Grad - Mathebaustelle

Glossar: Grad
Grad einer ganzrationalen Funktion bzw. eines Polynoms [Analysis]
Der höchste auftretende Exponent in der Normalform.
Die Funktion 𝑓 mit 𝑓(𝑥) = 𝒂𝒏 𝒙𝒏 + . . . 𝒂𝟏 𝒙 + 𝒂𝟎 hat also den
Grad 𝑛.
Beispiel: Gegeben ist ℎ mit
ℎ(𝑥) = −0,25 𝑥 𝟓 + 7 𝑥 4 – 𝑥 2 + 5 𝑥 + 23. Der Grad von ℎ ist
5.
Bem.1: Jede konstante Funktion (außer der Nullfunktion
f(x)=0) ist eine ganzrationale Funktion vom Grad 0,
denn x 0=1, also ist z.B. f ( x ) = 5,3 = 5,3 x 0.
Jede lineare (aber nicht konstante) Funktion ist eine
ganzrationale Funktion vom Grad 1,
denn x 1=x, also ist z.B. f ( x ) = 1,2 x + 5,3 = 1,2 x 1 + 5,3.
Jede quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion
vom Grad 2.
Bem.2: Jede ganzrationale Funktion vom Grad 𝑛 kann
höchstens 𝑛 Nullstellen haben.
Das hängt damit zusammen, dass man zu jeder Nullstelle 𝑥𝑁
den dazugehörigen Linearfaktor (𝑥 − 𝑥𝑁 ) „abspalten“ kann.
Macht man das mit jeder Nullstelle der Funktion, so erhält man
die faktorisierte Form.
Folgerung: Eine lineare Funktion kann höchstens eine
Nullstelle haben, eine quadratische Funktion höchstens 2 und
eine kubische Funktion höchstens 3.
Sonderfall: Die Nullfunktion 𝑓 mit 𝑓(𝑥) = 0 hat den Grad
minus unendlich.
(Damit beschäftigen sich jetzt bitte nur mathematisch sehr
Interessierte, die anderen steigen hier beruhigt aus.)
Das klingt komisch und passt nicht recht zum Satz über die
Höchstanzahl der Nullstellen (Bem. 2). Schließlich hat die
Nullfunktion unendlich viele Nullstellen und nicht minus
unendlich viele. Dennoch ist es die einzig sinnvolle Definition
des Grades der Nullfunktion:
Frank Mergenthal www.mathebaustelle.de
Multipliziert man nämlich zwei ganzrationale Funktionen, so
addiert sich deren Grad:
x 3 · x 4 = x 7 ist vom Grad 7.
Multipliziert man aber eine Funktion vom Grad k mit der
Nullfunktion, so kommt die Nullfunktion heraus. z.B. gilt:
x 3 ·0 = 0. Also muss der Grad der Nullfunktion + 3 immer
noch der Grad der Nullfunktion sein.
Damit stoßen wir auf die Gleichung Grad(f)=Grad(f)+3. Diese
Gleichung hat keine Lösung.
Für ∞ oder −∞ lässt sich aber sinnvoll definieren: ∞ + 3 = ∞
bzw. −∞ + 3 = −∞.
Aus weiteren guten Gründen wählt man Grad(𝑓) = −∞.
Links:
Grad erkennen: http://www.matheonline.at/tests/var/polynome.html
Frank Mergenthal www.mathebaustelle.de

Download Report