Prof. Dr. Birgit Jacob Bergische Universität Wuppertal Robert

Prof. Dr. Birgit Jacob
Robert Nabiullin
Bergische Universität Wuppertal
SS 2015
Analysis II: Übungsblatt 4
Aufgabe 19 Seien X, Y metrische Räume und fn : X → Y , n ∈ N, eine Folge stetiger Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion f : X → Y konvergiert. Zeigen Sie: Die Funktion f
ist stetig.
Aufgabe 20
a) Sei X ein metrischer Raum und (xn )n∈N eine Folge in X, die gegen ein a ∈ X konvergiert.
Zeigen Sie, dass dann die Menge A := {xn | n ∈ N} ∪ {a} kompakt ist.
b) Zeigen Sie: Die Menge A := {1/n | n ∈ N, n 6= 0} ist nicht kompakt.
Definition (Norm einer linearen Abbildung) Seien V und W normierte Vektorräume
und A : V → W eine stetige lineare Abbildung. Dann wird ihre Norm definiert durch
kAk := sup{kA(x)k : x ∈ V mit kxk ≤ 1}.
Aufgabe 21 (5 Punkte) Seien V und W normierte Vektorräume und A : V → W eine
stetige lineare Abbildung. Zeigen Sie
a) Es gilt kAk < ∞ und kA(x)k ≤ kAkkxk für alle x ∈ V .
b) Sei L(V, W ) die Menge aller stetigen linearen Abbildungen von V nach W . Dann ist
(L(V, W ), k·k) ein normierter Vektorraum.
c) Sei V = Rn und W = Rm . Dann ist jede lineare Abbildung A : V → W stetig.
d) Sei V = Rn und W = Rm . Die lineare Abbildung A sei durch eine m × n-Matrix
(aij )1≤i≤m,1≤j≤n
gegeben. Dann gilt

1/2
X
max |aij | ≤ kAk ≤ 
|aij |2 
i,j
i,j
Aufgabe 22 (5 Punkte) Seien X, Y metrische Räume und f : X → Y eine stetige Abbildung. Zeigen Sie: Ist K ⊂ X kompakt, so ist auch f (K) ⊂ Y kompakt.
Aufgabe 23 (5 Punkte) Zeigen Sie:
a) Die Vereinigung von zwei kompakten Teilmengen eines metrischen Raumes ist wieder
kompakt.
b) Sei (X, d) ein metrischer Raum mit der diskreten Metrik. Dann ist A ⊂ X kompakt genau
dann, wenn A endlich ist.
Aufgabe 24 (5 Punkte) Zeigen Sie:
a) Die drei Intervalle ]0, 1[, ]0, 1] und [0, 1] sind paarweise nicht homöomorph (Tipp: Benutzen
Sie die Aufgabe 22).
b) Jedes Intervall (beschränkt oder unbeschränkt) ist zu einem der drei obigen homöomorph.
Wichtige Hinweise:
Die Aufgaben 19 und 20 werden in den Übungsgruppen besprochen und nicht korrigiert.
Die Aufgaben 21, 22, 23 und 24 sollten abgegeben werden. Bitte notieren Sie Ihre Lösungen
leserlich, tackern Sie alle Zettel, die Sie abgeben wollen, zusammen und schreiben Sie oben
auf das erste Blatt Ihren Namen, Matrikelnummer und die Gruppennummer. Es werden nur
handschriftliche Einzelabgaben angenommen.
Die Abgabe der Aufgaben 21, 22, 23 und 24 muss bis Mittwoch, den 06.05.2015, 10 Uhr,
in den zu Ihrer Übungsgruppe gehörenden Kasten auf D.10 bzw. D.13 erfolgen.

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