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Training: Lineare Funktionen und lineare Gleichungssysteme
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Lineare Funktionen und lineare Gleichungssysteme
2.1 Die lineare Funktion
Merke
Lineare Funktionen
• Eine Vorschrift f, durch die jedem Element x aus einer Definitionsmenge D
genau ein Element y aus einer Wertemenge W zugeordnet wird, heißt Funktion.
Die Elemente x aus der Definitionsmenge D heißen Argumente.
Die Elemente y aus der Wertemenge W heißen Funktionswerte.
• Die Gleichung oder Zuordnungsvorschrift y = f(x) wird als Funktionsgleichung
bezeichnet. Ist diese Funktionsgleichung von der Form y = mx + n, so spricht man
von einer linearen Funktion.
• Eine Wertetabelle ist die Darstellung in Zahlen, ein Graph die Darstellung dieser
Zuordnungsvorschrift als Bild.
• Jede Parallele zur y-Achse schneidet den Graphen einer Funktion in höchstens einem
Punkt.
Beispiel
lineare Funktion f: y = 2x + 3
Jedem Element x aus der Definitionsmenge D wird das Element y = 2x + 3
aus der Wertemenge W zugeordnet.
Wertetabelle
Graph
x
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
y
–9
–7
–5
–3
–1
1
3
5
7
9
11
13
Jede Parallele zur y-Achse schneidet
den Graphen in höchstens einem Punkt.
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Training: Lineare Funktionen und lineare Gleichungssysteme
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Lineare Funktionen der Form f: y = mx
Merke
Lineare Funktionen f : y = mx
• Die Graphen aller linearen Funktionen mit der Funktionsgleichung y = mx
sind Geraden, die durch den Koordinatenursprung O(0 | 0) gehen. Sie werden
Ursprungsgeraden genannt (siehe Abbildung).
• Der Wert von m bestimmt, wie steil der Graph der zugehörigen Geraden verläuft.
m = 1:
Winkelhalbierende des 1. und 3. Quadranten; y = x
m = –1:
Winkelhalbierende des 2. und 4. Quadranten; y = –x
m > 1:
Die Gerade verläuft steiler als die Winkelhalbierende y = x.
0 < m < 1: Die Gerade verläuft flacher als die Winkelhalbierende y = x.
m < –1:
Die Gerade verläuft steiler als die Winkelhalbierende y = –x.
–1< m < 0: Die Gerade verläuft flacher als die Winkelhalbierende y = –x.
• Der Faktor m heißt Steigung der Geraden mit der Gleichung y = mx.
Beispiele
a) f1: y = –2x
mit m = –2
b) f2: y = –x
c) f3: y = − 1 x mit m = − 1
2
2
mit m = 1
e) f5: y = x
Wertetabelle
Graphen
mit m = –1
d) f4: y = 1 x mit m = 1
2
2
f) f6: y = 2x mit m = 2
x
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
f1
y
10
8
6
4
2
0
–2
–4
–6
–8
–10
f2
y
5
4
3
2
1
0
–1
–2
–3
–4
–5
f3
y
5
2
2
3
2
1
1
2
0
− 12
−1
− 32
−2
− 52
f4
y
− 52
–2
− 32
–1
− 12
0
1
2
1
3
2
2
5
2
f5
y
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
f6
y
–10
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
10

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