Devoir n°4

2nde6 DM4 pour le vendredi 28 novembre : Problème d’optimisation – utilisation du logiciel Géogébra
ABCD est un rectangle tel que AB =5 cm et BC =7 cm .
Sur les côtés [AB], [BC], [CD] et [DA], on place respectivement des points I, J, K et L tels que AI =BJ =CK = DL .
On admet que le quadrilatère IJKL est un parallélogramme.
On se propose de déterminer la position du point I sur le segment [AB] qui rend l’aire du quadrilatère
IJKL minimale.
1. Conjecture à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique
(ici Geogebra).
a. À l’aide du logiciel, construire une figure comme ci-contre
qui permette de répondre au problème posé.
Voir aide ci-dessous.
Vous enregistrerez votre figure sur l’ENT-cahier
de texte-séance du 28 novembre
b. Conjecturer la (ou les) position(s) du point I sur le segment
[AB], s’il en existe, pour laquelle (ou lesquelles) l’aire du quadrilatère IJKL est minimale.
c. Conjecturer la valeur minimale de l’aire (mesurée en cm²).
2. Démonstration
On pose AI = x cm et on note f la fonction qui à x associe la mesure, en cm², de l’aire du quadrilatère IJKL .
a. Quelles sont les valeurs que peut prendre la variable x ?
b. Démontrer que l’aire f (x) du quadrilatère IJKL vaut 2x² - 12x + 35 pour x  [0 ; 5].
c. Vérifier que, pour tout x, f(x)  17  2(x  3)2
d. Démontrer alors les résultats conjecturés aux questions 1.b et 1.c.
Aide à la construction avec le logiciel GeoGebra

Créer le rectangle ABCD de dimensions données
On peut faire la construction dans le repère proposé par le logiciel.
Pour créer les points A, B, C et D, faites avec leurs coordonnées : A=(0,0) B=(0,5) etc…...
On peut alors cacher les axes et la grille dans « graphique » en les décochant.
Pour tracer le rectangle, sélectionner « Polygone » Cliquer sur les sommets et terminer en cliquant de nouveau sur le premier point.

Créer un curseur nommé m variant de 0 à 5.
Créer ensuite le point I à l’aide de ses coordonnées (0, m). Ainsi I varie sur le segment [AB].

Créer le point J situé sur le segment [BC] tel que AI =BJ.
Soit à l’aide du cercle de centre B et de rayon BJ =m . Soit à l’aide de ses coordonnées.
Les points K et L se construisent de la même manière.

Afficher l’aire de IJKL
2nde_Dm4_14_15

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