1
Lineare Gleichungssysteme
1.1
Ein Beispiel: Netzwerkanalyse
Wir betrachten das folgende Modell eines elektrischen Schaltkreises.1 Die durchgezogenen Linien sind Leitungen. Die Kreise stehen f¨
ur Spannungsquellen, die
K¨
astchen f¨
ur Widerst¨
ande.
I1
R1
U q1
?
I3
R3
I2 R 2
?
U
? q2
Figure 1:
Die Buchstaben auf den Widerst¨
anden (R1 , R2 , R3 ) stehen f¨
ur den Wert des
entsprechenden Widerstandes, gemessen in Ohm. F¨
ur uns (d.h. vom mathematischen Standpunkt aus) sind R1 , R2 , R3 einfach fest vorgegebene positive reelle
Zahlen.
Die Buchstaben neben den Spannungsquellen (Uq1 , Uq2 ) stehen f¨
ur den Wert
der angelegten Spannung, gemessen in Volt. Allerdings sind Uq1 und Uq2 nicht
notwendigerweise positiv, oder – anders ausgedr¨
uckt – diese Werte haben ein
Vorzeichen. Damit wir das Vorzeichen richtig deuten k¨
onnen, ist neben der
Spannungsquelle zus¨
atzlich ein Pfeil eingezeichnet, der die Ausrichtung der anliegenden Spannung anzeigt. Handelt es sich bei der Spannungsquelle z.B. um
eine Batterie, so w¨
urde man den Wert Uqi als positiv annehmen und den Pfeil
vom Plus- zum Minuspol ausrichten. Rein mathematisch betrachtet sind Uq1
und Uq2 einfach beliebige (aber fest vorgegebene) reelle Zahlen.
Schliesslich bezeichnen die Buchstaben I1 , I2 , I3 die St¨
arke des durch den
entsprechend nummerierten Widerstand fliessenden Stroms, gemessen in Ampere. Hierbei ist zu beachten, dass Stromst¨
arke, genau wie Spannung, eine
vorzeichenbehaftete Gr¨
osse ist. Das Vorzeichen bestimmt die Richtung des
Stromflusses, und zwar folgendermassen. Ist Ii positiv, so fliesst der Strom in
die Richtung des im Bild 1.1 neben dem Widerstand Ri eingezeichneten Pfeiles.
Ist Ii dagegen negativ, so fliesst der Strom in die entgegengesetzte Richtung.
Problem 1.1.1 Man bestimme die Stromst¨
arken I1 , I2 , I3 (in Abh¨
angigkeit
von Ri und Uqj ).
1 Quelle:
Wikipedia, Stichwort Netzwerkanalyse (Elektrotechnik)
1
Wir werden sehen, dass dieses Problem auf ein lineares Gleichungssystem
hinausl¨
auft. Um dieses Gleichungssystem aufstellen zu k¨
onnen, ben¨
otigt man
drei fundamentale Gesetze der Elektrotechnik. Das erste Gesetz lautet:
Das Ohmsche Gesetz: Fliesst durch einen Widerstand R der Strom I, und bezeichnet U den Spannungsabfall zwischen den beiden Enden des Widerstandes,
so gilt
U = R · I.
Man beachte wieder, dass Stromst¨
arke genauso wie Spannungsabfall vorzeichenbehaftete Gr¨
ossen sind, oder physikalisch gesprochen eine Richtung haben.
Da wir den Widerstand R als positiv annehmen, sind die Vorzeichen von U und
I gleich, d.h. der Spannungsabfall erfolgt in der Richtung des Stromflusses.
Das Ohmsche Gesetz ist ein typisches Beispiel f¨
ur eine lineare Abh¨
angigkeit
zwischen zwei physikalischen Gr¨
ossen. Legt man an ein ektronisches Schaltelement eine (variable) Spannung U an und misst den resultierenden Strom I, so
ist der Quotient U/I unabh¨
angig von U . Somit ist die Gr¨
osse R := U/I eine
Konstante des Schaltelementes, die man suggestiv Widerstand nennt.
Zur¨
uck zu unserem Schaltkreis in Bild 1.1. Es sei Ui der am Widerstand Ri
auftretende Spannungsabfall. Nach dem Ohmschen Gesetz gilt dann
U1 = R 1 · I1 ,
U2 = R 2 · I2 ,
U3 = R 3 · I3 .
(1)
Die n¨
achste Grundregel bezeichnet man auch als das 1. Kirchhoffsche Gesetz.
Die Maschenregel: Die Summe der Spannungsgewinne entlang eines geschlossenen Weges ist gleich Null. Dabei heben sich Spannungsgewinne und -verluste
gegenseitig auf.
Unser Schaltkreis hat offenbar zwei Maschen, d.h. nichttriviale geschlossene
Wege, die in Bild 1.1 durch das Symbol gekennzeichnet sind. Durchl¨
auft man
diese Wege im Uhrzeigersinn und rechnet die erfahrenen Spannungsgewinne bzw.
-verluste auf, so f¨
uhrt uns die Maschenregel auf die beiden Gleichungen
U1 + U2 − Uq1 = 0,
−U2 − U3 + Uq2 = 0.
(2)
Die dritte Grundregel ist das 2. Kirchhoffsche Gesetz, auch genannt
Die Knotenregel: Die Summe der in einem Teilbereich des Netzwerkes zufliessenden Str¨
ome ist gleich Null. Dabei heben sich zu- und abfliessende Str¨
ome
gegenseitig auf.
Unser Schaltkreis hat zwei Knoten, d.h. Kreuzungspunkte von Leitungen.
Wir betrachten zun¨
achst den oberen Knoten und wenden auf ihn die Knotenregel an. Gem¨
aß dem folgenden Schema
2
I1
-
I3
I2 ?
erhalten wir die Gleichung
I1 − I2 + I3 = 0.
(3)
Offenbar liefert der zweite Knoten die a
¨quivalente Gleichung−I1 + I2 − I3 = 0,
die wir nicht extra auff¨
uhren brauchen.2
Wir k¨
onnen jetzt die Gleichungen (1), (2) und (3) zu folgendem Gleichungssystem zusammenfassen.
R 1 I1
I1
+ R 2 I2
R 2 I2
−
I2
+ R 3 I3
+
I3
= U q1
= U q2
= 0.
(4)
Wir haben das Problem 1.1.1 auf das L¨
osen des Gleichungssystems (4)
zur¨
uckgef¨
uhrt. Dies ist nun ein rein mathematisches Problem. Die Erfahrung
mit der physikalischen Wirklichkeit sagt uns, dass (4) eine eindeutige L¨
osung
haben sollte. Und tats¨
achlich kann man sich durch eine etwas l¨
angliche Rechnung oder durch Benutzen eines Computeralgebrasystems (wie z.B. Maple) davon
u
¨berzeugen, dass das Gleichungssystem (4) die eindeutige L¨
osung
(R2 + R3 )Uq1 − R2 Uq2
,
R1 R2 + R 1 R3 + R 2 R3
R 3 U q1 + R 1 U q2
I2 =
,
R1 R2 + R 1 R3 + R 2 R3
−R2 Uq1 + (R1 + R2 )Uq2
.
I3 =
R1 R2 + R 1 R3 + R 2 R3
I1 =
(5)
besitzt.
Das Gleichungssystem (4) ist ein Beispiel f¨
ur ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbestimmten I1 , I2 , I3 . Wir werden sehr
bald lernen, wie man entscheiden kann, ob ein lineares Gleichungssystem eine
L¨
osung besitzt, ob diese L¨
osung eindeutig ist, und wie man s¨
amtliche L¨
osungen
berechnen kann. Insbesondere kann man im vorliegenden Fall mit rein mathematischen Methoden zeigen, dass (4) eine eindeutige L¨
osung besitzt, die durch
(5) beschrieben wird.
1. Beobachtung: Das Rechnen von Hand ist meistens unpraktikabel.
Selbst bei einem so simplen Schaltkreis wie im Bild 1.1 ist die L¨
osung des
auftretenden Gleichungssystems schon so kompliziert, dass die Berechnung derselben von Hand sehr m¨
uhsam ist (probieren Sie es aus!). Schon in diesem einfachen Fall ist uns ein Computeralgebrasystem wie Maple haushoch u
¨berlegen.
2 Allgemein gilt, dass in einem Netzwerk mit k Knoten von den k resultierenden Gleichungen
immer eine u
¨berfl¨
ussig ist, aber die restlichen k − 1 Gleichungen voneinander unabh¨
angig sind.
3
In der Praxis treten leicht Schaltkreise mit tausenden Schaltelementen auf. Es
versteht sich von selbst, dass hier ohne Einsatz eines Rechners gar nichts l¨
auft.
¨
Was k¨
onnen wir daraus lernen? F¨
ur das L¨
osen von Ubungsaufgaben
und das
erfolgreiche Bestehen der Klausuren ist ein gewisses Maß an Rechenfertigkeit
unerl¨
asslich, und sie werden ausreichend Gelegenheit haben, dies zu trainieren.
Diese Rechentechnik ist aber allenfalls ein Nebenprodukt; das eigentliche Lernziel der Vorlesung ist etwas ganz anderes.
2. Beobachtung: Die L¨
osung des linearen Gleichungssystems (4) ist selbst
eines.
Wie ist das gemeint? Nun, wir k¨
onnen die Gleichungen (5) auch so schreiben:
R2
R2 + R 3
· U q1 +
· U q2
R1 R2 + R 1 R3 + R 2 R3
R1 R2 + R 1 R3 + R 2 R3
R3
R1
· U q1 +
· U q2
R1 R2 + R 1 R3 + R 2 R3
R1 R2 + R 1 R3 + R 2 R3
R1 + R 2
−R2
· U q1 +
· U q2
R1 R2 + R 1 R3 + R 2 R3
R1 R2 + R 1 R3 + R 2 R3
= I1
= I2
= I3 .
In dieser Form k¨
onnen wir (5) als lineares Gleichungssystem in den Unbekannten
Uq1 , Uq2 auffassen, wenn wir Werte f¨
ur I1 , I2 , I3 vorgeben. Das macht auch
physikalisch Sinn: wenn man z.B. die durch die Widerst¨
ande Ri fliessenden
Str¨
ome Ii gemessen hat, kann man anhand von (5) die an den beiden Spannungsquellen anliegenden Spannungen Uqj bestimmen.
Dies ist tats¨
achlich eine Verallgemeinerung von etwas, das wir schon anhand
des Ohmschen Gesetzes beobachtet haben, n¨
amlich die lineare Abh¨
angigkeit
zwischen zwei Gr¨
ossen. Dazu ist es zweckm¨
assig, die drei Gr¨
ossen I1 , I2 , I3 zu
einer zusammenzufassen, und zwar als Spaltenvektor:
I1
I := I2 .
I3
Mit den Spannungsquellen Uq1 und Uq2 wollen wir es a
¨hnlich machen. Ein Blick
auf das Gleichungssystem (4) sagt uns, dass wir drei Eintr¨
age brauchen, wobei
der letzte Null sein muss:
U q1
U := Uq2 .
0
Ausserdem schreiben wir die Koeffizienten auf der linken Seite von (4) in ein
rechteckiges Zahlenschema, Matrix genannt:
R1 R2 0
A := 0 R2 R3
1 −1 1
Mit diesen Bezeichnungen k¨
onnen wir nun das Gleichungssystem (4) in der Form
A·I =U
4
(6)
schreiben. Das Produkt A · I ist per definitionem der Spaltenvektor, dessen
Eintr¨
age die Ausdr¨
ucke auf der linken Seite von (4) bilden.
Die Vorteile dieser neuen Schreibweise sind offensichtlich: sie ist k¨
urzer und
sie sieht formal genauso aus wie das Ohmsche Gesetz, U = R · I. Wie wir sp¨
ater
sehen werden l¨
asst sich jede lineare Abh¨
angigkeit zwischen zwei (vektorwertigen)
Gr¨
ossen als eine Gleichung der Form (6) schreiben.
Wenn wir umgekehrt den Vektor I in Abh¨
angigkeit des Vektors U betrachten
wollen, so ist es naheliegend, die Matrix A ‘auf die andere Seite zu bringen’, d.h.
wir m¨
ochten die Umformung
A·I =U
?
⇒
I = A−1 · U
durchf¨
uhren. Ist das erlaubt bzw. f¨
uhrt so eine Umformung zu einem korrekten Ergebnis? Was bedeutet u
¨berhaupt A−1 ? Die Antwort werden wir bald
kennenlernen.
¨
3. Beobachtung: Uberlagerungen
von L¨
osungen
1.2
Ringe und K¨
orper
Wir setzen die folgenden Zahlbereiche als bekannt voraus.
• Die nat¨
urlichen Zahlen N = {1, 2, 3, . . .} (bzw. N0 = {0, 1, 2, 3, . . .}).
• Die ganzen Zahlen Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.
• Die rationalen Zahlen Q = { ab | a, b ∈ Z, b 6= 0}.
• Die reellen Zahlen R (siehe Vorlesung Analysis I).
Es handelt sich jeweils um eine Menge mit zwei Verkn¨
upfungen, die Addition
und die Multiplikation.
Wir wollen nun den Begriff eines Zahlbereiches formalisieren.
Definition 1.2.1 Sei G eine (nichtleere) Menge.
(i) Eine Verkn¨
upfung auf G ist eine Abbildung ∗ : G×G → G.3 Schreibweise:
a ∗ b := ∗(a, b),
f¨
ur a, b ∈ G.
(ii) Eine Verkn¨
upfung ∗ : G × G → G heißt assoziativ, wenn f¨
ur alle a, b, c ∈ G
gilt:
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).
(iii) Eine Verkn¨
upfung ∗ : G×G → G heißt kommutativ, wenn f¨
ur alle a, b ∈ G
gilt:
a ∗ b = b ∗ a.
3 G × G bezeichnet das kartesische Produkt von G mit sich selbst, also die Menge aller
(geordneten) Paare (a, b) mit a, b ∈ G.
5
Beispiel 1.2.2 Die Addition + und die Multiplikation · auf der Menge der
nat¨
urlichen Zahlen sind beide sowohl assoziativ als auch kommutativ. Dasselbe
gilt f¨
ur G = Z, Q oder R.
Beispiel 1.2.3 Sei G = R die Menge der reellen Zahlen. Wir definieren eine
Verkn¨
upfung ∗ auf R durch die Vorschrift
a ∗ b :=
a+b
,
2
a, b ∈ R.
Offensichtlich ist ∗ kommutativ (weil + kommutativ ist). Aber ∗ ist nicht assoziativ: es gilt
(a ∗ b) ∗ c = a/4 + b/4 + c/2,
a ∗ (b ∗ c) = a/2 + b/4 + c/4.
Z.B. erhalten wir f¨
ur a := 1, b := 0, c := 0 die Ungleichheit
(1 ∗ 0) ∗ 0 = 1/4 6= 1/2 = 1 ∗ (0 ∗ 0).
Beispiel 1.2.4 Sei X eine nichtleere Menge. Wir definieren G := Abb(X, X)
als die Menge aller Abbildungen f : X → X. Auf G definieren wir die
Verkn¨
upfung ◦ : G × G → G durch die Vorschrift
(f ◦ g)(a) := f (g(a)),
a ∈ X.
Dann ist ◦ nicht kommutativ, wenn X mindestens drei verschiedene Elemente
enth¨
alt. Ist z.B. X = {1, 2, 3} und setzen wir
1 7→ 3
1 7→ 1
2 7→ 1 ,
2 7→ 1 ,
g :=
f :=
3 7→ 1
3 7→ 2
so erh¨
alt man
1 7→ 2
2 7→ 1 ,
f ◦g =
3 7→ 1
1 7→ 3
2 7→ 3 .
g◦f =
3 7→ 1
Man sieht dass f ◦ g 6= g ◦ f (weil z.B. f ◦ g(1) 6= g ◦ f (1)).
Andererseit ist ◦ assoziativ. Um das zu zeigen, w¨
ahlen wir beliebige Elemente f, g, h ∈ G and a ∈ X und formen ein bischen um:
((f ◦ g) ◦ h)(a) = (f ◦ g)(h(a)) = f (g(h(a)))
= f ((g ◦ h)(a)) = (f ◦ (g ◦ h))(a).
Kurz gesagt: f¨
ur alle a ∈ G gilt ((f ◦ g) ◦ h)(a) = (f ◦ (g ◦ h))(a). Das bedeutet
aber, dass die beiden Abbildungen (f ◦ g) ◦ h und f ◦ (g ◦ h) identisch sind4 . Da
f, g, h beliebige Elemente von G waren, haben wir gezeigt, dass ◦ assoziativ ist.
4 Sind X, Y Mengen und f, g : X → Y Abbildungen, so gilt f = g genau dann, wenn
f (a) = g(a) f¨
ur alle a ∈ X gilt.
6
Definition 1.2.5 Sei G eine Menge und ∗ : G × G → G eine Verkn¨
upfung.
(i) Ein neutrales Element (bzgl. ∗) ist ein Element e ∈ G mit der Eigenschaft,
dass f¨
ur alle a ∈ G gilt:
a ∗ e = e ∗ a = a.
(ii) Sei e ein neutrales Element zu ∗ und sei a ∈ G. Ein inverses Element zu
a (bez¨
uglich e) ist ein Element b ∈ G mit der Eigenschaft
a ∗ b = b ∗ a = e.
Proposition 1.2.6 Sei ∗ : G × G → G eine Verkn¨
upfung.
(i) Es existiert h¨
ochstens ein neutrales Element bzgl. ∗. Insbesondere d¨
urfen
wir (im Fall der Existenz) von dem neutralen Element reden und k¨
onnen
wir uns den Hinweis ‘bzgl. e’ beim Benennen eines inversen Elementes
sparen.
(ii) Angenommen, die Verkn¨
upfung ∗ ist assoziativ und besitzt ein neutrales
Element e. Dann besitzt jedes Element a ∈ G genau ein inverses Element.
Beweis: Sind e, e0 zwei neutrale Elemente, so gilt zum einen
e · e0 = e
(weil e0 neutrales Element ist)
e · e0 = e0
(weil e neutrales Element ist).
zum anderen
0
Es folgt e = e . Damit ist (i) bewiesen.
Nun zum Beweis von (ii). Sei a ∈ G beliebig, und seien b, c ∈ G zwei inverse
Elemente zu a. Dann folgern wir:
b=b∗e
= b ∗ (a ∗ c)
(e ist neutrales Element)
(c ist Inverses von a)
= (b ∗ a) ∗ c
=e∗c
(∗ ist assoziativ)
(b ist Inverses von a)
=c
(e ist neutrales Element).
Insbesondere gilt b = c, und (ii) ist ebenfalls bewiesen.
2
Beispiel 1.2.7 Sei G := Z und ∗ = +. Die Null ist offensichtlich ein neutrales
Element zu +. F¨
ur a ∈ Z ist das Negative −a ∈ Z ein inverses Element zu a.
Beispiel 1.2.8 Sei G := Q und ∗ = · . Die Eins ist offensichtlich ein neutrales
Element zu · . F¨
ur eine rationale Zahl ab ∈ Q ungleich 0 ist ab ∈ Q ein inverses
Element. Die Null besitzt kein inverses Element bzgl. der Multiplikation, da
a
0 · = 0 6= 1
b
gilt, f¨
ur alle
a
b
∈ Q.
7
Definition 1.2.9 Ein Ring ist eine Menge, zusammen mit zwei Verkn¨
upfungen
+ : R × R → R,
(die Addition)
und
· : R × R → R,
(die Multiplikation),
die folgende Axiome erf¨
ullen.
(i) Die Addition ist assoziativ und kommutativ.
(ii) Die Addition besitzt ein neutrales Element 0R , genannt das Nullelement.
(iii) Jedes Element a ∈ R besitzt ein (eindeutiges) inverses Element −a bzgl.
der Addition, genannt das Negative von a.
(iv) Die Multiplikation ist assoziativ.
(v) Es gelten die Distributivgesetze:
a · (b + c) = a · b + a · c,
(a + b) · c = a · c + b · c,
f¨
ur alle a, b, c ∈ R.
Ein Ring (R, +, · ) heißt kommutativ, wenn auch die Multiplikation kommutativ
ist.
Ein neutrales Element der Multiplikation (wenn es existiert) heißt das Einselement, und wird 1R geschrieben.
Beispiel 1.2.10 (i) Die Mengen Z, Q und R, versehen mit der u
¨blichen Addition und Multiplikation, sind kommutative Ringe mit einem Einselement.
(ii) Die Menge der nat¨
urlichen Zahlen N, versehen mit der u
¨blichen Addition
und Multiplikation, erf¨
ullt die Bedingungen (i), (iv) und (v). Die Bedingungen (ii) und (iii) sind beide nicht erf¨
ullt, also ist (N, +, · ) kein
Ring.
Bemerkung 1.2.11 Sei (R, +, · ) ein Ring. Um uns Schreibarbeit zu sparen,
werden wir stillschweigend folgende Annahmen treffen bzw. folgende Schreibweisen benutzen.
(i) Wir nehmen grunds¨
atzlich an, dass R ein Einselement 1R besitzt. Zwar
kommen in der Mathematik auch Ringe vor ohne Einselement, aber nicht
in dieser Vorlesung.
(ii) Wir schreiben meistens einfach 0 und 1 anstelle von 0R und 1R . Aber
nat¨
urlich nur, wenn aus dem Kontext klar hervorgeht, in welchem Ring
die Elemente 0 und 1 leben.
8
(iii) Wir nehmen immer an, dass 0 6= 1 gilt. Denn aus der Gleichheit 0 = 1
w¨
urde sofort folgen, dass der Ring nur aus dem Nullelement besteht (also
R = {0}), und das ist eher langweilig.
(iv) Wir benutzen u.a. die folgenden abk¨
urzenden Schreibweisen (die man vom
Rechnen mit ‘normalen Zahlen’ gewohnt ist):
a+b+c
abc
statt
statt
(a + b) + c,
(a · b) · c,
ab + c
a−b
statt
statt
(a · b) + c,
a + (−b),
an
statt
ur n ∈ N
a
. . · a}, f¨
| · .{z
n mal
usw. Die letzte Zeile legt uns auch die Schreibweise
n · a := a + . . . + a
| {z }
n mal
f¨
ur a ∈ R und n ∈ N nahe. Hierbei muss man aber darauf achten, dass n
kein Element von R ist und es sich bei dem Ausdruck n · a nicht um die
Multiplikation von zwei Elementen aus R handelt.
Proposition 1.2.12 Sei (R, +, · ) ein Ring und a, b, c ∈ R drei beliebige Elemente.
(i) Aus der Gleichung
a+b=a+c
(7)
folgt die Gleichung b = c.
(ii) Es gelten folgende Regeln:
0 · a = a · 0 = 0,
−(−a) = a,
(−1) · a = a · (−1) = −a,
(−a) · (−b) = a · b.
(8)
(9)
(10)
(11)
Beweis: Teil (i) der Proposition folgt aus der folgenden Kette von Umformungen:
b = (−a + a) + b = −a + (a + b) = −a + (a + c)
= (−a + a) + c = 0 + c = c.
Alternativ kann man das Argument auch so formulieren: man addiert zu beiden
Seiten der Gleichung (7) das Negative von a. Nach K¨
urzen ergibt sich die
Gleichung b = c.
9
Zum Beweis von (8) u
¨berlegt man sich zuerst, dass
0 · a = (0 + 0) · a = 0 · a + 0 · a,
f¨
ur ein beliebiges Element a ∈ R. Wendet man auf diese Gleichheit die unter
(i) bewiesene Aussage an, so erh¨
alt man 0 · a = 0. Die Gleichung a · 0 = 0 zeigt
man auf analoge Weise, womit (8) bewiesen w¨
are.
Nach Definition ist −a das inverse Element zu a (bzgl. der Addition), d.h.
es gilt
a + (−a) = 0.
Man kann diese Gleichung aber auch lesen als: a ist das inverse Element zu
−a, d.h. a = −(−a), womit (9) bewiesen w¨
are. Man beachte, dass wir in
diesem Argument die Eindeutigkeit des inversen Elementes benutzt haben, vergl.
Proposition 1.2.6.
Zum Beweis von (10) f¨
uhrt man zuerst die folgenden Umformungen durch:
a + (−1) · a = 1 · a + (−1) · a = (1 + (−1)) · a = 0 · a = 0.
(Im letzten Schritt haben wir (8) benutzt!) Die obige Gleichheit zeigt, dass
(−1) · a das inverse Element von a bzgl. der Addition ist, also (−1) · a = −a
gilt. Die Gleichung a · (−1) = −a zeigt man wieder auf analoge Weise.
¨
Der Beweis von (11) sei dem Leser als Ubungsaufgabe
u
¨berlassen.
2
Die Proposition 1.2.12 zeigt, dass in einem allgemeinen Ring viele uns von
den ganzen Zahlen vertraute Rechenregeln ebenfalls gelten, aber einer ausf¨
uhr¨
lichen Begr¨
undung bed¨
urfen. Es gibt aber auch ein paar Uberraschungen.
Z.B.
ist die im Ring der ganzen Zahlen geltende Ungleichung −1 6= 1 in vielen Ringen
falsch!
Unser eigentliches Ziel ist ja das Studium von linearen Gleichungssytemen.
Es ist m¨
oglich und durchaus sinnvoll, lineare Gleichungssysteme u
¨ber sehr allgemeinen Ringen zu betrachten. Zu grosse Allgemeinheit f¨
uhrt hier aber schnell
zu Komplikationen. Deshalb werden wir uns in dieser Vorlesung meistens auf
einen bestimmten Typ von Ringen beschr¨
anken, die K¨
orper.
Zur Illustration der Probleme betrachten wir den einfachsten Typ von linearen Gleichungssystemen: eine Gleichung in einer Unbekannten x:
a · x = b.
Hierbei sind a, b beliebige Elemente eines kommutativen Rings R. Falls a = 0
ist, so hat diese Gleichung entweder keine L¨
osung (im Fall b 6= 0) oder jedes
Element x ∈ R ist eine L¨
osung (im Fall b = 0). Man darf also getrost a 6= 0
annehmen.
Definition 1.2.13 Sei (R, +, · ) ein kommutativer Ring.
(i) Ein Element a ∈ R heißt Einheit, wenn a ein multiplikatives Inverses
besitzt (welches wir dann mit a−1 bezeichnen).
10
(ii) Ein Element a ∈ R heißt Nullteiler, wenn es ein Element b ∈ R, b 6= 0,
gibt mit
ab = 0.
Der Ring R heißt nullteilerfrei wenn 0 der einzige Nullteiler ist.
Bemerkung 1.2.14 Der Begriff Nullteiler ist etwas irref¨
uhrend. Haben wir
allgemeiner zwei Elemente a, b ∈ R, so sagen wir dass a ein Teiler von b ist,
wenn die Gleichung
a·x=b
eine L¨
osung x ∈ R besitzt. Setzt man in diese Definition b = 0 ein, so folgt
sofort, dass jedes Element a ∈ R ein Teiler von 0 ist (denn obige Gleichung hat
ja die L¨
osung x = 0). Man nennt ein Element a aber nur dann einen Nullteiler,
wenn es eine L¨
osung x 6= 0 gibt.
Beispiel 1.2.15 Der Ring der ganzen Zahlen Z ist nullteilerfrei. Die Menge
der Einheiten von Z besteht nur aus den zwei Elementen 1, −1.
Proposition 1.2.16 Sei R ein kommutativer Ring, a, b ∈ R und a 6= 0.
(i) Ist R nullteilerfrei, so besitzt die Gleichung
a·x=b
(12)
h¨
ochstens eine L¨
osung x ∈ R.
(ii) Wenn a ein (multiplikatives) Inverses a−1 besitzt, so hat die Gleichung
(12) genau eine L¨
osung x ∈ R, n¨
amlich x := a−1 b.
Beweis: Angenommen, der Ring R ist nullteilerfrei, und die Gleichung (12)
habe die L¨
osungen x = x1 und x = x2 ∈ R. Dann gilt
0 = b − b = a · x1 − a · x2 = a · (x1 − x2 ).
Wegen der Annahme a 6= 0 bedeutet dies aber, dass x1 − x2 ein Nullteiler ist.
Da R als nullteilerfrei angenommen wurde, folgt x1 = x2 . Es gibt also h¨
ochstens
eine L¨
osung von (12), und (i) ist bewiesen.
Zum Beweis von (ii) nehmen wir an, dass a ein Inverses a−1 besitzt. Ist
dann x ∈ R eine L¨
osung der Gleichung ax = b, so folgt
x = a−1 ax = a−1 b.
Dies legt den Wert der L¨
osung also eindeutig fest. Umgekehrt ist der Wert
x := a−1 b nat¨
urlich eine L¨
osung der Gleichung. Wir haben also die Existenz
und die Eindeutigkeit der L¨
osung gezeigt.
2
Definition 1.2.17 Ein K¨
orper ist ein kommutativer Ring (K, +, · ) mit einem
Einselement 1 6= 0 und folgender Eigenschaft: jedes Element a 6= 0 ist eine
Einheit.
11
Beispiel 1.2.18 Die rationalen Zahlen Q und die reellen Zahlen R bilden einen
K¨
orper. Der Ring Z ist kein K¨
orper.
Bemerkung 1.2.19 Ein K¨
orper K ist automatisch nullteilerfrei. Denn wenn
wir Elemente a, b ∈ R haben mit a 6= 0 und ab = 0, so folgt wie im Beweis von
Proposition 1.2.16 (ii) die Gleichung
b = a−1 · 0 = 0.
Zum Abschluss wollen wir noch zeigen, dass man einen nullteilerfreien kommutativen Ring R auf einfache Weise in einen K¨
orper K einbetten kann. Diese
¨
Konstruktion ist v¨
ollig analog (genauer: eine Verallgemeinerung von) dem Ubergang von den ganzen Zahlen Z zu den rationalen Zahlen Q.
Sei also R ein nullteilerfreier und kommutativer Ring mit einem Einselement
1 6= 0. Das Beispiel der rationalen Zahlen legt uns nahe, den K¨
orper K als die
Menge der Br¨
uche u
¨ber dem Ring R zu definieren,
K := {
a
| a, b ∈ R, b 6= 0 }.
b
(13)
Die Addition und Multiplikation definiert man ebenfalls so, wie man es von den
rationalen Zahlen gewohnt ist:
ad + bc
a c
+ :=
,
b
d
bd
a c
ac
· := .
b d
bd
(14)
Man beachte, dass aus b 6= 0 und d 6= 0 die Ungleichheit bd 6= 0 folgt, weil wir
annehmen, dass der Ring R nullteilerfrei ist. Jetzt muss man noch zeigen, dass
man mit solchen Br¨
uchen so rechnen kann, wie man es gewohnt ist.
Die obige ‘Definition’ ist vom mathematischen Standpunkt aus sehr unbefriedigend, da man nicht pr¨
azise formuliert hat, was ein ‘Bruch’ eigentlich ist.
F¨
ur eine wirklich wasserdichte Definition ben¨
otigt man das folgende Konzept.
Definition 1.2.20 Sei M ein nichtleere Menge.
(i) Eine Relation auf M ist eine Teilmenge ∼ von M × M . F¨
ur a, b ∈ M
definieren wir
a ∼ b :⇔ (a, b) ∈∼ .
¨
(ii) Eine Relation ∼ auf M heißt Aquivalenzrelation,
wenn f¨
ur alle a, b, c ∈ M
gilt:
a∼a
a∼b ⇒ b∼a
a ∼ b, b ∼ c ⇒ a ∼ c
(Reflexivit¨
at)
(Symmetrie)
(Transitivit¨
at).
Sind diese Bedingungen erf¨
ullt, so sprechen wir die Beziehung ‘a ∼ b’ aus
als: a ist a
¨quivalent zu b (bzgl. der Relation ∼).
12
¨
(iii) Sei ∼ eine Aquivalenzrelation
auf M . Eine nichtleere Teilmenge A ⊂ M
¨
heißt Aquivalenzklasse
(bzgl. ∼), wenn es ein Element a ∈ M gibt so, dass
A genau die Elemente von M enth¨
alt, die a
¨quivalent zu a sind, d.h.
A = { b ∈ M | a ∼ b }.
In diesem Fall schreiben wir A = [a]∼ und nennen a einen Repr¨
asentanten
¨
der Aquivalenzklasse
A. (Beachte: die Reflexivit¨
at impliziert a ∈ [a]∼ !)
¨
Wir bezeichnen mit M/∼ die Menge aller Aquivalenzklassen
(bzgl. ∼).
Der entscheidende Punkt ist:
¨
Bemerkung 1.2.21 Sei M eine nichtleere Menge und ∼ eine Aquivalenzrela¨
tion auf M . Dann liegt jedes Element von M in genau einer Aquivalenzklasse
(bzgl. ∼). F¨
ur zwei Elemente a, b ∈ M gilt:
a ∼ b ⇔ [a]∼ = [b]∼ .
¨
Beim Ubergang
von der Menge M zur Menge M/ ∼ geht also die Relation ∼
in die Relation = u
¨ber.
Nun zur¨
uck zu unserer urspr¨
unglichen Situation. Wir haben einen kommutativen und nullteilerfreien Ring R. Wir setzen
M := { (a, b) | a, b ∈ R, b 6= 0 }
und definieren die Relation ∼ auf M durch
(a, b) ∼ (c, d) :⇔ ad = bc.
¨
Lemma 1.2.22 Die Relation ∼ ist eine Aquivalenzrelation.
Beweis: Reflexivit¨
at und Symmetrie sind klar. Um die Transitivit¨
at nachzuweisen, nehmen wir uns drei Elemente (a, b), (c, d), (e, f ) ∈ M her. Wir nehmen
an, dass (a, b) ∼ (c, d) und (c, d) ∼ (e, f ) gelten, was gleichbedeutend ist mit
ad = bc,
cf = de.
(15)
Der Trick ist nun, beide Seiten der erste Gleichungen mit f zu multiplizieren
und dann mithilfe der zweiten Gleichung umzuformen. Wir erhalten:
adf = bcf = bde,
woraus wir die Gleichung
d(af − be) = 0
schliessen. Aber R ist nach Voraussetzung ein nullteilerfreier Ring. Aus d 6= 0
folgt deshalb af = be, oder (a, b) ∼ (e, f ). Damit ist das Lemma bewiesen. 2
Jetzt k¨
onnen wir eine formale Definition des K¨
orpers K wagen. Wir definieren
K := M/∼
13
¨
als die Menge der Aquivalenzklassen
bzgl. der Relation ∼. F¨
ur ein Element
¨
(a, b) ∈ M schreiben wir die zugeh¨
orige Aquivalenzklasse
als
a
:= [(a, b)]∼ ∈ K.
b
Ein Bruch ab ist also die Menge der Paare (a0 , b0 ) ∈ M mit ab0 = a0 b, und K ist
azise definiert.
die Menge aller Br¨
uche ab (wobei b 6= 0). Damit haben wir (13) pr¨
Die Addition und die Multiplikation auf K sollen wie in (14) definiert sein.
Hier stossen wir auf das n¨
achste Problem, die Wohldefiniertheit. Seien also
α, β ∈ K zwei Elemente aus K. Nach Definition von K gibt es Elemente
ochten wir definieren:
a, b, c, d ∈ R, b, d 6= 0, so dass α = ab , β = dc . Nach (14) m¨
α + β :=
ad + bc
,
bd
αβ :=
ac
.
bd
(16)
Auf der rechten Seite steht jeweils ein wohldefiniertes Element aus K (weil
bd 6= 0 ist). Es ist aber auf den ersten Blick nicht klar, dass diese Elemente
unabh¨
angig von der Wahl der Darstellung α = ab , β = dc sind. Damit unsere
Definition von α+β und αβ u
¨berhaupt Sinn macht, m¨
ussen wir zuerst folgendes
zeigen:
Lemma 1.2.23 Gegeben (a, b), (a0 , b0 ), (c, d), (c0 , d0 ) ∈ M mit
a
a0
= 0
b
b
c
c0
= 0.
d
d
und
Dann gilt
a 0 d 0 + b 0 c0
ad + bc
=
,
bd
b0 d 0
ac
a 0 c0
= 0 0.
bd
bd
(17)
Beweis: Nach Vorausetzung gelten die Gleichungen
ab0 = ba0 ,
cd0 = dc0 .
(18)
Durch Umformen erhalten wir
(ad + bc)b0 d0 = adb0 d0 + bcb0 d0
= (ab0 )dd0 + (cd0 )bb0
0
0
0
= (ba )dd + (dc )bb
0 0
0
0 0
= (a d + b c )bd.
(umsortieren)
(benutze (18))
(umsortieren)
Die resultierende Gleichung besagt gerade dass
ad + bc
a 0 d 0 + b 0 c0
=
.
bd
b0 d 0
Die erste Gleichung in (17) ist damit bewiesen. Die zweite Gleichung zeigt man
durch eine a
¨hnliche Rechnung.
2
Mit dem Beweis des Lemmas ist gezeigt, dass durch (16) auf der Menge K
zwei Verkn¨
upfungen, + und · , definiert sind.
14
Satz 1.2.24 Die oben definierte Menge K, zusammen mit den Verkn¨
upfungen
+ und · , bildet einen K¨
orper.
Wir nennen K den Quotientenk¨
orper von R.
Beweis: Zun¨
achst einmal ist zu zeigen, dass (K, +, · ) ein kommutativer
Ring mit Einselement ist. Es sind also insbesondere die Eigenschaften (i) bis (v)
der Definition 1.2.5 nachzupr¨
ufen, plus die Kommutativit¨
at und die Existenz der
Eins. Das ist etwas m¨
uhselig, aber nicht schwierig, und sei dem Leser u
¨berlassen.
Wir weisen nur darauf hin, dass das Nullelement von K der Bruch 0K := 10 und
das Einselement der Bruch 1K := 11 ist.
Zeigen wir, dass K sogar ein K¨
orper ist. Dazu sei α = ab ∈ K ein beliebiges
Element. Dann gilt α 6= 0 genau dann, wenn a 6= 0. In diesem Fall ist α−1 := ab
ein Inverses zu α, wegen
αα−1 =
ab
1
a b
· =
= = 1K .
b a
ab
1
Jedes von Null verschiedene Element von K ist demnach eine Einheit, also ist
K ein K¨
orper.
2
Bemerkung 1.2.25 Die Abbildung
R → K,
a 7→
a
1
ist injektiv (aus a1 = 1b folgt a = b). Es ist u
¨blich und n¨
utzlich, den Ring R
mit dem Bild obiger Abbildung zu identifizieren und somit als Teilmenge von
K aufzufassen. Mit anderen Worten: wir unterscheiden nicht zwischen dem
Element a ∈ R und dem Element a1 ∈ K.
Diese Konvention ist mit der Definition der Addition und der Multiplikation
auf K vertr¨
aglich, wegen
a b
a+b
+ =
,
1 1
1
a b
ab
· = .
1 1
1
Mit anderen Worten: fassen wir R als Teilmenge des K¨
orpers K auf, so ist die
Einschr¨
ankung der auf K definierten Addition und Multiplikation auf die Teilmenge R die u
¨bliche Addition und Multiplikation des Ringes R. Diese Aussage
formuliert man auch so: R ist ein Unterring von K.
1.3
Das Eliminationsverfahren von Gauss
Sei K ein K¨
orper. Ein lineares Gleichungssystem u
¨ber K ist von der Form
a1,1 x1
..
.
+
am,1 x1
+
...
...
+
a1,n xn
..
.
+ am,n xn
15
=
b1
..
.
= bm .
(19)
Hierbei sind ai,j , bi Elemente von K und xj die Unbestimmten. Die L¨
osungsmenge
des Gleichungssystems (19) ist die Menge
L¨
os((19)) := {(x1 , . . . , xn ) | xj ∈ K, (19) ist erf¨
ullt }.
Ein Gleichungssystem zu l¨
osen bedeutet f¨
ur uns, die L¨
osungsmenge zu bestimmen. Das kann auch bedeuten, die Nichtexistenz von L¨
osungen zu beweisen.
Das Eliminationsverfahren von Gauss liefert einen Algorithmus zum L¨
osen eines
beliebigen linearen Gleichungssystems.
Zun¨
achst f¨
uhren wir eine praktische Schreibweise f¨
ur das Gleichungssystem
(19) ein. Die Koeffizienten ai,j schreiben wir in ein rechteckiges Schema, eine
Matrix:
a1,1 . . . a1,n
.. .
A := ...
.
am,1
. . . am,n
Die Menge aller solcher (m, n)-Matrizen bezeichnen wir mit Mm,n (K).
Die Eintr¨
age bi und die Unbestimmten xj schreiben wir als Spaltenvektoren:
b1
x1
..
..
n
b := . ∈ K m .
x := . ∈ K ,
bm
xn
Man beachte, dass die Anzahl der Eintr¨
age im allgemeinen verschieden ist: b hat
m Eintr¨
age (die Anzahl der Zeilen von (19)) und x hat n Eintr¨
age (die Anzahl
der Unbestimmten).
Wir erkl¨
aren das Produkt der Matrix A mit dem Spaltenvektor x durch die
Formel
a1,1 x1 + . . . + a1,n xn
.. ∈ K m .
A · x := ...
.
am,1 x1
+
...
+ am,n xn
Hierbei ist es entscheidend, dass der Vektor x genau soviel Eintr¨
age hat wie die
Matrix A Spalten hat (n¨
amlich n). Das Ergebnis ist ein Spaltenvektor mit m
Eintr¨
agen.
Mit dieser Vorbereitung k¨
onnen wir das lineare Gleichungssystem (19) jetzt
in die kompaktere, aber a
¨quivalente Form
A·x =b
bringen. Die L¨
osungsmenge schreiben wir als
L¨
os(A, b) := { x ∈ K n | A · x = b }.
Wir nennen A die Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems; h¨
angt man an
A noch den Vektor b als letzte Spalte an, so spricht man von der erweiterten
16
Koeffizientenmatrix:
a1,1
..
˜
A = (A, b) := .
am,1
...
a1,n
..
.
. . . am,n
b1
.. .
.
bm
In ihr ist die gesamte Information u
¨ber das Gleichungssystem enthalten.
Das Prinzip des Gaussschen Eliminationsverfahrens besteht darin, das Gleichungssystems durch wiederholtes Anwenden von sogenannten Zeilenoperationen so weit zu vereinfachen, bis man die L¨
osungsmenge leicht angeben kann.
Definition 1.3.1 Sei A = (ai,j ) ∈ Mm,n (K) eine (m, n)-Matrix mit Eintr¨
agen
in einem K¨
orper K. Eine elementare Zeilenoperation, angewendet auf A, liefert
eine Matrix A0 = (a0i,j ) ∈ Mm,n (K) und ist vom Typ (I), (II) oder (III), wie
folgt:
(I) A0 geht aus A hervor durch Multiplikation der i-ten Zeile mit einem Element λ 6= 0 von K, d.h.
(
λai,l , falls k = i,
0
ak,l :=
ak,l , falls k 6= i.
Hierbei sind i, k ∈ {1, . . . , m}, l ∈ {1, . . . , n}.
(II) A0 geht aus A hervor durch Addition des λ-fachen der iten Zeile auf die
jte Zeile, d.h.
(
aj,l + λai,l , f¨
ur k = j,
0
ak,l :=
ak,l ,
f¨
ur k 6= j.
Hierbei sind 1 ≤ i, j ≤ m verschiedene Indizes und λ ist ein beliebiges
Element von K.
(III) A0 geht aus A hervor durch Vertauschen der iten mit der jten Zeile,
ur k = i,
aj,l , f¨
a0k,l := ai,l , f¨
ur k = j,
ak,l , sonst.
Lemma 1.3.2 Sei A · x = b ein lineares Gleichungssystem u
¨ber einem K¨
orper
K, mit erweiterter Koeffizientenmatrix (A, b). Sei (A0 , b0 ) das Ergebnis einer
elementaren Zeilenoperation, angewendet auf (A, b). Dann haben die beiden
Gleichungssysteme A · x = b und A0 · x = b0 dieselbe L¨
osungsmenge:
L¨
os(A, b) = L¨
os(A0 , b0 ).
17
Beweis: Wir zeigen das Lemma exemplarisch f¨
ur eine elementare Zeilenumformung vom Typ (II). Die anderen beiden F¨
alle sind einfacher und dem Leser
u
¨berlassen.
Schreibe A = (ak,l ) und b = (bk ). Es seien 1 ≤ i 6= j ≤ m und λ ∈ K.
Es sei ausserdem (A0 , b0 ) das Ergebnis der Zeilenoperation vom Typ (II) mit
Parameter i, j, λ, angewendet auf die erweiterte Koeffizientenmatrix (A, b).
Sei x = (xl ) ∈ L¨
os(A, b) eine L¨
osung von A · x = b, d.h. es gelten die
Gleichungen
a1,1 x1 + . . . + a1,n xn = b1
..
..
..
(20)
.
.
.
am,1 x1
+
...
+ am,n xn
= bm .
Multiplizieren wir die ite Gleichung von (20) mit λ und addieren wir diese zur
jten Gleichung, so folgt, nach einer einfachen Umformung:
(aj,1 + λai,1 )x1 + . . . + (aj,n + λai,n )xn = bj + λbi .
(21)
Ersetzen wir in (20) die jte Zeile durch die Gleichung (21), so erhalten wir, in
Matrixschreibweise und nach Definition von (A0 , b0 ), die Gleichung
A0 · x = b 0 .
Wir haben also gezeigt: aus A · x = b folgt A0 · x = b0 . Anders ausgedr¨
uckt:
L¨
os(A, b) ⊂ L¨
os(A0 , b0 ).
Nun u
¨berlegt man sich folgendes: wendet man auf (A0 , b0 ) eine Zeilenumformung vom Typ (II) mit Parameter (i, j, −λ), so erh¨
alt man die urspr¨
ungliche
erweiterte Koeffizientenmatrix (A, b). Mit dem soeben ausgef¨
uhrten Argument
folgt dann
L¨
os(A0 , b0 ) ⊂ L¨
os(A, b),
und insgesamt L¨
os(A, b) = L¨
os(A0 , b0 ).
2
Definition 1.3.3 Eine (m, n)-Matrix A = (ai,j ) u
¨ber einem K¨
orper K ist in
Zeilenstufenform, wenn sie folgende Form hat:
•
•
..
.
,
• 6= 0.
A =
•
∗
0
Etwas genauer: es gibt eine ganze Zahl r mit 0 ≤ r ≤ m und r ganze Zahlen
j1 < j2 < . . . < jr , so dass gilt:
ai,1 = . . . = ai,ji −1 = 0,
ai,ji 6= 0
ai,1 = . . . = ai,n = 0,
f¨
ur i = 1, . . . , r,
f¨
ur i = r + 1, . . . , m.
18
Die von Null verschiedenen Eintr¨
age a1,j1 , . . . , ar,jr heißen die Angelpunkte von
A. Die Zahl r heißt der Zeilenrang von A.
Die Matrix A ist in normalisierter Zeilenstufenform, wenn, zus¨
atzlich zu den
oben aufgef¨
uhrten Bedingen, gilt:
a1,ji = . . . , ai−1,ji = 0,
ai,ji = 1,
f¨
ur i = 1, . . . , r.
Das entsprechende Bild sieht also in etwa so aus:
1
0
1
..
.
A =
0
0
..
.
0
1
.
Man beachte, dass die F¨
alle r = 0 und r = m ausdr¨
ucklich zugelassen sind: im
ersten Fall ist A = 0, d.h. alle Eintr¨
age von A sind Null.
Ein weiterer interessanter Grenzfall tritt ein f¨
ur m = n = r. Ist dann A in
normalisierter Zeilenstufenform, so gilt
1
0
..
A = En :=
.
.
0
1
Die Matrix En heißt die Einheitsmatrix vom Rang n.
Lemma 1.3.4 Sei A ∈ Mm,n (K) eine (m, n)-Matrix u
¨ber einem K¨
orper K.
Dann l¨
asst sich A durch eine Folge von elementaren Zeilenumformungen in eine
Matrix A0 ∈ Mm,n (K) in normalisierter Zeilenstufenform umformen.
Beweis: Zum Beweis werden wir einen konkreten Algorithmus angeben, der
eine gegebene Matrix A = (ai,j ) schrittweise auf normalisierte Zeilenstufenform
bringt. Dabei werden wir die Namen A f¨
ur die Matrix und ai,j f¨
ur ihre Eintr¨
age
immer beibehalten, auch wenn sich letztere durch die laufenden Umformungen
ge¨
andert haben.
Ist A = 0, so ist A bereits in normalisierter Zeilenstufenform, und wir sind
fertig. Andernfalls gibt es mindesten einen Eintrag ai,j 6= 0. Setze
j1 := min{ j | es gibt ein i mit ai,j 6= 0 }
und w¨
ahle ein i1 mit ai1 ,j1 6= 0. Jetzt f¨
uhren wir die folgenden Umformungen
aus:
• Falls i1 6= 1, vertausche die erste mit der i1 ten Zeile. Wir d¨
urfen danach
annehmen, dass i1 = 1. Unser erster Angelpunkt ist der Eintrag a1,j1 6= 0.
• Multipliziere die erste Zeile von A mit a−1
1,j1 . Danach gilt a1,j1 = 1.
19
• Addiere das −ai,j1 fache der ersten Zeile zur iten Zeile, f¨
ur i = 2, . . . , m.
Dadurch verschwinden die Eintr¨
age unterhalb des Angelpunktes a1,j1 = 1.
Die Matrix A hat nun die Form
0 ···
..
.
A=
.
..
0 ···
∗
,
0 1 ∗ ···
..
. 0
.. ..
. .
B
0 0
wobei B eine gewisse (m − 1, n − j1 )-Matrix ist. Nun k¨
onnte es sein, dass
m = 1 oder j1 = n. In beiden F¨
allen ist die Matrix B leer und A ist bereits in
normalisierter Zeilenstufenform.
Wenn aber m > 1 und j1 < n gilt, so wenden wir das im letzten Abschnitt
beschriebene Verfahren auf die Matrix B an. Dabei f¨
uhren wir aber die anfallenden Zeilenumformungen nicht einfach nur auf B aus, sondern auf die ganze
Matrix A. Hat man mit dieser Vorgehensweise Erfolg, so hat die Matrix A
anschliessend die Form
0 ··· 0 1 ∗ ··· ··· ∗
..
..
.
0 0
∗
.
..
.. ..
.
. .
1 ∗
,
A=
.
.. ..
..
. .
0 0
.
.. ..
..
..
..
. .
.
.
0 ···
0 0 ···
0
0
d.h. sie ist in Zeilenstufenform, und die Angelpunkte haben alle den Wert 1.
Vom algorithmischen Standpunkt aus haben wir eine Prozedur beschrieben,
die sich u.U. selbst aufruft (ein sogenannter rekursiver Aufruf). Das ist erlaubt,
aber wir m¨
ussen uns klarmachen, dass obiges Verfahren nach endlich vielen
Schritten abbricht. Um das einzusehen, betrachtet man die Anzahl m der Zeilen
der Matrix, auf die man die Prozedur anwendet. Die Prozedur ruft nur dann
sich selbst auf, wenn m > 1, und in diesem Fall ist die Eingabe ein Matrix mit
m − 1 Zeilen. Daraus folgt, dass die Tiefe der rekursiven Aufrufe h¨
ochstens m
betr¨
agt und das Verfahren tats¨
achlich nach endlich vielen Schritten abbricht.
Wir haben nun die Matrix A auf Zeilenstufenform gebracht und daf¨
ur gesorgt,
dass die Werte der Angelpunkte alle gleich 1 sind. Es ist nun klar, wie man durch
weitere elementare Zeilenumformungen vom Typ (II) erreichen kann, dass alle
Eintr¨
age oberhalb der Angelpunkte verschwinden.
2
Satz 1.3.5 Sei K ein K¨
orper, m, n ∈ N, A ∈ Mm,n (K) und b ∈ K m . Wir
betrachten das lineare Gleichungssystem
A · x = b,
mit x ∈ K n . Dann k¨
onnen zwei verschiedene F¨
alle auftreten:
20
(i) Es gibt keine L¨
osung, d.h. L¨
os(A, b) = ∅.
(ii) Es gibt eine ganze Zahl s, 0 ≤ s ≤ n, und paarweise verschiedene ganze
Zahlen k1 , . . . , ks , 1 ≤ k1 < · · · < ks ≤ n, mit folgender Eigenschaft. F¨
ur
jedes s-Tupel (t1 , . . . , ts ) ∈ K s gibt es genau eine L¨
osung x = (x1 , . . . , xn ) ∈
K n der Gleichung A · x = b mit
xk 1 = t 1 , . . . , x k s = t s .
Insbesondere erhalten wir eine Bijektion
∼
φ : K s → L¨
os(A, b),
(t1 , . . . , ts ) 7→ x = (x1 , . . . , xn ).
Im Fall (ii) des Satzes nennen wir die Unbestimmten xk1 , . . . , xkn−r die freien
Variablen und die u
¨brigen Unbestimmten die gebundenen Variablen. Die Bijektion φ heißt Parametrisierung der L¨
osungsmenge, die Elemente ti heißen
Parameter.
Beweis: Nach Lemma 1.3.4 k¨
onnen wir die erweiterte Koeffizientenmatrix
(A, b) durch eine Folge von Zeilenumformungen zu einer Koeffizientenmatrix
(A0 , b0 ) umformen, so dass A0 in normalisierter Zeilenstufenform ist. Nach
Lemma 1.3.2 gilt ausserdem
L¨
os(A, b) = L¨
os(A0 , b0 ).
Nun sei r der Zeilenrang von A0 und seien j1 < . . . < jr die Spaltenindizes der
Angelpunkte von A0 . Setze s := n − r und sortiere die s Elemente der Menge
{1, . . . , n}\{j1 , . . . , jr } in aufsteigender Reihenfolge: k1 < . . . < ks . Stellen wir
jetzt das lineare Gleichungssystem A0 ·x = b0 auf und bringen die Unbestimmten
xk1 , . . . , xks auf die rechte Seite, so erhalten wir ein Gleichungssystem der Form
xj1 = b01 − a01,k1 xk1 − . . . − a01,ks xks
..
..
.
.
xjr = b0r − a0r,k1 xk1 − . . . − a0r,ks xks
0 = b0r+1
..
..
.
.
0 = b0m .
Es k¨
onnen nun zwei verschiedene F¨
alle auftreten: entweder sind die Eintr¨
age
b0r+1 , . . . , b0m alle gleich Null, oder einer dieser Eintr¨
age ist ungleich Null. Wenn
letzteres zutrifft, so ist mindestens eine der obigen Gleichungen unerf¨
ullbar, und
dann ist die L¨
osungsmenge leer:
L¨
os(A, b) = L¨
os(A0 , b0 ) = ∅.
Dies entspricht dem Fall (i) des Satzes. Andernfalls gilt b0r+1 = . . . , b0m = 0 und
die letzten m − r Gleichungen sind automatisch erf¨
ullt und k¨
onnen weggelassen
21
werden. In diesem Fall ist es klar, dass man f¨
ur die Unbestimmten xk1 , . . . , xks
beliebige Werte aus dem K¨
orper K vorgeben kann, und dass dann mit dieser
Vorgabe eine eindeutige L¨
osung des Gleichungssystems existiert. Die Aussage
im Fall (ii) des Satzes sagt genau das.
2
Bemerkung 1.3.6 Man beachte, dass die Unterteilung in freie und gebundene
Variablen nicht nur von dem Gleichungssystem A · x = b, sondern vor allem von
den vorgenommenen Zeilenumformungen abh¨
angt. Da es viele M¨
oglichkeiten
gibt, eine Matrix auf Zeilenstufenform zu bringen, gibt es im allgemeinen auch
viele M¨
oglichkeiten f¨
ur die Wahl der freien Variablen.
Wir werden im zweiten Kapitel zeigen, dass zumindest die Anzahl s der
freien Variablen (bzw. der Parameter ti ) eindeutig durch das Gleichungssystem
bestimmt ist: sie entspricht der Dimension des L¨
osungsraumes.
Die Aussage von Satz 1.3.5 l¨
asst sich noch versch¨
arfen, wenn b = 0 gilt.
Definition 1.3.7 Ein homogenes lineares Gleichungssystem ist ein Gleichungssystem der Form
A · x = 0,
mit A ∈ Mm,n (K). Hierbei bezeichnet 0 den Nullvektor von K m , d.h. 0 :=
(0, . . . , 0) ∈ K m .
Offensichtlich hat ein homogenes lineares Gleichungssystem immer mindestens eine L¨
osung, n¨
amlich den Nullvektor 0 := (0, . . . , 0) ∈ K n . Der Fall (i)
in Satz 1.3.5 tritt also nicht auf. Eine L¨
osung x ∈ L¨
os(A, 0), x 6= 0, heißt
nichttriviale L¨
osung.
Satz 1.3.8 Sei A ∈ Mm,n (K). Wenn m < n gilt, dann hat das homogene
Gleichungssystem
A·x =0
mindestens eine nichttriviale L¨
osung, x 6= 0. Ausserdem gilt f¨
ur die Anzahl s
der freien Parameter (Bezeichnung wie in Satz 1.3.5):
s ≥ n − m > 0.
Beweis: Wie im Beweis von Satz 1.3.5 formen wir die erweiterte Koeffizientenmatrix (A, 0) so zu einer Matrix (A0 , b0 ), dass A0 in normalisierter Zeilenstufenform ist. (Man macht sich leicht klar, dass dann b0 = 0 gilt. Mit anderen Worten: ein homogenes Gleichungssystem bleibt unter Zeilenumformungen homogen.)
Sei r der Zeilenrang von A0 . Man beachte, dass r ≤ m und r ≤ n. Wie im
Beweis von Satz 1.3.5 ist dann s := n − r die Anzahl der freien Parameter der
L¨
osungsmenge. Wegen r ≤ m gilt dann
s ≥ n − m.
22
Gilt zus¨
atzlich m < n, so folgt s > 0, und es gibt mindestens eine freie Variable
xk1 . Nach Satz 1.3.5 existiert dann eine L¨
osung x = (x1 , . . . , xn ) ∈ L¨
os(A, 0)
mit xk1 = 1 6= 0. Insbesondere gilt x 6= 0.
2
1.4
Analytische Geometrie
Als analytische Geometrie bezeichnet man heute meistens den Teil der linearen Algebra, der sich mit der Geometrie der Ebene und des dreidimensionalen
Raumes besch¨
aftigt. Dies war der historische Ursprung der linearen Algebra.
Das Beispiel aus §1.1 zeigt aber, dass moderne Anwendungen meistens nicht
auf drei Dimensionen beschr¨
ankt sind und nicht notwendigerweise einen geometrischen Hintergrund haben. Trotzdem ist die geometrische Anschauung f¨
ur
ein intuitives Verst¨
andnis der Begriffe der linearen Algebra unerl¨
asslich.
Bevor wir also im n¨
achsten Kapitel die grundlegenden Begriffe wie Vektorraum und lineare Abbildung offiziel und in abstrakter Weise definieren werden,
wollen wir sie zun¨
achst geometrisch motivieren.
Der euklidische Standardraum
Die Elemente des Euklid waren bis zum Beginn der Neuzeit das Standardwerk der Mathematik und insbesondere der Geometrie; in ihnen ist praktisch
das gesamte mathematische Wissen und Denken der griechischen Antike zusammengefasst. Der Einfluss der Elemente auf Mathematik, Philosophie und Wissenschaft ist enorm. Wir wollen hier zwei wesentliche Aspekte hervorheben.5
• Die Mathematik wird als eine deduktive Wissenschaft aufgebaut; am Anfang stehen einige wenige Axiome, aus denen dann alles andere durch
logische Schl¨
usse abgeleitet wird.
• Die Algebra wird aus der Geometrie heraus begr¨
undet. Z.B. werden rationale Zahlen einfach als L¨
angenverh¨
altnisse von Strecken definiert, die
man durch gewisse geometrische Konstruktionen erhalten kann. (Die
Begr¨
undung der reellen Zahlen bereit massive Probleme und ist nicht allgemein gelungen.)
Der erste Punkt bestimmt auch heute noch unseren Zugang zur Mathematik
als Wissenschaft. Beim zweiten Punkt fand aber ab dem 17. Jahrhundert ein
Umdenken und eine Abkehr von den Grunds¨
atzen der Elemente statt, dessen
Ergebnis vielleicht noch bedeutsamer ist als der Einfuss der Elemente selbst.
Das entscheidende Ereignis war wohl die Einf¨
uhrung von Koordinatensystemen durch Ren´e Descartes in seinem Hauptwerk Discours de la m´ethode (1637).
Durch diese Entdeckung wurde es m¨
oglich, die Geometrie aus der Algebra heraus
zu begr¨
unden. Dieser Standpunkt ist vielleicht weniger elegant als der von Euklid und philosophisch unbefiedigend, hat aber unsch¨
atzbare praktische Vorteile.
5 F¨
¨
ur eine kritische Betrachtung siehe Euklid: Die Elemente – eine Ubersicht,
Vorlesungsskript von G.-D. Geyer SS 2001, Erlangen, oder Euklid und die Elemente, Norbert
Froese, 2007.
23
Oft kann man geometrische Fragestellungen in eine Rechenaufgabe u
¨bersetzen
und dann mit numerischen Methoden l¨
osen. Im Zeitalter der digitalen Datenverarbeitung ist dieser Vorteil sogar noch viel gr¨
osser als zu Descartes Zeit.
Ganz im Sinne von Descartes gehen wir also vom K¨
orper der reellen Zahlen
aus und definieren:
Definition 1.4.1 Sei n ∈ N eine nat¨
urliche Zahl. Der Euklidische Standardraum der Dimension n ist die Menge Rn aller n-Tupel von reellen Zahlen.
F¨
ur n ≤ 3 kann man sich diesem Raum leicht geometrisch veranschaulichen.
Die reellen Zahlen R stellt man sich als ‘Zahlengerade’ vor:
0
1
-
F¨
ur n = 2 identifiziert man R2 mit einer Ebene, in der man ein Koordinatensystem gew¨
ahlt hat, wie folgt. Zu einem Punkt P in der Ebene assoziert man
das Paar (x1 , x2 ) ∈ R2 , indem man von P aus das Lot auf beide Koordinatenachsen f¨
allt, welche man als Zahlengerade mit der Menge der reellen Zahlen
identifiziert.
6
x2
rP = (x1 , x2 )
x1
-
Wir nennen R2 deshalb auch die Euklidische Standardebene.
Analog verf¨
ahrt man mit R3 , das man mit dem dreidimensionalen Raum
mit drei Koordinatenachsen identifiziert. F¨
ur den Moment bleiben wir aber in
Dimension zwei.
Definition 1.4.2 Eine Gerade in der Standardebene R2 ist die L¨
osungsmenge
einer (nichttrivialen) linearen Gleichung,
L = { (x1 , x2 ) ∈ R2 | ax1 + bx2 = c }.
Hierbei sind a, b, c ∈ R und (a, b) 6= (0, 0).
24
Wir wollen im folgenden mit den Methoden des letzten Abschnittes illustrieren, dass der soeben definierte Begriff einer Geraden mit der geometrischen
Anschauung u
¨bereinstimmt.
Sei also L ⊂ R2 eine Gerade, gegeben durch die Gleichung
ax1 + bx2 = c.
Eine Gleichung ist auch ein Gleichungssystem, also k¨
onnen wir den GaussAlgorithmus anwenden. Der ist in diesem Fall so einfach, dass wir in einem
Schritt das Ergebnis angeben k¨
onnen. Allerdings ist eine Fallunterscheidung
notwendig. Ist a 6= 0, so erhalten wir die a
¨quivalente Gleichung
x1 =
b
c
− · x2 .
a a
Wir fassen also x2 als freie und x1 als gebundene Variable auf und erhalten die
Parametrisierung
c
b
∼
φ : R → L,
t 7→ ( − · t, t).
a a
∼
Die Umkehrabbildung φ−1 : L → R entspricht geometrisch der Projektion von
L auf die x2 -Achse. Wenn b 6= 0, so k¨
onnen wir auch so umformen:
x2 =
c a
− · x1 .
b
b
Die entsprechende Parametrisierung
∼
φ0 : R → L,
t 7→ (t,
c a
− · t)
b
b
entspricht der Projektion auf die x1 -Achse.
x2
6
(0, 1) r (−2, 0)
r
(2, 2) r
Figure 2: Die Gerade L : x1 − 2x2 = −2
25
x1
-
Der Fall a 6= 0, b 6= 0 ist ein Beispiel f¨
ur die Bemerkung 1.3.6: man kann
sowohl x1 als auch x2 als freien Parameter w¨
ahlen. Die Anzahl der freien Parameter ist aber in beiden F¨
allen 1. Dies entspricht der Vorstellung von einer
Geraden als ein ‘eindimensionales Objekt’.
Die Grenzf¨
alle a = 0 (bzw. b = 0) beschreiben eine Gerade, die parallel zur
x1 -Achse (bzw. parallel zur x2 -Achse) liegt. Es ist klar, dass in diesem Fall nur
x1 (bzw. x2 ) als freie Variable in Frage kommt.
Als Ergebnis der obigen Diskussion wollen wir folgendes festhalten.
Proposition 1.4.3 Eine Teilmenge L ⊂ R2 der Ebene ist genau dann eine
∼
Gerade, wenn es eine Bijektion φ : R → L gibt der Form
∼
φ : R → L,
t 7→ (u1 + v1 t, u2 + v2 t),
mit gewissen reellen Zahlen u1 , u2 , v1 , v2 ∈ R, wobei (v1 , v2 ) 6= (0, 0).
Beweis: Angenommen, L ⊂ R ist eine Gerade, also die L¨
osungsmenge einer
Gleichung der Form
ax1 + bx2 = c,
mit (a, b) 6= (0, 0). Die obige Diskussion zeigt: wenn a 6= 0, so existiert die
geforderte Parametrisierung φ, wobei
u1 :=
c
,
a
b
v1 := − ,
a
u2 := 0,
v2 := 1.
Wenn a = 0 so gilt zumindest b 6= 0, und wir k¨
onnen ebenfalls eine explizite
Parametrisierung φ0 angeben.
∼
Nehmen wir umgekehrt an, dass es eine Bijektion φ : R → L gibt, wobei
φ(t) = (u1 + v1 t, u2 + v2 t) und (v1 , v2 ) 6= 0. Wir setzen
a := v2 ,
b := −v1 ,
c := u1 v2 − u2 v1 ,
und wollen zeigen, dass L die L¨
osungsmenge der Gleichung ax1 + bx2 = c, also
eine Gerade ist. Mit anderen Worten: ein Punkt (x1 , x2 ) ∈ R2 ist genau dann
eine L¨
osung der Gleichung ax1 + bx2 = c, wenn es ein t ∈ R gibt mit
x1 = u1 + v1 t,
x2 = u2 + v2 t.
¨
Der Beweis dieser Aussage ist dem Leser als Ubungsaufgabe
u
¨berlassen.
2
∼
Eine Bijektion φ : R → L wie in Proposition 1.4.3 heißt eine Parametrisierung
oder eine Parameterdarstellung der Geraden L.
Jetzt wenden wir uns dem Problem zu, das Verh¨
altnis zweier Geraden zueinander zu studieren.
Proposition 1.4.4 Es seien L1 , L2 ⊂ R2 Geraden in der Ebene. Dann k¨
onnen
nur die folgenden drei F¨
alle eintreten.
26
(i) L1 = L2 ,
(ii) L1 und L2 schneiden sich in genau einem Punkt, oder
(iii) L1 und L2 schneiden sich in keinem Punkt.
Beweis: Die Geraden L1 , L2 sind nach Definition L¨
osungsmenge einer linearen Gleichung in den Unbestimmten x1 , x2 . Die Schnittmenge L1 ∩ L2 ist demnach die L¨
osungsmenge eines linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen:
a 1 x1 + b 1 x2 = c 1 ,
a 2 x1 + b 2 x2 = c 2 .
(22)
mit ai , bi , ci ∈ R und (ai , bi ) 6= (0, 0). Die erste Zeile von (22) entspricht der
Geraden L1 , die zweite Zeile der Geraden L2 .
Wir wenden nun auf (22) das Gauss-Verfahren an. Dabei ist eine Fallunterscheidung n¨
otig, z.B. a1 6= 0 oder b1 6= 0. Die beiden F¨
alle sind sich aber so
a
¨hnlich, dass die Betrachtung des ersten Falles a1 6= 0 hier gen¨
ugen soll.
Sei also a1 6= 0. Wendet man das Gauss’sche Eliminationsverfahren auf (22)
an, so erh¨
alt man nach zwei Schritten das a
¨quivalente Gleichungssystem
b1
c1
· x2 =
a1
a1
a 2 b1
a 2 c1
(b2 −
) · x2 = c 2 −
a1
a1
x1 +
(23)
(24)
An dieser Stelle ist eine erneute Fallunterscheidung n¨
otig.
Fall 1: a1 b2 = a2 b1 .
Die Gleichung (24) ist dann a
¨quivalent zu der Gleichung
a 1 c2 = a 2 c1 .
(25)
die gar nicht mehr von x1 , x2 abh¨
angt.
Fall 1 (a): a1 b2 = a2 b1 und a1 c2 = a2 c1 .
In diesem Fall verschwindet die Gleichung (24) vollst¨
andig, und es bleibt nur
die erste Gleichung u
¨brig. Geometrisch bedeutet das, dass die Schnittmenge
L1 ∩ L2 identisch mit der Geraden L1 ist, oder a
¨quivalent: L2 ⊂ L1 .
Unsere Anschauung sagt uns, dass eine Gerade nur dann Teilmenge einer
anderen Geraden sein kann, wenn beide Geraden gleich sind. Also sollte sogar
L1 = L2 gelten. Da wir uns aber nicht auf unsere Anschauung verlassen wollen,
m¨
ussen wir diese Aussage beweisen. Das geht z.B. so. Wenn a2 = 0 w¨
are, so
w¨
urde aus a1 b2 = a2 b1 und a1 6= 0 folgen, dass auch b2 = 0. Das widerspricht
aber der Annahme, dass die zweite Gleichung in (22) die Gerade L2 beschreibt
(siehe Definition 1.4.2). Also gilt a2 6= 0, und die reelle Zahl λ := a−1
1 a2 ist
ebenfalls von Null verschieden. Aus den beiden Gleichungen a1 b2 = a2 b1 und
a1 c2 = a2 c1 folgt nun, dass die zweite Gleichung in (22) das λ-fache der ersten
Gleichung ist. Also sind beide Gleichungen a
¨quivalent und es gilt L1 = L2 . Dies
ist Fall (i) in der Aussage von Proposition 1.4.4.
27
Fall 1 (b): a1 b2 = a2 b1 und a1 c2 6= a2 c1 .
In diesem Fall ist die Gleichung (24) unl¨
osbar. Das bedeutet, dass die Schnittmenge
L1 ∩ L2 die leere Menge ist und entspricht dem Fall (iii) aus Proposition 1.4.4.
Fall 2: a1 b2 6= a2 b1 .
In diesem Fall kann man das Gauss-Verfahren weiterf¨
uhren und erh¨
alt nach
einer kurzen Rechnung die eindeutige L¨
osung
x1 =
b2 c1 − b 1 c2
,
a 1 b2 − a 2 b1
x2 =
a 1 c2 − a 2 c1
.
a 1 b2 − a 2 b1
Insbesondere besteht die Schnittmenge L1 ∩ L2 aus genau einem Punkt, dessen
Koordinaten durch die obigen Gleichungen gegeben sind. Dies entspricht dem
Fall (ii) aus Proposition 1.4.4.
2
Definition 1.4.5 Zwei Geraden L1 , L2 in der Ebene heißen parallel, wenn entweder L1 = L2 gilt oder wenn sich L1 und L2 nicht schneiden (Fall (i) und (iii)
aus Proposition 1.4.4).
Der Beweis von Proposition 1.4.4 zeigt: die beiden Geraden
L 1 : a 1 x1 + b 1 x2 = c 1 ,
L 2 : a 2 x1 + b 2 x2 = c 2 ,
sind genau dann parallel, wenn die Gleichung
a 1 b2 = a 2 b1
erf¨
ullt ist. Ist dies der Fall, so kann man die Gleichung f¨
ur L2 durch Multiplikation mit einer von Null verschiedenen reellen Zahl in eine a
¨quivalente Gleichung
der Form
L2 : a1 x1 + b1 x2 = c02
umwandeln. Dieses Argument zeigt:
Bemerkung 1.4.6 Zwei Geraden
L 1 : a 1 x1 + b 1 x2 = c 1 ,
L 2 : a 2 x1 + b 2 x2 = c 2 ,
sind genau dann parallel, wenn die beiden zugeh¨
origen homogenen Gleichungssysteme a
¨quivalent sind:
a1 x1 + b1 x2 = 0 ⇔ a2 x1 + b2 x2 = 0.
Geometrisch k¨
onnen wir diese Bemerkung folgendermassen interpretieren.
Ist die Gerade L ⊂ R2 durch die Gleichung ax1 + bx2 = c gegeben, so ist die
L¨
osungsmenge L0 der assoziierten homogenen Gleichung,
L0 = {(x1 , x2 ) ∈ R2 | ax1 + bx2 = 0 },
die eindeutige zu L parallele Gerade, die den Nullpunkt (0, 0) enth¨
alt.
Wenden wir uns nun dem dreidimensionalen Raum R3 zu.
28
Definition 1.4.7 Eine Ebene im R3 ist die L¨
osungsmenge einer linearen Gleichung,
E = { (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | ax1 + bx2 + cx3 = d },
mit a, b, c, d ∈ R und (a, b, c) 6= (0, 0, 0).
Wie im Fall der Geraden sieht man leicht ein, dass jede Ebene E ⊂ R3 eine
Parametrisierung
∼
φ : R2 → E
mit zwei Parametern besitzt. Dies entspricht unserem Verst¨
andnis von einer
Ebene als einem zweidimensionalen Objekt.
Definition 1.4.8 (i) Zwei Ebenen E1 , E2 heißen parallel wenn entweder E1 =
E2 oder E1 ∩ E2 = ∅ gilt.
(ii) Eine Teilmenge L ⊂ R3 heißt Gerade, wenn sie Schnittmenge zweier nichtparalleler Ebenen ist.
Mit anderen Worten: eine Gerade L ⊂ R3 ist L¨
osungsmenge eines linearen Gleichungssystems mit drei Unbestimmten und zwei ’voneinander unabh¨
angigen’ Gleichungen, d.h.
a 1 x1 + b 1 x2 + c 1 x3
= d1 ,
a 2 x1 + b 2 x2 + c 2 x3
= d2 ,
wobei ai , bi , ci , di ∈ R, (ai , bi , ci ) 6= (0, 0, 0) die Eigenschaft haben, dass es keine
λ ∈ R gibt mit
a2 = λa1 , b2 = λb1 , c2 = λc1 .
Wendet man auf so eine Gleichungssystem den Gauss-Algorithmus an, so erh¨
alt
man eine Parametrisierung der Geraden L mit genau einem freien Parameter,
∼
φ : R → L.
Dies entspricht wieder unserer Anschauung von einer Geraden als einem eindimensionalen Objekt.
Nach diesen Betrachtungen in Dimension zwei und drei k¨
onnen wir nun eine
allgemeine Definition wagen.
Definition 1.4.9 Sei n ∈ N. Eine nichtleere Teilmenge H ⊂ Rn des n-dimensionalen Standardraumes heißt linearer Unterraum, wenn sie L¨
osungsmenge
eines linearen Gleichungssystems ist, also
H = { x ∈ Rn | A · x = b },
mit A ∈ Mm,n (R) und b ∈ Rm .
Die Dimension eines linearen Unterraumes H ⊂ Rn ist die Anzahl s der
freien Parameter einer Parametrisierung,
∼
φ : Rs → H,
29
wie man sie durch Anwenden des Gauss-Algorithmus auf das Gleichungssystem
A · x = b erh¨
alt.
Ein linearer Unterraum der Dimension eins heißt Gerade, ein linearer Unterraum der Dimension zwei heißt Ebene.
Offenbar enth¨
alt diese Definition die Definitionen 1.4.2, 1.4.7 und 1.4.8 (ii)
als Spezialfall. Trotzdem gibt es eine Menge auszusetzen.
Ein erster Kritikpunkt ist, dass wir die Wohldefiniertheit der Dimension
eines linearen Unterraumes noch nicht u
¨berpr¨
uft haben. Schliesslich ist die
∼
Parametrisierung φ : Rs → H nicht eindeutig durch die Teilmenge H ⊂ Rn
bestimmt. Sie h¨
angt unter anderem von der Wahl des Gleichungssystems A·x =
b und von den bei der Durchf¨
uhrung des Gauss-Algorithmus vorgenommenen
Zeilenumformungen ab. Es ist eine nichttriviale und sehr wichtige Tatsache, dass
die Zahl der freien Parameter aber nur von H ⊂ Rn abh¨
angt (vgl. Bemerkung
1.3.6).
Eine weitere Unzul¨
anglichkeit der Definition 1.4.9 besteht darin, dass sie
den Begriff des linearen Unterraumes nicht durch geometrische Eigenschaften
charakterisiert. Stattdessen wird die Existenz eines linearen Gleichungssystems
gefordert, f¨
ur welches es aber keinerlei nat¨
urlichen Kandidaten gibt. Denkt man
z.B. an den oben besprochenen Fall einer Geraden im R3 , so ist anschaulich klar,
dass es unendlich viele M¨
oglichkeiten gibt, eine Gerade als Schnittmenge zweier
Ebenen darzustellen. Eine bestimmte Auswahl solcher Ebenen zu treffen ist
aber eher unnat¨
urlich.
Im Folgenden wollen wir eine geometrische Charakterisierung von linearen
Unterr¨
aumen durch Vektoren entwickeln und damit den allgemeinen Begriff des
Vektorraumes, den wir im n¨
achsten Kapitel behandeln werden, vorbereiten und
motivieren.
Der Vektorbegriff
Um den geometrischen Begriff Vektor klar zu fassen, ist es zun¨
achst hilfreich,
streng zwischen Punkten und Vektoren zu unterscheiden (diese Unterscheidung
werden wir aber sehr bald wieder aufgeben). Wir gehen also von einem gegebenen Raum aus, dessen Elemente Punkte sind, die wir mit P, Q usw. bezeichnen.
Wir gehen ebenfalls davon aus, dass in unserem Raum die Gesetze der euklidischen Geometrie gelten. Die Beziehung zwischen Punkten und Vektoren ist
dann folgende:
• Zwei Punkte P, Q legen einen Vektor fest. Schreibweise:
x := P~Q.
Man kann sich den Vektor x = P~Q als einen Pfeil mit Anfangspunkt P
und Endpunkt Q vorstellen.
• Ist ein Punkt P und eine Vektor x gegeben, so gibt es genau einen Punkt
Q mit der Eigenschaft x = P~Q.
30
Q
r
3
XXXX
XX
x
XXr
3
0
Q
P r
X
XX X
XXX
x
Xr
P0
Figure 3:
• Zwei Punktepaare (P, Q) und (P 0 , Q0 ) definieren denselben Vektor, also
P~Q = P ~0 Q0 ,
wenn der Pfeil von P nach Q mit dem Pfeil von P 0 nach Q0 durch eine
Parallelverschiebung in Deckung gebracht werden kann.
Sind z.B. drei paarweise verschiedene Punkte P, P 0 , Q gegeben, die nicht alle
auf einer Geraden liegen, und setzt man x := P~Q, so gibt es nach der zweiten
Regel einen vierten Punkt Q0 mit x = P ~0 Q0 . Die Strecken P Q und P 0 Q0 bilden
dann gegen¨
uberliegende Kanten eines Parallelogramms, siehe Bild 1.4.
Aus den geometrischen Eigenschaften von Vektoren ergeben sich zwei Operationen, die Vektoraddition und die Multiplikation mit einem Skalar. Sind
zwei Vektoren x, y gegeben, so kann man einen dritten Vektor, z = x + y, folgendermassen definieren. Man w¨
ahlt einen beliebigen Punkt P . Dann gibt es
einen eindeutigen Punkt Q so dass x = P~Q. Weiterhin gibt es einen eindeuti~ Wir definieren jetzt die Vektoraddition von x und y
gen Punkt R mit y = QR.
durch die Vorschrift
x + y := P~R.
Man kann mit rein geometrischen Argumenten zeigen, dass die so definierte
Vektoraddition eine assoziative und kommutative Verkn¨
upfung auf der Menge
aller Vektoren definiert. Darauf wollen wir hier aber verzichten.
Wir definieren den Nullvektor durch die Vorschrift 0 := P~P (die Wahl des
Punktes P spielt hierbei keine Rolle). Es ist klar, dass 0 ein neutrales Element
bzgl. der Vektoraddition ist, und dass jeder Vektor ein inverses Element −x
~ .
besitzt: f¨
ur x = P~Q gilt −x = QP
Eine formale Begr¨
undung der Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
(i.e. einer reellen Zahl) durch rein geometrische Argumente ist viel schwieriger.
Wir begn¨
ugen uns mit der folgenden Pseudodefinition. Ist x ein Vektor und
t > 0 eine positive relle Zahl, so definieren wir den Vektor t · x als den Vektor,
der dieselbe ‘Richtung’ wie x hat, dessen ‘L¨
ange’ aber das t-fache der ‘L¨
ange’
von x ist. Ist t < 0 so setzen wir t · x := −|t| · x, und f¨
ur t = 0 setzen wir
0 · x := 0.
31
E
P r
3
x
HH
HH
O
H
r
H
H
H
HH
j
H
Hr H
yH
Q H
H
z
R = φ(t1 , t2 )
:r
Figure 4:
Jetzt haben wir gen¨
ugend Hilfsmittel zur Hand, um den Begriff des linearen
Unterraumes neu zu begr¨
unden. Dazu betrachten wir das folgende Beispiel. Es
seien drei paarweise verschieden Punkte O, P, Q gegeben, die nicht alle auf einer
Geraden liegen. Unsere geometrische Anschauung sagt uns, dass O, P, Q eine
Ebene E aufspannen. Wie k¨
onnen wir die Menge aller Punkte von E aus den
drei gegebenen Punkten gewinnen?
~ und y := OQ
~ und betrachten die Menge aller Vektoren
Wir setzen x := OP
z der Form
z := t1 · x + t2 · y,
wobei t1 , t2 beliebige reelle Zahlen sind. Wir nennen z eine Linearkombination
der Vektoren x und y. Legt man als Anfangspunkt des Vektors z den Punkt O
~
fest und nennt den Endpunkt R (d.h. z = OR),
so ist anschaulich klar:
• der durch (t1 , t2 ) definierte Punkt R liegt auf der Ebene E, und
• jeder Punkt der Ebene E ist auf eindeutige Weise einem Paar (t1 , t2 )
zugeordnet.
Mit anderen Worten: wir haben eine Bijektion
∼
φ : R2 → E,
(t1 , t2 ) 7→ R,
~ = z = t1 · x + t2 · y. Die Bijektion φ nennen wir eine Parametrisierung
wobei OR
der Ebene E. Anschaulich gesprochen haben wir die Ebene E mit einem Koordinatensystem versehen, das uns erlaubt, Punkte mit Zahlenpaaren zu identifizieren. Vergleiche mit dem Bild der Euklidischen Standardebene auf Seite 24.
Aber im Unterschied zu dort stehen die Koordinatenachsen hier im allgemeinen
nicht senkrecht aufeinander.
Der Standardvektorraum
Der n¨
achste Schritt ist nun, den soeben entwickelten, auf geometrischer Anschauung basierenden Vektorbegriff durch eine algebraisches Modell zu realisieren, das mit der vorhergehenden Definition des Euklidischen Standardraumes
kompatibel ist.
32
Definition 1.4.10 Der reelle Standardvektorraum der Dimension n ist die Menge
Rn , zusammen mit den folgenden Verkn¨
upfungen:
• die Vektoraddition
Rn × R n → R n ,
definiert durch
(x, y) 7→ x + y,
x1
y1
x1 + y 1
.. ..
..
. + . :=
.
.
xn
yn
xn + y n
• die Multiplikation mit einem Skalar
R × R n → Rn ,
definiert durch
(t, x) 7→ t · x,
tx1
x1
..
..
t · . := . .
xn
txn
Der Vektor 0 := (0, . . . , 0) ∈ Rn heißt der Nullvektor.
Der Bezug zur Definition des Euklidischen Standardraumes (Definition 1.4.2)
ist folgender. Zu zwei Punkt P = (p1 , . . . , pn ), Q = (q1 , . . . , qn ) ∈ Rn ist der
zugeh¨
orige Vektor definiert durch
P~Q := (q1 − p1 , . . . , qn − pn ).
Wenn wir den Punkt O = (0, . . . , 0) ∈ Rn als Ursprungspunkt w¨
ahlen, so k¨
onnen
~ = (p1 , . . . , pn ) identiwir einen Punkt P = (p1 , . . . , pn ) mit dem Vektor OP
fizieren. Das werden wir im Folgenden auch immer tun. Man sollte aber nicht
vergessen, dass dieser Identifizierung die willk¨
urliche Auswahl eines Ursprungs
zugrundeliegt.
Bemerkung 1.4.11 (i) Die Vektoraddition + auf Rn ist eine assoziative und
kommutative Verkn¨
upfung.
(ii) Der Nullvektor 0 ∈ Rn ist das neutrale Element bzgl. der Vektoraddition.
(iii) Jeder Vektor x ∈ Rn besitzt ein inverses Element bzgl. der Addition, und
zwar
−x := (−1) · x.
(iv) Es gilt das folgende Distributivgesetz6 :
t · (x + y) = t · x + t · y
f¨
ur alle x, y ∈ R, t ∈ R.
6 Die
Regel Punktrechnung vor Strichrechnung benutzen wir stillschweigend
33
(v) Ist A ∈ Mm,n (R), x, y ∈ Rn und t ∈ R, so gilt:
A · (x + y) = A · x + A · y,
A · (t · x) = t · (A · x).
Diese Regeln ergeben sich unmittelbar aus den entsprechenden Regeln f¨
ur
das Rechnen mit reellen Zahlen. Nur die Regel (v) verdient eine ausf¨
uhrlichere
Begr¨
undung. Schreibe A = (ai,j ), x = (xj ), y = (yj ) (der Index i l¨
auft u
¨ber die
Menge {1, . . . , m}, und j l¨
auft u
¨ber {1, . . . , n}. Nach Definition der Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor haben wir
A · (x + y) =
=
n
X
j=1
n
X
ai,j (xj + yj )
ai,j xj +
j=1
n
X
i=1,...,m
ai,j yj
j=1
= A · x + a · y.
i=1,...,m
¨
Man beachte, dass wir bei Ubergang
von der ersten zur zweiten Zeile das
Assoziativ-, das Kommutativ- und das Distributivgesetz der reellen Zahlen jeweils mehrfach benutzt haben. Genauso zeigt man
A · (t · x) =
=
n
X
ai,j txj
j=1
n
X
t·
ai,j xj
j=1
i=1,...,m
i=1,...,m
= t · (A · x).
Damit ist die Regel (v) bewiesen.
Definition 1.4.12 Eine Teilmenge V ⊂ Rn heißt Untervektorraum, wenn folgendes gilt:
(i) V ist nichtleer,
(ii) mit x, y ∈ V liegt auch der Vektor x + y in V , und
(iii) mit x ∈ V liegt auch t · x in V , f¨
ur alle t ∈ R.
Aus dieser Definition folgt sofort, dass ein Untervektorraum immer den Nullvektor enth¨
alt.
Satz 1.4.13 F¨
ur V ⊂ Rn sind die folgenden Bedingungen a
¨quivalent.
(a) V ist ein Untervektorraum.
(b) V ist ein linearer Unterraum (Definition 1.4.9) und enth¨
alt den Nullvektor.
34
(c) V ist L¨
osungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems, d.h.
V = { x ∈ Rn | A · x = 0 }
f¨
ur eine Matrix A ∈ Mm,n (R).
Beweis: Ist V die L¨
osungsmenge des Gleichungssystems A · x = 0, so ist V
insbesondere ein linearer Unterraum, nach Definition 1.4.9. Zus¨
atzlich gilt aber
auch 0 ∈ V , wegen A · 0 = 07 . Also impliziert Aussage (c) die Aussage (b).
Sei umgekehrt V ein linearer Unterraum, der den Nullvektor enth¨
alt. Dann
ist V die L¨
osungsmenge eines linearen Gleichungssystems A · x = b. Wegen
0 ∈ V gilt dann aber b = A · 0 = 0. Die Aussage (b) impliziert deshalb auch die
Aussage (c). Insgesamt sind (b) und (c) a
¨quivalent.
Wir zeigen nun noch die Implikation (c) ⇒ (a). Angenommen, V ist L¨
osungsmenge des Gleichungssystems A · x = 0. Wegen A · 0 = 0 gilt dann 0 ∈ V .
Insbesondere ist die Bedingung (i) der Definition 1.4.12 erf¨
ullt. Sind x, y ∈ V
zwei Elemente von V so gilt nach Annahme A · x = A · y = 0. Unter Ausnutzung
der Regel (v) der Bemerkung 1.4.11 erhalten wir demnach
A · (x + y) = A · x + A · y = 0 + 0 = 0,
d.h. x + y ∈ V , und die Bedingung (ii) der Definition 1.4.12 ist auch gezeigt.
Die Bedingung (iii) zeigt man mit der gleichen Methode: ist x ∈ V und t ∈ R,
so gilt
A · (t · x) = t · (A · x) = t · 0 = 0,
d.h. t · x ∈ V . Damit ist die Implikation (c) ⇒ (a) bewiesen.
Den Beweis der Implikation (a) ⇒ (c) werden wir sp¨
ater nachholen.
2
Korollar 1.4.14 F¨
ur eine Teilmenge H ⊂ Rn sind die folgenden Bedingungen
a
¨quivalent:
(a) H ist ein linearer Unterraum.
(b) Es gibt einen Untervektorraum V ⊂ Rn und einen Vektor x ∈ H so, dass
H = x + V := { x + y | y ∈ V }.
Zusatz: wenn H ein linearer Unterraum ist, so ist der Untervektorraum V in
(b) eindeutig bestimmt durch
V = { x − y | x, y ∈ H },
und die Gleichheit H = x + V gilt f¨
ur alle x ∈ H.
7 Man beachte, dass hier das Symbol 0 zwei verschiedene Bedeutungen hat: den Nullvektor
in Rn und den Nullvektor in Rm
35
Der dem linearen Unterraum eindeutig zugeordnete Untervektorraum V
heißt der Raum der Richtungsvektoren von H.
Beweis: Angenommen, H ist ein linearer Unterraum, also L¨
osungsmenge
eines linearen Gleichungssystems,
H = { x | A · x = b },
mit A ∈ Mm,n (R) und b ∈ Rm . Wir definieren die Teilmenge V ⊂ Rn als die
L¨
osungsmenge des zugeh¨
origen homogenen Gleichungssystems:
V := { x | A · x = 0 }.
Nach Satz 1.4.13 ist V ein Untervektorraum. Außerdem ist H nichtleer. Wir
k¨
onnen also ein Element x ∈ H w¨
ahlen. Wir wollen nun zeigen, dass dann
H = x + V gilt. Oder anders gesagt: ein Vektor z ∈ Rn liegt genau dann in H,
wenn es ein y ∈ V gibt mit z = x + y.
Der gesuchte Vektor y ist notwendigerweise gegeben durch die Vorschrift
y := z − x. Aus x ∈ H folgt nun:
A · z = A · (x + y) = A · x + A · y = b + A · y.
(26)
¨
Aus dieser Gleichung folgt sofort die Aquivalenz
A·z =b
⇔
A · y = 0.
(27)
Mit anderen Worten: z = x+y liegt genau dann in H, wenn y in V liegt. Damit
haben wir die Implikation (a) ⇒ (b) bewiesen.
Sei umgekehrt H ⊂ Rn eine Teilmenge der Form H = x + V , wobei x ∈ Rn
und V ⊂ Rn ein Untervektorraum ist. Nach Satz 1.4.13 ist dann V L¨
osungsmenge
eines homogenen linearen Gleichungssystems, d.h.
V = { y | A · y = 0 },
mit A ∈ Mm,n (R). Setze b := A · x ∈ Rm . Wir m¨
ussen nun zeigen, dass
H = {z | A · z = b }
gilt. Dazu sei z ∈ Rn ein beliebiger Vektor. Nach Annahme liegt z in H genau
dann, wenn y := z − x in V liegt. Aus der Rechnung (26) folgt aber genau wie
¨
oben die Aquivalenz
(27). Wir schließen, dass z ∈ H a
¨quivalent ist zu A · z = b.
Damit ist auch die Implikation (b) ⇒ (a) bewiesen.
Eine nachtr¨
agliche Analyse des obigen Beweises zeigt, dass wir nicht nur
¨
die Aquivalenz
(a) ⇔ (b), sondern auch die Zusatzbehauptung des Korollars
bewiesen haben. Die Details m¨
oge sich der Leser selber u
¨berlegen.
2
Beispiel 1.4.15 Es sei E ⊂ R3 die durch die folgende lineare Gleichung definierte
Ebene im dreidimensionalen Standardraum:
E:
x1 + 2x2 − x3 = 5.
36
Der Raum der Richtungsvektoren von E ist dann die L¨
osungsmenge V ⊂ R3
der homogenen Gleichung
V :
x1 + 2x2 − x3 = 0.
Der Gauss-Algorithmus liefert in einem Rechenschritt die Parametrisierung
∼
φ : R2 → E,
φ(t1 , t2 ) := (5 − 2t1 + t2 , t1 , t2 ).
In Vektorschreibweise sieht diese Parametrisierung so aus:
5
−2
1
φ(t1 , t2 ) = 0 + t1 · 1 + t2 · 0 .
0
0
1
Setzt man
5
x := 0 ,
0
−2
y1 := 1 ,
0
1
y2 := 0 ,
1
so ist offenbar x ∈ E und y1 , y2 ∈ V . Da V ein Untervektorraum ist, liegt aber
auch jede Linearkombination
−2t1 + t2
t1
y := t1 · y1 + t2 · y2 =
t2
in V . Mit y ∈ V liegt dann der Vektor z := x + y in der Ebene E.
Die Grundstruktur der Parametrisierung eines linearen Unterraumes sieht
also so aus:
allgemeine L¨
osung des LGS = spezielle L¨
osung x
+ allgemeine L¨
osung y des homogenen LGS.
Die Anzahl der Parameter s entspricht dabei der Anzahl der Vektoren aus
V , die mindestens n¨
otig sind, um jeden Vektor aus V als Linearkombination
darzustellen:
y = t 1 y1 + . . . + t s ys .
Sie entspricht der Dimension des Vektorraumes V .
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