Inverse Matritzen Spezialfall: ax = b mit einer Unbekannten x 1 Kehrwerts = a−1 gelöst werden: a Die Gleichung kann mit Hilfe des ax = b ⇔ x = Verallgemeinerung auf Ax = b b = a−1 · b. a mit einer n × nMatrix A: 1 −1 Wenn es eine Matrix A (die Kehrmatrix ) gibt mit A −1 A A = In , so kann damit das LGS Ax = b durch Umstellung der Gleichung gelöst werden: Ax = b ⇒ A−1 (Ax) = A−1 b ⇒ (A−1 A)x = A−1 b ⇒ In x = A−1 b ⇒ x = A−1 b matrizen2.pdf, Seite 1 Beispiel Mit ist A= 2 3 1 2 und BA = AB = I2 = also ist B = A−1 Für die Lösung B= 1 0 0 1 2 −3 −1 2 (Beweis durch nachrechnen), die Kehrmatrix von x= x1 x2 des LGS A. Ax = 1 1 indem beide Seiten der Gleichung von links mit werden: ⇒ ⇒ 2 −3 −1 2 1 0 0 1 2 3 1 2 x1 x2 B multipliziert 2 3 1 2 gilt dann, = x1 1 = x2 1 x1 2 −3 1 = x2 −1 2 1 −1 x −1 ⇒ x1 = 1 1 2 matrizen2.pdf, Seite 2 Denition n × nMatrix n × nMatrix A−1 gibt mit Eine quadratische eine heiÿt invertierbar, wenn es A−1 A = AA−1 = In . A−1 ist dann die Inverse von A. Beispiel 2 3 1 2 −1 = 2 −3 −1 2 bzw. 2 −3 −1 2 −1 = 2 3 1 2 Bemerkung B die Inverse A und B sind Aus der Denition folgt unmittelbar: Ist so ist A die Inverse von B (Man sagt: von A, zueinander invers). matrizen2.pdf, Seite 3 Gruppeneigenschaft A und B invertierbar, so auch AB mit Inversem (AB)−1 = B −1 A−1 (Achtung: umgekehrte Reihenfolge!). Sind Es folgt, dass die Menge aller invertierbaren n × nMatrizen eine (nichtkommutative) Gruppe bildet mit neutralem Element In . Aus der allgemeinen Gruppeneigenschaft folgt I Die inverse Matrix ist eindeutig bestimmt. I Es genügt, eine der beiden Bedingungen nachzuprüfen: −1 −1 Aus A A = In folgt automatisch AA = In und umgekehrt. Achtung: Die obige Argumentation funktioniert nur bei quadratischen Matrizen. Bei m × nMatrizen mit m 6= n ist die Betrachtung von Inversen nicht sinnvoll. matrizen2.pdf, Seite 4 Berechnung der Inversen  Ist bk =   b11 . . .    k te die Spalte von B = A−1 , so folgt aus bn1 AB = In und der Denition der Matrixmultiplikation bei Betrachtung der k ten Abk = ek Beispiel: Aus B = ⇔ 1 2 3 4 1 2 3 4 Spalte (k ter StandardEinheitsvektor). b11 b21 b12 b22 = b11 b12 1 0 = 0 1 b21 b22 b11 1 = und b21 0 1 2 3 4 1 2 3 4 −1 folgt b12 b22 = 0 1 matrizen2.pdf, Seite 5 Inverse Matrix mit GauÿAlgorithmus A−1 können mit dem GauÿAlgorithmus Gleichunssysteme Ab1 = e1 , Ab2 = e2 ,...,Abn = en Zur Berechnung von die simultan gelöst werden. Dazu startet man mit der erweiterten Koezientenmatrix (A|In ) und transformiert diese durch elementare (In |A−1 ). Zeilenumformungen in Beispiel A = ⇔ 1 2 1 0 3 4 0 1 1 0 −2 0 1 3 2 1 2 3 ⇔ 4 1 − 21 1 0 2 −2 1 0 −3 1 ⇒ A−1 = ⇔ −2 3 2 1 0 1 2 1 1 3 2 0 − 21 − 12 Im letzten Schritt wurde 2fache der zweiten Zeile von der ersten Zeile subtrahiert, um den Koezienten a12 oberhalb der Diagonale zu Null zu machen. matrizen2.pdf, Seite 6  Beispiel A =  −1 1 −3   2 0 5  ⇒ A− =  1 −6 5  −1 1 −3 1 0 0  2 0 5 0 1 0 1 −6 5 0 0 1 −1 1 −1 3 ⇔  0 2 −1 2  0 −5 2 1 1 −1 3 −1 1 ⇔  0 1 − 12  0 0 1 −1 ⇔ 0 1  0 0 − 12 6 0 0 1 0 0 1 0 1 2 5 2 0 35 15 0 −5 −2 1    ⇔ 30 1 −1 3 −1 0 0 2 0 5 0 1 0 1 −6 5 0 0 1  0 0 0 1 −5 2  5 −5 −2 −1  −12 −5 −2  1 −1 3 −1 ⇔ 0 1 − 21 1  13 1  0 0 1 2 0 0 1   1 −1 3 −1 0 0 1 ⇔ 0 1 − 21 1 0  2 0 0 1 −12 −5 −2      −1  ⇔ 6 1 −12 −5 −2 1 0 30 13 0 1 0 5 0 −5 −2 0 0 1 −12 −5 −2  −1  Grün: Im nächsten Schritt zu 0 machen, rot: zu 1 machen, blau: wird verändert, fett/rot: Pivotelement matrizen2.pdf, Seite 7 Algorithmus zur Invertierung von A = (aij ) Starte mit der erweiterten Koezientenmatrix for (j=1; j<=n; j++) (A|In ). { ajj = 0, so wähle i > j Zeilen i und j . I Ist mit aij 6= 0 und vertausche die A nicht invertierbar. 1/ajj . (Dadurch wird ajj Ist dies nicht möglich, so ist I multipliziere j te Zeile mit zu 1) I for (i=j+1; i<=n; i++) subtrahiere von der i ten Zeile das aij fache (Dadurch werden die Koezienten unterhalb der j ten Zeile. ajj zu 0) } for (j=n; j>=2; j ) for (i=1; i<j; i++) subtrahiere von der i ten Zeile das aij fache (Dadurch werden die Koezienten oberhalb Das Ergebnis ist der ajj j ten Zeile. zu 0) (In |A−1 ). matrizen2.pdf, Seite 8 Anwendungen für verschiedene b und die −1 lösen, ist es oft sinnvoll, A zu berechnen I Muss man ein LGS A selbe Matrix Ax = b (Bsp. Umrechnung RGBYPbPrFarben) I Umkehrung von linearen Transformationen I Lösung von Matrizengleichungen I Dekodierung von Daten Beispiel 1 Die Matrix A= 1 −1 1 1 beschreibt in der Ebene eine o Linksdrehung um 45 kombiniert mit einer (gleichmäÿigen) √ Streckung um den Faktor A−1 = 45 o 1 2 1 1 −1 1 2. beschreibt dann eine Rechtsdrehung um √ kombiniert mit einer Stauchung um den Faktor 2. matrizen2.pdf, Seite 9 Drehstreckung mit A = 1 −1 1 1 matrizen2.pdf, Seite 10 Beispiel 2 Gesucht ist eine Matrix XA = B A= X, welche die Matrizengleichung löst mit 1 −1 1 1  und B = 0 −1  2 1  3 2 löst. Aus den Regeln für die Matrixmultiplikation folgt zunächst, dass X vom Typ (3, 2) sein muss. Formale Umstellung ergibt XA = B ⇒ XAA−1 = BA−1 ⇒ X = BA−1 , d. h. die Gleichung kann mit Hilfe der Inversen von A berechnet werden. Man erhält  X = BA−1 =  0 −1 2 1 3 2  · 1 2 1 1 −1 1  = ,  0, 5 0, 5 0 5  −0, 5 1, 5 . 2, 5 Bemerkung: Da die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist, ist es wichtig, darauf zu achten, immer von der richtigen Seite zu multiplizieren. matrizen2.pdf, Seite 11 Bemerkung Nicht jede quadratische Matrix A, die ungleich der Nullmatrix 0n,n ist, ist invertierbar. Es gilt: ⇔ A ist invertierbar Das LGS Begründung Ax = b ist für jedes b ∈ Rn eindeutig lösbar für ⇐: Ist das LGS immer eindeutig lösbar, so kann die inverse Matrix mit dem GauÿAlgorithmus berechnet werden. Für ⇒: Existiert −1 durch x = A b . A−1 , so ist die Lösung des LGS gegeben matrizen2.pdf, Seite 12 Invertierbarkeit und Rang Weiterhin gilt für eine Ax = b ist für wenn rg(A) = n . Das LGS dann, n × nMatrix: jedes n × nMatrix vollen Rang (= n) hat. Das heiÿt, eine sie b ∈ Rn eindeutig lösbar genau ist genau dann invertierbar, wenn Matrizen mit dieser Eigenschaft (quadratisch, invertierbar, voller Rang) werden auch als Beispiel A = 1 2 2 4 regulär bezeichnet. ist nicht regulär und damit auch nicht invertierbar, da rg(A) = rg 1 2 2 4 = rg 1 2 0 0 = 1 < 2. matrizen2.pdf, Seite 13 Reguläre Matrizen Die folgenden Eigenschaften einer quadratischen A n × nMatrix sind äquivalent (d. h. wenn eine davon erfüllt ist, sind automatisch alle anderen erfüllt): I I A A ist regulär ist invertierbar 6= 0 (siehe Skript Determinanten) rg(A) = n Die Spaltenvektoren von A sind linear unabhängig n Die Spaltenvektoren von A bilden eine Basis des R Die Zeilenvektoren von A sind linear unabhängig n Die Zeilenvektoren von A bilden eine Basis des R Das homogene LGS Ax = ~ 0 hat nur die Nulllösung n Das LGS Ax = b ist für ein b ∈ R eindeutig lösbar n Das LGS Ax = b ist für alle b ∈ R eindeutig lösbar I det A I I I I I I I I matrizen2.pdf, Seite 14 Bemerkungen I Da das Produkt zweier invertierbarer n × nMatrizen wieder invertierbar ist, bildet die Menge aller regulären n × nMatrizen mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung eine (nichtkommutative) Gruppe, die allgemeine lineare Gruppe Gl(n, R). Das neutrale Element ist die Einheitsmatrix −1 Inversen gilt (AB) = B −1 A−1 . I Für die Summe Aussage. Wenn In , für die A + B gibt es keine vergleichbare A und B regulär sind, muss A + B nicht regulär sein, umgekehrt kann die Summe zweier nicht regulärer Matrizen regulär sein. matrizen2.pdf, Seite 15 LRZerlegung In praktischen Anwendungen wird oft anstelle der inversen Matrix die Matrix A LRZerlegung berechnet: Die quadratische Matrix A = LR , (auch LUZerlegung genannt) einer wobei L A wird dargestellt als Produnkt eine untere und R eine obere Dreiecksmatrix ist. R ist dabei die Matrix, die aus GauÿAlgorithmus entsteht, L A durch die Umformungen im speichert die Informationen über die durchgeführten Zeilenoperationen.  Beispiel:  1 2 3 1 1 1 3 3 1    = 1 0 0 1 −1 −3 −2 3 0    · 1 2 3 0 1 2 0 0 1   matrizen2.pdf, Seite 16