Vorlesungsprotokoll

Mathematische Methoden in der Systembiologie
Universität Heidelberg, WS 2015/2016
Dozent: Dr. M. V. Barbarossa ([email protected])
Tutor: M.Sc. D. Danciu ([email protected])
Vorlesung: Donn. 9:00-10:30Uhr, HS -104, INF 294
Übung: Dien. 9:00-10:30Uhr, HS 133, INF 294
Zulassungskriterium für die Klausur: Mindestens 50% der Übungspunkten UND
mindestens einmal im Semester Übungen an der Tafel vorrechnen.
Bonus: Wer mind. 80% der Übungspunkten erreicht, bekommt ein Bonus von 0.3
in der Klausur.
Termin
Do 15.10.15
Vorlesung
Di 20.10.15
Do 22.10.15
Vorlesung
Do 29.10.15
Vorlesung
Inhalt
 Einführung in die Modellierung biologischer Prozessen
 Lineare Rekursionsgleichungen xn+1=a xn.
 Graphische Darstellung der Lösung für Gleichungen 1.
Ordnung
Übungsblatt 0 wird besprochen.
 Vollständige Induktion: Beispiel (Gauß’sche
Summenformel) + Definition (Induktionsanfang /-schritt)
 Konvergenz von Folgen (Definition + Beispiele).
 Fibonacci-Zahlen (Beispiel für linearen Systeme von
Rekursionsgl’en). Berechnung des Goldenen Schnittes.
ÜBUNGSSTUNDEN BEGINNEN AM 3.11
 Komplexe Zahlen (ℂ):
o Z=(x,y) und die Menge ℝ^2 aller Paaren
o Definition von Operationen (Addition,
Multiplikation), Gesetzte (Assoziativ-/Kommutativund Distributivgesetz), sowie von Null-Element
(bzgl. Der Addition), Eins-Element (bzgl. Der
Multiplikation), Negative und Inverse von z ∈ ℂ
o Geometrische Darstellung (Gauß’sche Ebene)
o Imaginäre Einheit
o Die zu z ∈ℂ Koniugiert-komplexe Zahl (und
Eigenschaften)
o Betrag einer komplexen Zahl (und
Eigenschaften)
o Polardarstellung
Fundamental Satz der Algebra (Nullstelle eines
komplexen Polynoms n-ten Grades)
Übungsblatt 1 wird besprochen
 Nichtlineare Rekursionsgleichungen erster Ordnung
o xn+1=f(xn)
o Definition: Gleichgewichtszustand/Fixpunkt 𝑥̅
o Definition: Lokale asymptotische Stabilität
o Wiederholung der geometrischen Bedeutung
der Ableitung f‘(x0)
o Approximation einer nichtlineraren Gleichung in
der Nähe eines ihrer Fixpunkten 𝑥̅ durch die
literarisierte Gleichung zn+1=f‘(𝑥̅ )zn
o Stabilitätskriterium für ein Fixpunkt 𝑥̅
(|f‘(𝑥̅ )|<1 ⇒ 𝑥̅ lokal asymptotisch stabil;
|f‘(𝑥̅ )|>1 ⇒ 𝑥̅ instabil;)
o Beispiel: diskrete logistische Gleichung
Übungsblatt 2 wird besprochen
 Grafische Methode für nichtlineare
Rekursionsgleichungen erster Ordnung
o Beispiel: diskrete logistische Gleichung
 Reelle Matrizen
o Erste Definitionen (nxm Matrix, A=(ai,j)nxm,
Elemente/Einträge, Spaltenvektoren,
Zeilenvektoren)
o Spezielle Matrizen: Quadratische Matrizen,
Obere-Dreiecksmatrix/Untere-Dreiecksmatrix,
Nullmatrix, Einheitsmatrix
o Addition: Definition und Eigenschaften; Das
Negative einer Matrix A
o Skalare Multiplikation: Definition und
Eigenschaften
o Matrizenmultiplikation: Definition und
Eigenschaften; Inverse einer Matrix
o Transponierte einer Matrix
Übungsblatt 3 wird besprochen
 Vektor-Matrix Multiplikation
 Vektoren und Vektorräume:
o Definition vom Vektorraum (Beispiel ℝn )
o Lineare Kombination von Vektoren
o Lineare Unabhängigkeit von Vektoren
o Basis (oder Erzeugendensystem) eines
Vektorraums
 Rang einer Matrix (Zeilenrang=Spaltenrang=Rang)

Di 3.11.15
Do 5.11.15
Vorlesung
Di 10.11.15
Do 12.11.15
Vorlesung
Di 17.11.15
Do 19.11.15
Vorlesung
Lineare Gleichungssysteme: Erste Beispiele und die
Beobachtung, dass ein LGS kann genau eine, gar
keine, oder unendlich viele Lösungen haben
Übungsblatt 4 wird besprochen

Di 24.11.15
Donnerstag
26.11.15
Vorlesung
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Di 1.12.15
Donnerstag
3.12.15
Vorlesung
Übungsblatt 5 wird besprochen
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Di 8.12.15
Übung
Donnerstag
10.12.15
Vorlesung
Berechnung der inversen Matrix mit (i) dem GaußJordan Algorithmus oder (ii) der Cramerschen Regel
(zur Erinnerung wir brauchen A^(-1) damit wir aus Ax=b
die Lösung x=A^(-1)*b berechnen können)
Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix: Definition;
Formel zur Berechnung der Eigenwerte det(Alambda*I)=0
Gewöhnliche Differentialgleichungen (DGL) erster
Ordnung: Motivation, Beispiele, Wiederholung des
geom. Konzept von Ableitung; Definition von DGL und
Anfangswertproblem; Beispiel: Exponentialwachstum
Übungsblatt 6 wird besprochen
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Di 15.12.15
Lineare Gleichungssysteme – Lösbarkeit
Gauß-Verfahren zur Lösung eines LGS und Beispiele
Determinante einer Matrix: Formel für 2x2 Matrizen,
Sarrus Regel für 3x3 Matrizen, Leibniz-Entwicklung für
nxn Matrizen
Cramersche Regel für LGSen
Das Richtungsfeld einer gewöhnlichen
Differentialgleichung erster Ordnung: Bedeutung,
Darstellung, Beispiele (zur Erinnerung: zu verschiedenen
Anfangswerte gibt es unterschiedliche Lösungen!)
Lipschitz-beschränkte Funktionen (Definition und
Beispiele)
Satz von Picard-Lindelöf zur Existenz und Eindeutigkeit
der Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung
Trennung der Variablen: Methode für die Berechnung
der expliziten Lösung einer DGL derart y‘(t)=f(t)/g(y(t)).
Modell für Populationsdynamik: Exponentialwachstum
(Malthus, 1798)
Übungsblatt 7 wird besprochen
Donnerstag
17.12.15
Vorlesung
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
Variation der Konstanten: Methode für die Berechnung
der expl. Lösung einer DGL derart y‘(t)=p(t)*y(t)+r(t).
Modell für Populationsdynamik: Logistisches Wachstum
(Verhulst, 1838)
x‘(t)=b*x(t)*(1-x(t)/K)
Beispiel einer nichtlin. DGL 1. Ordnung
Definition: Fixpunkt/Stationärer
Punkt/Gleichgewichtspunkt einer DGL x‘(t)=f(x(t))
Linearisierung einer nichtlinearen DGL erster Ordnung
um einen Fixpunkt
Kriterium für lineare asymptotische Stabilität
Vergleich mit nichtlinearer Rekursionsgleichungen
Anwendungsbeispiel: Logistische Gleichung
Blatt 8 wird online gestellt
Frohe Weihnachten
und einen guten Start ins neuen Jahr!
Die Vorlesung beginnt wieder am 7.1.2016
Do 7.1.16
Vorlesung

2-dimensionale lineare homogene Systeme von
Gewöhnlichen DGLen
x‘(t)=a11x(t)+a12y(t)
y‘(t)=a21x(t)+a22y(t):
o Explizite Lösung
o Abhängigkeit der Lösung von Spur(A) und Det(A)
o Gleichgewichtspunkten eines linearen
homogenen Systems: Nur (0,0) ist
Gleichgewichtspunkt! Definition:
Fixpunkt/Stationärer
Simulationsstunde: Bitte eigenes Laptop mitbringen!
Weihnachten-Übungsblatt (8) wird besprochen.

Di 12.1.16
Lineare Systeme von Gewöhnlichen DGLen
y‘(t)=A(t)y(t)+b(t), mit A(t) nxn Matrix, b in R^n
o Existenz und Eindeutigkeit der Lösung
o Darstellung der expliziten Lösung eines linearen
homogenen Systems mit konstanten
Koeffizienten
y‘(t)=Ay(t), mit A nxn Matrix
o Beispiel: Tierpopulationmit jungen und
erwachsenen Tiere
Mo 18.1.16
Vorlesung
(Ersatztermin!)
Di 19.1.16
Do 21.1.16
Vorlesung

Qualitative Analyse eines 2-dimensionalen linearen
homogenen Systems von Gewöhnlichen DGLen
x‘(t)=a11x(t)+a12y(t)
y‘(t)=a21x(t)+a22y(t):
o Matrix-Vektor Schreibweise mit
Koeffizientenmatrix A
o Beispiel: Konzentration eines Medikamentes im
Blut und in einem Gewebe
o (Null)-Isoklinen zeichnen und berechnen.
Gleichgewichtspunkten sind die Schnittpunkte
der x-Isoklinen mit den y-Isoklinen. Im Fall eines
linearen homogenen Systems ist (0,0) der einzige
Gleichgewichtspunkt!
o Abhängigkeit der Lösung von den Eigenwerten
der Matrix A, bzw. von spur(A) und det(A)
o Das Spur-Determinante Diagramm
Blatt 10 wird online gestellt. Dieses Blatt wird nicht bewertet
aber am Dienstag, den 26.1 zusammen besprochen
Simulationsstunde: Bitte eigenes Laptop mitbringen!
Übungsblatt 8+9 wird besprochen.
 Zweidimensionale nichtlineare Systeme von
gewöhnlichen DGLen
x‘(t)= f(x(t), y(t))
y‘(t)=g(x(t), y(t))
 Schema zur Analyse eines solchen Modells
o Isoklinen berechnen und in der (x,y)-Ebene
zeichnen
o Fixpunkte (x*, y*) berechnen und in der (x,y)Ebene zeichnen
o Vektorfeld bestimmen (x‘(t)>0, x‘(t)<0, y‘(t)<0,
y‘(t)>0)
o Phasendiagramm zeichnen (mit Isoklinen,
Fixpunkten und Pfeilen ←,→,↑,↓)
o Linearisierte Stabilität bestimmen: Jakobi-Matrix
berechnen J(x,y) und auswerten an jedem
Fixpunkt A=J(x*,y*). Eigenwerte der Matrix A
berechnen.
 Satz von Hartmann-Grobmann (Prinzip der linearisierten
Stabilität)
 Kriterium für (linearisierte) Stabilität von Fixpunkten
 Beispiel: Räuber-Beute Modell mit logistischem
Wachstum in der Beute
Di 26.1.16
Do 28.1.16
Vorlesung
Übungsblatt 10 + ältere Übungsblätter werden besprochen.
Di 2.2.16
Do 4.1.16
Vorlesung
Übungsblatt 11 wird besprochen.
Di 9.2.16
KLAUSUR! BioQuant INF 267, Raum 043 (EG) 9:30 – 11:30Uhr
WIEDERHOLUNG
FRAGESTUNDE

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