Steckbriefaufgaben

Name:
Mathematik
Klasse:
Datum:
Steckbriefaufgaben
Aufgaben
Bestimme jeweils die Funktionsgleichung!
1. Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse, geht
durch den Ursprung des Koordinatensystems und schneidet die x-Achse an der Stelle x = 3 mit
der Steigung m = -48.
2. Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat an der Stelle x = -1 eine Extremstelle.
Er schneidet die y-Achse an der Stelle y = 2 und berührt die x-Achse an der Stelle x = 2.
Lösungen
Aufgabe 1
Auswertung der Vorgaben:

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion vierten Grades, also fx   ax4  bx 3  cx2  dx  e .

Da f achsensymmetrisch sein soll, können gilt b  d  0 , also fx   ax4  cx2  e .

Für die Ableitungen gilt dann f x   4 ax3  2 cx .

f geht durch den Koordinatenursprung O0 0 , damit gilt f 0  0 , also e  0 .
f hat damit die Form f x   ax 4  cx 2 .

f schneidet die x-Achse an der Stelle x  3 , also im Punkt P3 0 , damit gilt: f 3  0 .

f hat an der Stelle x  3 die Steigung m  48 , damit gilt: f3  48 .
Rechnung::
f 3  0
 81 a  9 c  0
f3  48  108a  6 c  48
:3
:2

27 a  3 c  0
54 a  3 c  48
  27a  24  a  
24
8

27
9
8
 8
 27    3c  0  3c  24  c  8  f x    x 4  8x 2
9
 9
Aufgabe 2
Auswertung der Vorgaben:

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades, also fx   ax3  bx2  cx  d .

Für die Ableitungen gilt dann fx   3ax2  2bx  c .

f hat an der Stelle x  1 eine Extremstelle, damit gilt f 1  0 .

f schneidet die Ordinatenachse bei y  2 geht also durch den Punkt P0 2 , damit gilt f 0  2 .
f hat damit die Form fx  ax 3  bx 2  cx  2 .

f berührt die x-Achse an der Stelle x  2 , geht also durch den Punkt P2 0 , damit gilt: f 2  0 .

Die Funktion f schneidet die x-Achse nicht, sondern berührt sie nur an der Stelle x  2 , hat also
dort eine waagrechte Tangente, damit gilt: f2  0 .
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Autor: Ingo Ostwald (01.01.2016)
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Rechnung::
f 1  0  3a  2b  c  0
2
f 2  0
 8a 4b 2c 2  0
2
f2  0
 12a  4 b  c  0

14 a  4 c  0
4 a  1 c  0
4

[4]
[1] 6 a  4 b  2c  0
 [2] 8 a  4 b  2 c  2
 Gl. [2]
 Gl. [3]
[3] 12 a  4 b  c  0
14 a  4 c  0
[5] 16 a  4 c  0
 Gl. [4]
 30 a  6  a 
1
5
1
24
6
14   4 c  2  14  20 c  10  c  

5
20
5
1
6
3
1
3
6
3   2 b   0  3  10 b  6  0  b  
 f x   x 3  x 2  x  2
5
5
10
5
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Autor: Ingo Ostwald (01.01.2016)

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