Blatt 06 - Fakultät für Mathematik

Prof. Dr. J. Woerner
Dipl. Math. S. Glaser
Fakult¨at f¨
ur Mathematik
WiSe 2014/2015
TU Dortmund
Angewandte Stochastik
Blatt 6
Theorieabgabe: Montag, 19.01.2015 bis 12:00 Uhr in die Briefk¨asten 25 (Gruppe 2) bzw.
35 (Gruppe 1).
Programmieraufgabe: CIP Pool, Mittwoch, 28.01.2015 von 14-16 Uhr f¨
ur Gruppe 1 bzw.
16-18 Uhr f¨
ur Gruppe 2.
Aufgabe 1
a) Jemand vermutet, dass ein W¨
urfel kein Laplace-W¨
urfel ist, sondern f¨
ur die Wahrscheinlichkeit πi der i-ten Augenzahl gilt:
π1 = 0.18; π2 = 0.18; π3 = 0.17; π4 = 0.16; π5 = 0.16; π6 = 0.15.
Bei n = 100 W¨
urfen traten die Augenzahlen (ni = Anzahl f¨
ur Augenzahl i) wie
folgt auf:
n1 = 11; n2 = 25; n3 = 12; n4 = 12; n5 = 24; n6 = 16.
Man teste die Nullhypothese H0 : Der W¨
urfel hat die o.g. Verteilung mit Hilfe eines
χ2 -Tests zum Niveau α = 0.05. Bitte rechnen Sie auf mindestens drei Stellen genau.
b) Es wurden folgende Realisationen einer diskret verteilten Zufallsvariable X beobachtet:
k
# { ν : Xν = k}
1
2
3
419 234 146
4 5 6 7 8 9 10
84 44 31 11 14 11 2
11 15
3 1
Testen Sie mit Hilfe eines χ2 -Tests zum Niveau α = 0.05, ob X geometrisch verteilt
ist mit Parameter p = 0.4. Die Z¨ahldichte f einer geometrisch verteilten Zufallsvariable X ist gegeben durch f (k) = p(1 − p)k−1 , k = 1, 2, ....
Aufgabe 2
a) Ein CD-Hersteller m¨ochte 3 neue CD-Spieler (M1 , M2 , M3 ) auf den Markt bringen.
F¨
ur Personen aus zwei Altersgruppen ergaben sich folgende Verkaufszahlen:
M1
]20,30] 93
]30,50] 257
350
M2
115
285
400
M3
72
178
250
280
720
1000
Man teste zum Niveau α = 0.05, ob die Nachfrage nach den CD-Spieler-Modellen
unabh¨angig vom Alter ist.
b) Nach einer Klausur wurden in einer Befragung f¨
ur jeden Kandidaten die Merkmale
Hilfsmittel“(A1 : Hat ohne Hilfsmittel gearbeitet, A2 : Hat mit eigenen Aufzeich”
nungen gearbeitet, A3 : Hat abgeschrieben) und Note“(B1 : 1 − 2, B2 : 3 − 4, B3 : 5)
”
ermittelt. Dabei ergaben sich die folgenden H¨aufigkeiten.
B1
B2
B3
A1
0
4
4
A2
10
20
2
A3
0
7
3
Testen Sie zum Niveau α = 0.05, ob die Merkmale unabh¨angig sind.
c) Ein Student vermutet, dass die Suppe in seiner Stammkneipe immer dann versalzen ist, wenn der Koch frisch verliebt ist. Aus dem Beobachtungsmaterial seiner
jahrelangen t¨aglichen Besuche w¨ahlt der Student eine Stichprobe vom Umfang 200
zuf¨allig aus. In der Stichprobe erh¨alt er folgendes Ergebnis: Der Koch war in 30 %
aller F¨alle frisch verliebt. In 35 % aller F¨alle war die Suppe versalzen. In 50 % der
F¨alle waren gerade keine Turbulenzen in seinem Liebesleben zu verzeichnen. In 2/3
der F¨alle, in denen der Koch frisch verliebt war, war die Suppe versalzen. In 75 %
der F¨alle, in denen der Koch Liebeskummer hatte, war die Suppe nicht versalzen.
Testen Sie mittels eines χ2 -Tests, ob die Merkmale Liebesleben“ und Kochkunst“
”
”
(mit den Auspr¨agungen versalzen“ und nicht versalzen“) stochastisch unabh¨angig
”
”
sind.
Hinweis: Die Auspr¨agungen des Merkmals Liebesleben“ ( Liebeskummer“, frisch
”
”
”
verliebt“ und keine Turbulenzen“) sind paarweise disjunkt.
”
Aufgabe 3
a) Es seien Xj , j = 1, . . . , n iid Zufallsvariablen, deren Verteilungsfunktion stetig sei.
Fn bezeichne die empirische Verteilungsfunktion. Zeigen Sie, dass
Kn := sup |F (x) − Fn (x)|
x∈R
unabh¨angig von der Verteilungsfunktion F ist. Tip: Stellen Sie Kn als Funktion von
F (Xk ) dar. Zeigen Sie vorher, dass F (Xk ) stetig gleichverteilt auf dem Intervall [0, 1]
ist, also unabh¨angig von der Verteilungsfunktion F .
b) Gegeben sei eine Stichprobe von Beobachtungen:
108 112 117 130 111 131 113 113 105 128.
Testen Sie mit Hilfe eines Kolmogorov-Smirnov-Tests zum Niveau α = 0.05, ob
es sich um Beobachtungen einer normalverteilten Zufallsvariable mit Mittelwert
µ = 120 und Standardabweichung σ = 10 handelt.
c) Gegeben sei eine Stichprobe von Beobachtungen:
0.1404 0.2101 0.8179 0.8971 1.2610
1.9988 2.5569 2.8910 2.8970 2.9919.
Testen Sie mit Hilfe eines Kolmogorov-Smirnov-Tests zum Niveau α = 0.05, ob es
sich um Beobachtungen einer exponentialverteilten Zufallsvariablen mit Parameter
λ = 1.5 handelt.
Aufgabe 4
Wir besch¨aftigen uns in dieser Aufgabe mit der ’Rate of Return’. Auf der Homepage
finden Sie zwei Datens¨atze zu einer Aktie, einmal f¨
ur den Zeitraum Dezember 2006 bis
Juni 2008 und einmal f¨
ur den Zeitraum November 2008 bis Oktober 2009. Die Zeitr¨aume
sind offensichtlich wegen der so genannten Finanzkrise gew¨ahlt und wahrscheinlich ist
davon auszugehen, dass die Varianzen schwanken. Untersuchen Sie diese Datens¨atze nun
hinsichtlich ihrer Varianz:
i
).
Zu einem Datensatz (Xi )ni=1 ist der logarithmische Return ist definiert als ri = log( XXi−1
i−1
Der arithmetische Return ist definiert als r˜i = XiX−X
.
i−1
Schreiben Sie eine MATLAB-Funktion mit dem Aufruf
function [Ablehnung] = Varianzanalyse(x,y,Niveau,Return)
und den folgenden Ein- sowie Ausgabedaten:
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
Eingabe-Parameter:
x
: Datensatz 1
y
: Datensatz 2
Niveau : Niveau des Tests
Return : Art des betrachteten Returns
(1 entspricht log-return, 0 entspricht arithmetischer return)
Ausgabe-Parameter:
Ablehnung : Integer, welcher 1 ist, falls der Test abgelehnt wird
und 0, falls nicht
die einen Test mit der Hypothese H0 : σx > σy gegen H1 : σx ≤ σy zum Niveau α = 0.03
durchf¨
uhrt, wobei σx bzw. σy die Standardabweichungen des entsprechenden Returns sind.
Lassen Sie sich ausserdem den Wert der F-Statistik und das entsprechende Quantil der
F-Verteilung ausgeben. Finden Sie ausserdem das Niveau α des Tests, f¨
ur welches die
Nullhypothese nicht verworfen wird.
Versuchen Sie sich ebenfalls klar zu machen, warum der Test so ausgef¨
uhrt wird und nicht
die Hypothesen vertauscht sind, obwohl man doch davon ausgehen kann, dass die Varianz
wahrscheinlich w¨ahrend der Finanzkrise h¨oher war als davor.

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