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Übungen zur Vorlesung Elementargeometrie“
”
SS 2016
A. Rincón, A. Schmitt
Übungsblatt 10
Abgabe: Bis Dienstag, den 05.07.2016, 14Uhr
Aufgabe 1 (Stufenwinkel; 2+4+4 Punkte).
Es seien (E, G, d, w) eine neutrale Geometrie und h, g1 , g2 ∈ G Geraden, so dass g1
bzw. g2 die Gerade h im Punkt P1 bzw. P2 schneidet. Dabei gelte P1 6= P2 . Es seien
weiter Punkte P3 ∈ h und Qi ∈ gi \ {Pi }, i = 1, 2, gegeben, so dass
• P1 ∗ P2 ∗ P3 oder P3 ∗ P1 ∗ P2 ,
• Q1 und Q2 auf derselben Seite von h liegen.
In diesem Fall nennen wir ∠Q1 P1 P3 und ∠Q2 P2 P3 Stufenwinkel.
a) Erläutern Sie den Begriff des Stufenwinkels mit einer Skizze. Wie würden Sie Wechselwinkel definieren?
b) Es gelte w(∠Q1 P1 P3 ) = w(∠Q2 P2 P3 ). Beweisen Sie, dass g1 und g2 parallel sind.
c) Es gelte das euklidische Parallelenaxiom, und g1 und g2 seien parallel. Zeigen Sie
w(∠Q1 P1 P3 ) = w(∠Q2 P2 P3 ).
Aufgabe 2 (Vielecke; 5+5+2+3 Punkte).
Es sei P ⊂ E ein konvexes n-Eck mit Ecken A1 , ..., An . Wir setzen
←−−→
Oi := OHE(Ai Ai+1 , Ai+2 ),
←−−−→
On−1 := OHE(An−1 An , A1 )
und
Das Innere von P ist
Int(P) :=
n
\
i = 1, ..., n − 2,
←−→
On := OHE(A1 An , A2 ).
Oi .
i=1
a) Weisen Sie nach, dass für 1 < i < j < k ≤ n die Relation
−−→ −−→ −−→
A1 Ai ∗ A1 A j ∗ A1 Ak
erfüllt ist.
b) Beweisen Sie Int(P) := Q ∈ E | ∃B1 , B2 ∈ P : B1 ∗ Q ∗ B2 .
c) Zeigen Sie, dass A1 , ..., An die Extremalpunkte von P sind.1
d) Zeigen Sie, dass P ∪ Int(T ) konvex ist und dass jede konvexe Teilmenge K ⊂ E, die
P enthält, auch Int(P) enthält.2
Aufgabe 3 (Der Satz von Desargues; 15 Punkte).
Wir betrachten R2 mit der Menge G der Moulton-Geraden (Blatt 3, Aufgabe 3, a, b).
Zeigen Sie, dass der Satz von Desargues in der Moulton-Ebene“ nicht gilt.3
”
Hinweis. Man verschiebe die Desargues-Konfiguration so aus dem Standardbereich“
”
in den geknickten Bereich“, dass nur die letzte Dreiecksseite dort liegt.
”
1 Dies
gilt i.A. nicht, wenn das Polygon P nicht konvex ist.
ist P ∪ Int(P) die kleinste konvexe Teilmenge von E, die P enthält, die sogenannte konvexe
2 Damit
Hülle.
3 Zu diesem Zweck wurde die Moulton-Ebene erfunden.

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