maße auf (Ω, A). Es gelte µ ≤ ν auf E. Folgt dann bereits µ ≤ ν auf A?
Geben Sie einen Beweis oder ein Gegenbeispiel.
(b) Zeigen Sie: Ist λ das Lebesgue-Maß auf (R, BR ), so gilt für alle B ∈ BR , c ∈ R die Gleichung
λ(B + c) = λ(B), d.h. λ ist translationsinvariant.
Abgabe: Keine Abgabe. Dieses Übungsblatt wird (teilweise) in den Übungen besprochen.
Homepage der Vorlesung:
http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hu020/WT1/index.html
2

Download Report