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TS9
DM3
Exercice 1
A RENDRE LE MERCREDI
5
NOVEMBRE
2014
Intensité lumineuse
C est un cercle de centre O et de rayon 3 cm. Sur la perpendiculaire en O
au plan du cercle, on place une source lumineuse S.
Le but de l’exercice est de déterminer la hauteur h à laquelle il faut placer
S pour que l’éclairement du cercle soit maximal.
La loi qui régit l’éclairement est la suivante : l’intensité lumineuse est
proportionnelle au cosinus de l’angle d’incidence θ et inversement
proportionnelle au carré de la distance AS à la source.
h
1. Démontrer que l’éclairement est proportionnel à :
.
(h²  9) h²  9

2. Etudier les variations de la fonction f définie sur l’intervalle
x
]0 ; +∞[ par f(x) 
.
(x²  9) x²  9
3. Déduisez-en à quelle hauteur il faut placer S pour que l’éclairement soit maximal.
Exercice 2 Une longueur minimale
(O;OA;OB) est un repère orthonormé du plan. M
est un point du quart de cercle de centre O et de
rayon 1. La tangente en M au quart de cercle
coupe l’axe des abscisses en K et l’axe des
ordonnées en L.
On se propose de trouver la position de M sur
l’arc AB telle que la longueur KL soit minimale.
1. Réaliser la figure avec GeoGebra et
conjecturer la position de M.
2. On note
 l’angle (OA;OM) .
a. Démontrer que KL = OK×OL.
1
Puis que KL 
.
cos   sin 
b. On considère g la fonction définie sur ]0 ;
2

[ par g() 
. Déterminer g’(α).
sin( 2)
2
c. Montrer g admet un minimum. Conclure .
Exercice 3 : Organiser une démarche
Etudier la convergence de la suite u définie par un  2  2  2  ....  2 , il y a n radicaux !
Indications : Conjecture à l’aide du calcul des premiers termes, validation à l’aide de la relation de récurrence
définissant
un 1 en fonction de un , calcul de la limite en admettant que les suites ( un ) et ( un 1 ) ont la même
limite réelle L.
TS_devoir 3_2014

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