Norm (oder Betrag) eines Vektors im R Beispiele Anwendung

Norm (oder Betrag) eines Vektors im Rn
entspricht der Länge
des
Vektorpfeils.
Im
x1 p
2
2
R2 : kxk = x2 = x1 + x2
nach Pythagoras.
Rn :
p
kxk = x12 + x22 + ... + xn2 .
Allgemein im
Beispiele
1 √
1 = 2,
3 −4 = 5,
 
 1 
−2 = 3,
2  
1   √
 2 
 3  = 30.
4 Anwendung
Den Abstand zweier Punkte
Verbindungsvektors
A
und
B
erhält man als Norm des
B − A.
skvprod.pdf, Seite 1
Eigenschaften der Norm
x, y ∈ Rn und a ∈ R gilt
I k0k = 0 und kxk > 0, falls x 6= 0 (Positivität),
I ka · xk = |a| · kxk (Homogenität),
I kx + y k ≤ kxk + ky k (Dreiecksungleichung)
Für
Einheitsvektor = Vektor mit Norm 1
Ist
x 6= 0
beliebig, so ist
x
kxk
1
=
kxk
·x
ein Einheitsvektor.
Beispiele für Einheitsvektoren
 
0
 1 ,
0
 
2
1 
3 2
1
2/3
 2/3 ,
1/3

=

Spezielle Einheitsvektoren im
e1
= (1; 0; 0),
e2
= (0; 1; 0),
2
1
−1
R3
sind:
√1
e3

1
 −2 


√1  3 .


55
 −4 
5

und
= (0; 0; 1),
analog im
Rn .
skvprod.pdf, Seite 2
Das Skalarprodukt im Rn
ordnet zwei Vektoren
hx, y i = ~x · ~y =
x, y ∈ Rn
Pn
i=1 xi yi
einen Skalar
hx, y i ∈ R
zu:
= x1 · y1 + x2 · y2 + ... + xn · yn ∈ R
Beispiele
I
I
1
3
, 4
= 1 · 3 + 2 · 4 = 3 + 8 = 11
2
3
3
, −4
= 3 · 3 − 4 · (−4) = 32 + 42 = 25
−4
* 1   4 +
I
 2   −3 

 

 −3 ,  −2 
−4
1
= 1 · 4 + 2 · (−3) − 3 · (−2) − 4 · 1 = 0.
skvprod.pdf, Seite 3
Eigenschaften des Skalarprodukts
I
I
I
I
hx, xi =px12 + ... + xn2 = kxk2 ≥ 0 bzw.
kxk = hx, xi,
hy , xi = hx, y i (Symmetrie),
ha · x, y i = a · hx, y i für Skalare a ∈ R und
hx + z, y i = hx, y i + hz, y i sowie
hx, y + zi = hx, y i + hx, zi für x, y , z ∈ Rn (Bilinearität),
hx, y i = kxk · ky k · cos ^(x, y ),
wobei ^(x, y ) für den Winkel zwischen x und y und cos
für die Cosinusfunktion steht,
x⊥y (x senkrecht y ) ⇔ hx, y i = 0 und
|hx, y i| ≤ kxk · ky k (CauchySchwarzUngleichung)
I insbesondere
I
skvprod.pdf, Seite 4

1
 2 ,
−1
 
0
 2 ,
1

Beispiel x =
Es ist
und
kxk =
√
ky k =
6,
√
kzk =
5,
z=
√
14
hx, y i = 1 · 0 + 2 · 2 + (−1) · 1 = 3, hx, zi = −1
sowie
hy , zi = 0.
*
hx, y + zi =
Da
y=

3
 −1 
2

hy , zi = 0,
Aus der Bilinearität folgt z. B.
  +
1
3
 2 ,  1 
−1
3
stehen
Für den Winkel
α
y
und
zwischen
z
x
= hx, y i + hx, zi = 3 − 1 = 2.
senkrecht aufeinander.
und
y
gilt
p
3
hx, y i
= √ √ = 0, 3 ≈ 0, 5477
kxk · ky k
6·
5
⇒ α = arccos 0, 5477 = 56, 8o = 0, 991 rad, wobei arccos
(Arcuscosinus) die Umkehrfunktion des Cosinus bezeichnet.
cos α
=
skvprod.pdf, Seite 5
Geometrische Anwendungen
R2
C = (2; 0).
Beispiel: Gegeben sei das Dreieck im
A = (−1; 1), B = (2; 3)
Die Seite
AB
und
AC wird
√ durch y = (3; −1)
ky k = 10.
α
x√
= B − A = (3; 2)
kxk = 13.
wird durch den Vektor
beschrieben und hat die Länge
Der Winkel
mit den Eckpunkten
beschrieben und hat die Länge
zwischen diesen beiden Seiten kann berechnet
werden durch
hx, y i = kxk · ky k · cos α ⇔
cos α
=
hx, y i
7
=√
≈ 0, 614 ⇒ α ≈ 52, 1o = 0, 91
kxk · ky k
130
rad
Analog erhält man für die Seite BC die Länge 3 und die
o
o
Winkel β ≈ 56, 3 und γ ≈ 71, 6 .
skvprod.pdf, Seite 6
Parameterdarstellung von Geraden im R2 und R3
Zu Vektoren
t∈R
x
und
v
ist die Menge aller Punkte
Jede Gerade
g
mit
x der Ortsvektor
Richtungsvektor v
lässt sich so darstellen, wobei
eines beliebigen Punktes auf
zwei Punkte auf
Diese
x +t ·v
eine Gerade.
g
g
ist und der
verbindet.
Parameterdarstellung
ist nicht eindeutig.
skvprod.pdf, Seite 7
Beispiel
Gesucht ist eine
der Geraden
Parameterdarstellung
Punkte
1
2
A=
und
−1
1
B=
Als Ortsvektor kann (zum Beispiel)
im
1
−1
−
2
1
=
R
g
durch die
.
x =B =
werden, als Richtungsvektor
v =A−B =
2
−1
1
gewählt
2
.
1
Somit ist
g=
−1
1
+t
2
· 1
−1
2
:t∈R =
+R· 1 .
1
eine (von vielen möglichen) Parameterdarstellung der Geraden.
skvprod.pdf, Seite 8
Gerade g = x + R · v
skvprod.pdf, Seite 9
Anwendung der Parameterdarstellung
Berechnung von Schnittpunkten, Schnittwinkeln, Projektionen etc.
Im Beispiel muss für den Schnittpunkt von
g
mit der
x1 Achse
−1 + 2t
1+t
gelten:
x1
0
=
−1
1
Aus der Gleichung für die
0
+t ·
2
1
=
x2 Koordinate
folgt
= 1 + t ⇔ t = −1.
Eingesetzt in die Gleichung für die
x1 Koordinate
ergibt sich
nun
x1 = −1 + 2 · (−1) = −3,
d. h.
g
schneidet die 1. Koordinatenachse im Punkt
−3
0
.
skvprod.pdf, Seite 10
Beispiel: Schnittwinkel zweier Geraden
Seien
A = (1; 1; 2), B = (2; −1; 3)
Die Gerade
g
durch
A
und
B
und
C = (0; −2; 2) ∈ R3 .
hat die Parameterdarstellung
g = {(1; 1; 2)+t ·(1; −2; 1) : t ∈ R} = (1; 1; 2)+R·(1; −2; 1),
h = (1; 1; 2) + R · (−1; −3; 0)
stellt die Gerade durch
A
und
C
dar.
Der Schnittwinkel
α
der beiden Geraden ist der Winkel
zwischen den Richtungsvektoren und wird bestimmt durch:
cos α
=
h(1; −2; 1), (−1; −3; 0)i
5
= √ ⇒ α = 49, 8o
k(1; −2; 1)k · k(−1; −3; 0)k
60
skvprod.pdf, Seite 11
Bemerkung
Beim Schnitt zweier Geraden tritt neben dem Winkel α auch
immer der
β = 180o − α auf, wobei gilt
cos β
Supplementwinkel
= − cos α. Der Winkel zwischen
zwei Richtungsvektoren
ist je nach Wahl der Richtungsvektoren entweder
α
oder
β.
Standardmäÿig wird der kleinere der beiden Winkel als
Schnittwinkel der Geraden deniert. Diesen erhält man für
beliebige Richtungsvektoren
cos α
=
v
und
w
durch
|hv ,w i|
.
kv k·kw k
skvprod.pdf, Seite 12
Orthogonale Projektion
x, v ∈ Rn
orthogonale Projektion
Zu Vektoren
v=
6 0 deniert man die
von x in Richtung von v durch
mit
πv (x) = x|| =
hx, v i
·v
hv , v i
Beispiel
und
v=
hx, v i = 4 − 1 = 3
hv , v i = 1 + 1 = 2
und
Mit
x=
4
1
πv (x) =
3
2
·v =
3
2
·
1
−1
ist
und somit
1
−1
=
1, 5
−1, 5
Spezialfall
Ist e ein Einheitsvektor (d. h.
πe (x) = hx, ei · e
kek = 1),
so ist
skvprod.pdf, Seite 13
Eigenschaften der orthogonalen Projektion
Ist
hx, v i > 0,
v,
seine Länge ist
kπv (x)k =
wobei
Ist
α
so zeigt der Vektor
hx,v i
kv k
x|| = πv (x)
in Richtung von
= kxk · cos α,
der Winkel zwischen
x
und
v
ist.
hx, v i < 0, so zeigt πv (x) in die entgegengesetzte
v , die Länge ist ebenfalls kxk · | cos α|.
Richtung
von
Ist
ist
hx, v i = 0, d. h. x und v stehen
πv (x) = 0 der Nullvektor.
Insbesondere hängt
von der Länge von
πv (x)
v ab.
senkrecht aufeinander, so
nur von der Richtung, nicht jedoch
skvprod.pdf, Seite 14
Orthogonale Zerlegung
x|| = πv (x), so steht der Vektor x⊥ = x − x|| senkrecht auf
v und damit auch auf x|| , d. h. man hat eine Zerlegung
x = x|| + x⊥ , wobei x|| ein skalares Vielfaches von v ist und x⊥
senkrecht auf v steht.
Ist
4
1
und
v
=
1
−1
1, 5
2, 5
folgt x⊥ = x − x|| =
.
−1, 5
2, 5
Beispiel x =
Mit
x|| =
skvprod.pdf, Seite 15
Anwendung: Abstand PunktGerade
A ∈ Rn und
einen Vektor y⊥
senkrecht auf g steht.
Die kürzeste Verbindung zwischen einem Punkt
g = x + R · v ist ist durch
der A mit g verbindet und der
einer Gerade
gegeben,
Man erhält
y⊥ ,
indem man zu einem beliebigen
y = x − A,
den auf dem Richtungsvektor v der Geraden
Anteil y⊥ = y − πv (y ) bestimmt.
Verbindungsvektor
y,
z. B.
senkrechten
skvprod.pdf, Seite 16
Beispiel
Abstand des Punktes
A=
−1
1
Punkte
und
.
1
2
−1
2
g=
+R· 1 ,
1
2
3
zur Geraden
g
durch die
−3
−2
Man erhält
y=
−1
1
−A=
,
π(2;1) (y ) =
⇒ y⊥ =
−3
−2
−3
2
, 1
−2
· 2
1
2
2
,
1
1
−
−3, 2
−1, 6
=
0, 2
−0, 4
−8 2 −3, 2 =
· 1 = −1, 6
5
.
Der Abstand zwischen Punkt und Gerade ist
ky⊥ k =
√
0, 2
≈ 0, 45.
skvprod.pdf, Seite 17
Skalarprodukte in allgemeinen Vektorräumen
Sei
V
Vektorraum über
Ein Skalarprodukt auf
V
R.
ist eine Abbildung
V × V → R, (x, y ) 7→ hx, y i
mit den Eigenschaften
(1)
(2)
hx, y i = hy , xi (symmetrisch),
hax, y i = a hx, y i und hx + z, y i = hx, y i + hz, y i
x, y , z ∈ V und a ∈ R (bilinear) und
hx, xi > 0 für alle x 6= 0 (positiv denit).
für
(3)
skvprod.pdf, Seite 18
Beispiele
hx, y i = x T y im Rn
Durch hx, y i = 2x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + x2 y2 ist ein
2
alternatives Skalarprodukt auf dem R deniert.
Rb
hf , g i = a f (x) · g (x)dx deniert ein Skalarprodukt auf
dem Vektorraum aller stetigen Funktionen [a, b] → R.
I Das schon bekannte Skalarprodukt
I
I
Bemerkungen
I Aus (1) und (2) folgt
hx, ay i = a hx, y i
und
hx, y + zi = hx, y i + hx, zi.
I Die Verallgemeinerung der Denition auf Vektorräume
über einem beliebigen Körper
Im Fall
K=C
K
ist nicht sinnvoll.
gibt es eine geringfügig modizierte
Denition eines Skalarprodukts.
Wir werden uns im Folgenden auf den Fall
K=R
beschränken.
skvprod.pdf, Seite 19
Denition
I Ein
euklidischer Vektorraum
V
h·, ·i.
p
kxk = hx, xi.
ist ein Vektorraum
über
R
versehen mit einem Skalarprodukt
I Die
Norm
des Vektors
y sind
Notation x⊥y .
I Die Vektoren
I
hx, y i = 0,
x und y sind
x
x ∈V
und
ist
orthogonal (senkrecht), wenn
parallel, wenn sie linear anhängig sind, d. h.
einer ein skalares Vielfaches des anderen ist, Notation
x||y .
α = ∠(x, y ) zwischen
y 6= 0 ist gegeben durch
I Der Winkel
x
und
cos α
=
zwei Vektoren
hx, y i
.
kxk · ky k
skvprod.pdf, Seite 20
Beispiel 1
Gesucht ist ein Vektor
x=
x1
x2
, der auf
y=
3
1
senkrecht
steht. Es muss gelten
0
= hx, y i =
x1
x2
3
, 1
= 3x1 + x2 ⇔ x2 = −3x1 .
x1 = t ∈ R beliebig
vorgegeben
werden,
t
1
dann die Form x =
= t · −3 .
−3t
Somit kann
haben
Lösungen
Allgemeiner
Die zu einem gegebenen Vektor
Vektoren haben die Form
Vielfachen des Vektors
y=
t · y2
−t · y1
y2
−y1
y1
y2
∈ R2
senkrechten
, sind also die skalaren
.
skvprod.pdf, Seite 21
Beispiel 2
Gesucht

 ist eine Konstante
  a ∈ R,
−2
1
 a  senkrecht auf  2  steht.
2a
3
so dass der Vektor
Dazu betrachtet man das Skalarprodukt:
  +
−2
1
 a ,  2 
2a
3
*
⇔ 8a = 2 ⇔ a =
= −2 + 2a + 6a = 8a − 2 = 0
1
4.
Beispiel 3
v =  v2  ∈ R3 ,

Gesucht ist
v1
v3


der auf
x =
1
2



und auf
y =
3
4
5


6
senkrecht steht.
hv , xi = hv , y i = 0 führt zu
Gleichungssystem mit drei Unbekannten.
Die Bedingung
einem
linearen
skvprod.pdf, Seite 22
Vektorprodukt
Eine bequeme Möglichkeit, zu zwei linear unabhängigen
Vektoren
x, y
im
R3
Vektor zu bestimmen, bietet das
x × y,
x und y senkrechten
Kreuz- oder Vektorprodukt
einen dritten auf
deniert durch
!
x1
x2
x3
Beispiel:
1
2
3
y1
y2
y3
×
!
×
4
5
6
!
!
=
=
−3
6
−3
x2 y3 − x3 y2
x3 y1 − x1 y3
x1 y2 − x2 y1
!
!
Bemerkung
Das Vektorprodukt ist nur für dreidimensionale Vektoren
deniert. Im Gegensatz zum Skalarprodukt ist das Ergebnis
wieder ein Vektor.
skvprod.pdf, Seite 23
Eigenschaften
I
I
hx × y , xi = hx × y , y i = 0, d. h. x × y steht senkrecht
sowohl auf x als auch auf y .
kx × y k = kxk · ky k · | sin ϕ|, wobei ϕ der Winkel
zwischen beiden Vektoren ist.
Somit ist
kx × y k
die Fläche des von
x
und
y
aufgespannten Parallelogramms.
x, y und x × y bilden ein Rechtssystem.
x × y = −y × x .
(ax) × y = a(x × y ) = x × (ay ) für x, y ∈ R3 und a ∈ R.
(x + z) × y = x × y + z × y und
x × (y + z) = x × y + x × z für x, y , z ∈ R3 .
Im Allgemeinen ist x × (y × z) 6= (x × y ) × z .
I Die Vektoren
I
I
I
I
(Fehler im Teschl/Teschl auf Seite 361!)
I
hx, y × zi = hy , z × xi = hz, x × y i
(Spatprodukt, mehr dazu später).
skvprod.pdf, Seite 24
Geometrische Anwendung 1: Beispiel Parallelogramm
Das von den Vektoren
x=
 
1
1
1

1
 −1 
2

und
y=
R3 hat die Fläche
     
1
   1   3  √
kx × y k = 1 × −1 = −1 = 14
1
−2 2 aufgespannte Parallelogramm im
Die Winkel
α
und
β
lassen sich mit Hilfe des Skalarprodukts
berechnen:
hx, y i
2
cos α = cos ^(x, y ) =
=√ √ =
kxk · ky k
3·
6
√
⇒ α = arccos
2
3
≈ 61, 9o
und
√
2
3
β = 180o − α ≈ 118, 1o .
skvprod.pdf, Seite 25
Geometrische Anwendung 2: Dreiecke
Das Vektorprodukt kann auch zur Berechnung von
Dreiecksächen im
R3
benutzt werden. Da ein Dreieck ein
F des Dreiecks
A, B und C und den durch die Vektoren
x = B − A, y = C − A und z = C − B beschriebenen Seiten:
halbes Parallelogramm ist, gilt für die Fläche
mit den Eckpunkten
F = 12 kx × y k = 21 kx × zk = 12 ky × zk
Beispiel
Das Dreieck mit den Ecken
A=
 
0
1
2
B=
 
1
3
2

−1
 1
−1

und
C=
hat die Fläche
   
1
−1 F = 12 k(B − A) × (C − A)k = 21  2  ×  0  =
0
−3 √
= 12 49 = 3, 5
 
−6 1 
3 
2
2 skvprod.pdf, Seite 26
Geometrische Anwendung 3: Ebenen im R3
I Eine Ebene hat eine Parameterdarstellung der Form
E = x + s · v + t · w : s, t ∈ R ,
wobei
x
ein Punkt auf der Ebene ist und
v, w
zwei linear
unabhängige Vektoren, die die Ebene aufspannen.
I Eine Paramterdarstellung der Ebene durch die drei Punkte
P, Q, R
(die nicht auf einer Geraden liegen dürfen) erhält
man z. B., indem man
I
x = P und v = Q − P sowie w = R − P setzt.
Der Normalenvektor r = v × w steht senkrecht auf E ,
1
· r.
ebenso der normierte Normalenvektor n =
kr k
skvprod.pdf, Seite 27
Beispiel
Sei
P=
 
0
 1 ,
1
Q=
Die Ebene durch
 
1
0
0
P, Q
und
und
R
R=
 
1
 2 .
1
hat die Parameterdarstellung
E = {P + s · (Q − P) + t · (R − P) : s, t ∈ R}
( 


 
=
0
1
1
 1  + s ·  −1  + t ·  1 
1
−1
0
: s, t ∈ R ,
  
1
1
 −1  ×  1 
−1
0

ein Normalenvektor ist
r=
Ein normierter Normalenvektor ist
n=
1
kr k
)

1
 −1 .
2


=
·r =

1
√1  −1 .
6
2
skvprod.pdf, Seite 28
Beschreibung von Ebenen durch Normalenvektoren
E = x + s · v + t · w : s, t ∈ R und r = v × w ein
Normalenvektor. Da r auf v und w senkrecht steht, gilt für
jeden Punkt y = x + s · v + t · w ∈ E
hx + s · v + t · w , r i = hx, r i + s · hv , r i + t · hw , r i = hx, r i ,
d. h. Punkte y ∈ E sind gerade dadurch charkterisiert, dass
hy , r i = hx, r i. Es folgt
Sei
y ∈ E ⇔ hy , r i = hx, r i ⇔ hy , ni = hx, ni ,
wobei
n
den normierten Normalenvektor bezeichnet.
Im Beispiel gilt
y=

y1
 y2 
y3
 
+
y1
1
 y2 ,  −1 
y3
2
*

∈E ⇔
+
0
1
 1  ,  −1 
1
2
*  
=
=1
⇔ y1 − y2 + 2y3 = 1
skvprod.pdf, Seite 29
Die Hessesche Normalform
ist eine Ebenengleichung durch den normierten Normalenvektor
1
· r . Dieser wird (ggf. durch Multiplikation mit
kr k
gewählt, dass a = hx, ni ≥ 0. Damit erhält man
n=
E = y ∈ R3 : hy , ni − a = 0
−1)
so
(Hessesche Normalform)
Im Beispiel
war
n=
1
· r = √16  −  mit
kr k
*   +

1

1
2
hx, ni =
√1
6
0
1
 1  ,  −1 
1
2
n
E = y ∈ R3 : hy , ni −
√1
6
=
√1
6
=0⇔
= a > 0.
√1
6
Es folgt
· (y1 − y2 + 2y3 − 1) = 0
skvprod.pdf, Seite 30
o
.
Anwendung: Abstand PunktEbene
Der Abstand eines Punktes y zu Ebene
E = {y ∈ R3 : hy , ni − a = 0} mit dem normierten
Normalenvektor n ist gegeben durch
d(y , E ) = hy , ni − a
Ist
hy , ni − a < 0,
y und der Nullpunkt
hy , ni − a > 0 auf
so benden sich
der gleichen Seite der Ebene, bei
auf
verschiedenen Seiten.
skvprod.pdf, Seite 31
Im Beispiel
n
E = y ∈ R3 :
√1
6
y=
der Vektoren
· (y1 − y2 + 2y3 − 1) = 0
3
 2 ,
−1

v=
 
1
2
3
und
o
soll der Abstand

5
 2
−1

w=
zu
E
bestimmt werden. Man erhält
hy , ni − a =
=
√1
6
√1
Es folgt, dass
6
y
·


 
2
  −1 
1
,
−1
−1
2
· (−1 − 1) = − √26 < 0.
zu
E
2
den Abstand √
6
auf der gleichen Seite von
Analog ist

3
hv , ni − a =
√4
E
=
q
2
3
≈ 0, 816
liegt wie der Nullpunkt.
≈ 1, 63 > 0.
hw , ni − a = 0,
v
Somit hat
6
4
Abstand √ und liegt auf der anderen Seite wie
6
Schlieÿlich ist
hat und
y
woraus folgt, dass
zu
E
den
und 0.
w
in
E
liegt.
skvprod.pdf, Seite 32
Anwendung 2: Schnittpunkt GeradeEbene
Die Hessesche Normalform bzw. eine Ebenengleichung mit
einem beliebigen (nicht notwendig) normierten Normalenvektor
kann auch benutzt werden, um den Schnittpunkt zwischen
einer Gerade und einer Ebene zu berechnen. Dazu wird die
Parameterdarstellung der Geraden in die Ebenengleichung
eingesetzt:
Ist
E = {y ∈ R3 : hy , r i − a = 0}
und
g = {u + t · v : t ∈ R},
so erhält man durch Einsetzen die Gleichung
0
= hu + t · v , r i − a = hu, r i + t · hv , r i − a,
die nach
t
u+t ·v
auf der Geraden ist dann der gesuchte Schnittpunkt.
aufgelöst werden kann. Der zugehörige Punkt
skvprod.pdf, Seite 33
Im Beispiel
a=1

1
 −1 
2

n
o
3
E = y ∈ R : y1 − y2 + 2y3 − 1 = 0
mit
r=
und
ist der Schnittpunkt der Gerade


1
−1
2+t · 1
3
0
( 
g=
)
:t∈R
E gesucht. Dazu muss gelten
   
   
−
 ,  − 
0 =
+t ·  ,  −  − 1 = 5 − 2t − 1 = 4 − 2t
mit
1
1
1
1
2
1
1
1
3
2
0
2
⇔ t = 2.
Es folgt, dass der Schnittpunkt
 


1
−1
2+2· 1
3
0

−1
 4
3

=
ist.
skvprod.pdf, Seite 34
Schnittwinkel
Der Schnittwinkel von
g
und dem Winkel zwischen
Für den
 Winkel

r=
1
 −1 
2
α
E
und
g
zwischen
ist die Dierenz zwischen 90
und dem Normalenvektor zu
g
o
E.
und dem Normalenvektor
gilt
 
+
1
−1
 −1 ,  1 
2
0
   
 1   −1 
1 −1 · 2 0 *
cos α
=
Es folgt, dass sich
g
und
E
−1
−2
= √ = √ ⇒ α ≈ 125, 3o
12
3
in einem Winkel von 35, 3
o
schneiden.
skvprod.pdf, Seite 35
Der Durchschnitt zweier Ebenen
im
R3
ist eine Gerade, wenn die beiden Ebenen nicht parallel
sind. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Normalenvektoren
linear unabhängig sind.
Der Richtungsvektor der Schnittgeraden steht dabei senkrecht
auf beiden Normalenvektoren.
Der Schnittwinkel der beiden Ebenen ist gleich dem Winkel
zwischen der Richtungsvektoren.
Sind die beiden Ebenen parallel, so sind sie entweder gleich
(und der Durchschnitt damit wieder eine Ebene) oder ihr
Durchschnitt ist leer.
Beispiel:
siehe Tafel
skvprod.pdf, Seite 36
Das Spatprodukt
oder gemischte Produkt dreier Vektoren
deniert als
x, y , z ∈ R3
ist
hx × y , zi.
Eigenschaften
I Das Spatprodukt ist eine reelle Zahl,
deren Betrag das Volumen des von
x, y und z aufgeParallelepipeds oder
den Vektoren
spannten
Spats
ist.
I Das Spatprodukt ist 0, wenn die drei Vektoren in einer
Ebene liegen (linear abhängig sind).
> 0, wenn die Vektoren
< 0, wenn sie ein
Ansonsten ist das Spatprodukt
ein Rechtssystem bilden und
Linkssystem bilden.
I
I
hx × y , zi = hy × z, xi = hz × x, y i
hx × z, y i = hz × y , xi = hy × x, zi = − hx × y , zi
skvprod.pdf, Seite 37
Beispiel 1
Die Vektoren
x=
 
1
 2 ,
3
y=
 
2
1
0

2
 −1 
1

und
z=
spannen
ein Spat auf. Das Spatprodukt ist
 
+
−3
2
 6 ,  −1 
−3
1
*
hx × y , zi =
Also bilden
x, y
und
z
= −15
ein Linkssystem und das Volumen des
Spats ist 15.
Zwei der 6 Oberächen haben die Fläche
kx × y k =
√
54
zwei die Fläche
√
= 3 6, zwei
√ die
ky × zk = 21.
Fläche
kx × zk = 5
√
3 und
Die Gesamtoberäche ist damit
2(kx
× y k + kx × zk + ky × zk) ≈ 41, 2
skvprod.pdf, Seite 38
Beispiel 2
Mit
x=
x ×y =
 




0
−1
2
 1 , y =  4  und z =  −5  ist
3
0
9
  



0
−1
−12
 1  ×  4  =  −3  und somit
3
0
1
hx × y , zi = −12 · 2 − 3 · (−5) + 1 · 9 = −24 + 15 + 9 = 0.
Es folgt, dass die 3 Vektoren in einer Ebene liegen und somit
linear abhängig sind.
skvprod.pdf, Seite 39

Download Report