finden Sie wichtige Hinweise zur Klausur. Bitte lesen!

Einige Hinweise zur zweiten Klausur Lineare Algebra I am 16.04.2016
Organisatorisches
Die Klausur findet am 16.04. 2016 in der Zeit von 9–12Uhr statt. Die Klausur wird in
mehreren Räumen stattfinden (in der Regel im Hörsaalgebäude, aber eventuell auch im
Seminargebäude Orleansring 12). Die Verteilung auf die einzelne Räume wird nach dem
Alphabet erfolgen. Wir werden wenige Tage vor der Klausur die genauen Modalitäten
bekannt geben. Bitte kommen Sie etwa 15 Minuten vor 9Uhr, damit die Einteilung auf
die Räume rechtzeitig erfolgen kann, und keine wertvolle Zeit für die Bearbeitung der
Klausur verloren geht!
Stellen Sie sicher, dass Sie ordnungsgemäß für die Klausur angemeldet sind. Wenn
Sie im QISPOS-System die Anmeldung nicht nachvollziehen können, sollten Sie sicherheitshalber im Prüfungsamt nachfragen, ob die Anmeldung korrekt erfolgt ist.
Studierende, die im Rahmen der Außercurricularen Studien an der Klausur teilnehmen möchten, müssen sich spätestens bis zum 10.04.2016 per Email bei mir persönlich
angemeldet haben (email: echters ad uni-muenster.de). Ich werde den Erhalt der Anmeldung spätestens am 14.04.2016 bestätigen. Wenn Sie keine Bestätigung erhalten sollten,
sollten Sie sich noch einmal an mich wenden! Bitte bringen Sie zum Klausurtermin diese
Bestätigung und die von mir unterzeichnete Studienvereinbarung mit. Studierende,
die nicht ordnungsgemäß zur Klausur angemeldet sind, können nicht an der
Klausur teilnehmen!
Eine weitere Voraussetzung zur Teilnahme an der Kausur ist die erfolgreiche Teilnahme an
den Übungen, das heißt, dass Sie mindestens 40% der schriftlichen Übungsaufgaben richtig
bearbeitet haben und mindestens einmal in den Übungen Ihre Ergebnisse präsentiert
haben. Wenn Sie diese Voraussetzung bereits in einer früheren Veranstaltung erworben
haben, müssen Sie diese Tatsache nachweisen, etwa durch einen QISPOS-Auszug aus dem
hervorgeht, dass Sie bereits einmal an einer Klausur zur Linearen Algebra I teilgenommen
haben. Bitte setzen Sie sich hierfür mit dem Koordinator der Übungen, Dr. Hannes Thiel
(email: hannes.thiel ad uni-muenster.de) in Verbindung.
Eine Themenübersicht der Vorlesung Lineare Algebra I
Sie finden hier eine Stichwortartige Themenübersicht für die Vorlesung Lineare Algebra
I. Diese Übersicht ist nicht vollständig, kann aber als grobe Richtschnur für die Wiederholung des Stoffes und zur Vorbereitung auf die Klausur dienen.
1. Bweistechniken, Mengen, Abbildungen. Dies war der Stoff der ersten beiden Kapitel der Vorlesung. Die Beweistechniken sollten Sie eigentlich inzwischen ausgiebig
geübt haben–vielleicht sollten Sie die Methoden des indirekten Beweise und der vollständigen Induktion noch einmal wiederholen. Beim Thema Abbildungen, sollten Sie die Begriffe
injekiv, surjekiv, bijektiv wie im Schlaf beherrschen und der Zusammenhang zwischen
Bijektivität und der Existenz von Umkehrfunktionen sollte Ihnen klar sein. Ist f : X → Y
eine Abbildung, so sollten auch die Mengen f (A) für A ⊆ X bzw. f −1 (B) für B ⊆ Y
bekannt sein.
2. Körper und komplexe Zahlen. Wiederholen Sie die Begriffe Gruppe, Ring,
Körper. Sie sollten mit den Rechenregeln für Addition, Mutiplikation und Division im
Körper der komplexen Zahlen, inklusive der geometrischen Deutung der Multiplikation
1
2
und der Schreibweise in Polarkoordinaten gut vertraut sein.
3. Lineare Gleichungssysteme. Dieses Thema zieht sich durch einen großen Teil
der Vorlesung, und Sie sollten inzwischen die Lösungstheorie für lineare Gleichungssysteme komplett beherrschen. Insbesondere sind hier wichtig:
(1) Die Beziehung zwischen Systemen linearer Gleichungen und Gleichungen der Form
Ax = b.
(2) Das Gauß-Verfahren zur Lösung der Gleichung Ax = b mit Hilfe von elementaren
Zeilenumformungen. Wie sieht die Zeilenstufenform einer Matrix aus?
(3) Die generelle Struktur des Lösungsraums der Gleichung Ax = b.
(4) Verfahren zur Berechnung eine speziellen Lösung xs der Gleichung Ax = b und
zur Berechnung von Kern(A) mit Angabe einer Basis von Kern(A).
(5) Kriterien zur Lösbarkeit bzw. eindeutigen Lösbarkeit der Gleichung Ax = b.
4. Vektorräume und lineare Abbildungen. Wie sind Vektorräume und lineare
Abbildungen zwischen Vektorräumen definiert? Lineare (Un-)Abhängigkeit eines Systems
von Vektoren. Erzeugendensysteme und Basen von Vektorräumen. Austauschlemma,
Basisauswahlsatz, Basisergänzungssatz. Berechnung von Basen für Untervektorräume
des K n ? Berechnung einer Basis von Bild(A), wenn A ∈ M (n × m, K). Wie ist der
kanonische Isomorphismus ΦB : V → K n definiert, wenn B = {v1 , . . . , vn } eine Basis des
P
K-Vektorraums V ist. Geben Sie eine Formel für ΦB (v), wenn v = ni=1 yi vi mit yi ∈ K,
t
n
und für Φ−1
B (x), wenn x = (x1 , . . . , xn ) ∈ K .
5. Elementarmatrizen. Was sind Elementarmatrizen, Bezüge zwischen Multiplikation mit Elementarmatrizen und elementaren Zeilen- bzw. Spaltenumformungen einer
Matrix A. Zerlegung von Matrizen in Elementarmatrizen. Welche Matrizen lassen sich als
Produkt von Elementarmatrizen schreiben? Invertierbare Matrizen und Berechnung der
inversen Matrix.
6. Darstellungsmatrizen. Wie berechnet man die Darstellungsmatrizen von linearen Abbildungen F : V → W bezüglich gegebener Basen von V und W ? Wie geht es
im Spezialfall V = K n , W = K m bezüglich der Standardbasen von K n und K m ? Was ist
eine Basiswechselmatrix? Wie hängt die Komposition (Hintereinanderausführung) G ◦ F
zweier linearer Abbildungen F : V → W und G : W → U mit dem Matrixprodukt der
Darstellungsmatrizen zusammen? Welche Beziehung herrscht zwischen der Bijäktivität
von linearen Abbildungen und der Invertierbarkeit von Matrizen? Dimensionsformel für
lineare Abbildungen und ihre Konsequenzen (etwa für lineare Abbildungen F : V → V
wenn dim(V ) < ∞). Der Rang einer Matrix und Berechnung des Rangs. Beziehung
zwischen Rang(A) und Rang(AT ).
7. Summen und direkte Summen von Vektorräumen. Wie sind Summen
und direkte Summen definiert. Wie berechnet mein eine Basis der (direkten) Summe
zweier Vektorräume? Projektion auf direkte Summanden und idempotente lineare Abbildungen. Dimensionsformel für die Summe zweier Vektorräume. Summen und direkte
Summen von mehr als zwei Untervektorräumen (§16).
8. Determinanten. Motivation und Definition der Determinante. Welche wichtigen Eigenschaften besitzt die Determinante und was kann man an ihr Ablesen? Zusammenhang
zu Invertierbarkeit einer Matrix. Wie berechnet man die Determinante einer Matrix?
b einer Matrix und
Entwicklung nach Zeile oder Spalten nach Laplace. Die Adjunkte A
der Bezug zur inversen Matrix. Die Cramersche Regel für lineare Gleichungssysteme. Die
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Determinantenformel von Leibniz.
9. Eigenwerte und Eigenvektoren, Diagonalisierbarkeit Diagonalisierbarkeit von
Endomorphismen F : V → V und von quadratischen Matrizen. Zusammenhang zwischen
Diagonalisierbarkeit eines Endomorphismus F : V → V und einer Darstellungsmatrx
A = AB
F von F . Definition von Eigenwerten und Eigenvektoren eines Endomorphismus
bzw. einer quadratischen Matrix. Die charakteristische Polynomfunktion eines Endomorphismus oder einer Matrix. Berchnung von Eigenwerten und Eigenvektoren. Notwendige
und hinreichende Kriterien für die Diagonalisierbarkeit von Endomorphismen und von
quadratischen Matrizen. Berechnung eine Basis von Eigenvektoren (wenn möglich) und
der zugehörigen Diagonalmatrix. Im Fall von quadratischen Matrizen, Berechnung einer
invertierbaren Matrix S, so dass S −1 AS Diagonalmatrix ist.
Wie bereiten Sie sich richtig vor?
Natürlich hat jeder seine eigenen individuellen Methoden und Vorlieben, wie er sich auf
eine Klausur oder andere Prüfung optimal vorbereiten kann. Eine Tatsache ist sicher,
dass sich eine intensive Vorbereitung immer lohnt! Die folgenden Tipps beschreiben daher
eine Strategie, mit der ich selbst gute Erfahrungen gemacht habe, die aber nicht für jeden
optimal sein muss!
Wie würde ich vorgehen: In einem ersten Schritt würde ich das Vorlesungsmanuskript noch einmal komplett durchgehen, um mir einen möglichst guten groben
Überblick zu verschaffen. Dann würde ich ausgehend von den oben angegebenen Stichworten versuchen, alle dort genannten Punkte zunächst aus dem Gedächtnis, und wenn
dies nicht gelingt durch Hinzunahme des Manuskripts, zu erklären bzw. zu beantworten.
Hierbei ist es extrem nützlich, die eigenen Erklärungen handschriftlich zu fixieren. Antworten, die aus dem Gedächtnis erfolgen, sollten auf jeden Fall mit Hilfe des Manuskripts
überprüft werden!
In einem zweiten Schritt würde ich sämtliche Übungsaufgaben (gerade auch die
mündlichen!) noch einmal anschauen, und sicher stellen, dass die Lösngen verstanden
und beherrscht werden. Gut wäre es, wenn Sie diese Aufgaben zum jetzigen Zeitpunkt
(zumindest in der überwiegenden Zahl) problemlos lösen könnten! Wenn das nicht gelingt,
schauen Sie sich noch einmal die entsprechenden Abschnitte der Vorlesung an. Stellen
Sie vor allem sicher, dass Sie alle Rechenverfahren und die wichtigsten Definitionen und
Sätze gut beherrschen!
Ich werde die Klausur mit einer festen Notenskala versehen, von der Sie direkt ablesen können, bei welcher Punktzahl sie welche Note erzielen.

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