L¨ osungsblatt zur Testklausur Festk¨ orperphysik WS2010/11 Aufgabe 1: a) Wie groß sind die Energien der drei niedrigsten Zust¨ande in einem zweidimensionalen und einem dreidimensionalen Kastenpotential? (Kantenl¨angen jeweils l) b) Wie hoch ist die Entartung dieser Zust¨ande, d.h. wieviele verschiedene Zust¨ande gibt es jeweils zu einer Energie? a) Die maximale Wellenl¨ange im Kastenpotential und der dazugeh¨orige minimale Wellenvektor ist: λmax = 2l π kmin = l Erlaubt sind in jeder Raumrichtung Vielfache von kmin , d.h k = nkmin mit n = 1, 2, 3... Die Energien sind 2 h ¯2 k 2m h ¯2 h ¯2 2 2 = k + ky = 2m x 2m h ¯2 k 2 + ky2 + kz2 = = 2m x E = π 2 2 nx + n2y (2D) l h ¯2 π 2 2 nx + n2y + n2z (3D) 2m l Damit lauten die Energien (multipliziert mit h2 /8ml2 ): n E 2D (1,1),(2,1),(2,2) 2,5,8 3D (1,1,1),(2,1,1),(2,2,1) 3,6,9 (2 Punkte) b) Die Entartung f¨ ur die Zust¨ande ist: E n Entartung 2D 2 (1,1) 1 5 (2,1),(1,2) 2 8 (2,2) 1 3D 3 (1,1,1) 1 6 (2,1,1),(1,2,1),(1,1,2) 3 9 (2,2,1),(2,1,2),(1,2,2) 3 (nur die drei energetisch tiefsten Zust¨ande zu nennen w¨are auch eine g¨ ultige Antwort) (2 Punkte) Aufgabe 2: a) Nennen Sie einen Satz primitiver Gittervektoren f¨ ur ein bcc-Gitter mit Kantenl¨ange a der kubischen Einheitszelle. b) Zeigen Sie, dass diese Vektoren wirklich primitiv sind (Volumen!). c) Berechnen Sie die zugeh¨origen reziproken Gittervektoren. a) Z.B.       1 0 1/2 a1 = a  0  ; a2 = a  1  ; a3 = a  1/2  0 0 1/2 (1 Punkt) b) Das Volumen der daraus gebildeten Einheitszelle ist:    1 1/2 1 V = a1 (a2 × a3 ) =  0   0  a3 = a3 2 0 −1/2 Die kubische Einheitszelle enth¨alt 2 Gitterpunkte; die aus a1 , a2 und a3 gebildete Zelle enth¨alt also einen Gitterpunkt und ist damit primitiv. Die gew¨ahlten Gittervektoren m¨ ussen damit auch primitiv sein. (2 Punkte) c) Es ist   1/2 4π  0  b1 = 2π(a2 × a3 )/V = a −1/2   0 4π  −1/2  b2 = 2π(a3 × a1 )/V = a −1/2   0 4π   0 b3 = 2π(a1 × a2 )/V = a 1 (1 Punkt) Aufgabe 3: Wir betrachten die Ebene in einem kubisch raumzentrierten Gitter (mit Kantenl¨ange a der kubischen Einheitszelle), welche durch die Punkte (0,0,0), (0,0,a) und (a,a,a/2) verl¨auft. a) Wie lauten die Miller-Indizes der dazugeh¨origen Ebenenschar? b) Wie groß ist der Abstand der Ebenen? c) Wie lautet der dazugeh¨orige reziproke Gittervektor? d) Welche L¨ange hat dieser Vektor? a) Die genannte Ebene verl¨auft durch den Ursprung; die erste dazu parallele Ebene in negativer x-Richtung schneidet die x-Achse bei -a, die y-Achse bei a und die z-Achse gar nicht. Die Millerindizes sind also: (h, k, l) = (−1/1, 1/1, 1/∞) = (−1, 1, 0) (1 Punkt) b) Der Ebenenabstand ist: d= √ h2 a a =√ 2 2 +k +l 2 (1 Punkt) c) Der zu der Ebenenschar geh¨orige reziproke Gittervektor G (f¨ ur den exp(iGr) = 1 u ¨berall auf den Ebenen gilt) ist     h −1 2π   2π  k 1  G= = a a l 0 (1 Punkt) d) Die L¨ange des Vektors ist: G = 2π √ 2 a (1 Punkt) (der reziproke Gittervektor steht senkrecht auf den durch ihn beschriebenen Ebenen; seine L¨ange ist 2π/d) Aufgabe 4: Ein bcc Kristall mit einer Kantenl¨ange a=6˚ A der kubischen Einheitszelle wird mit R¨ontgenlicht der Wellenl¨ange λ=7.5˚ A bestrahlt. a) Nennen Sie alle reziproken Gittervektoren , die (bei entsprechender Orientierung des Kristalls) zur elastischen Beugung beitragen k¨onnen. b) W¨ahlen Sie einen dieser Vektoren aus, und geben Sie ein Paar von Wellenvektoren und an, welches f¨ ur dieses die Beugungsbedingung erf¨ ullt. a) Bei der elastischen Beugung gilt ∆k = G, also G ≤2 k also 2π 2π √ 2 h + k 2 + l2 ≤ 2 a λ Da hier λ = 1.25a ist, gilt h2 + k 2 + l2 ≤ 2.56 Dies ist im fcc-Gitter (das reziproke Gitter des bcc-Gitters im Ortsraum) nur erf¨ ullt f¨ ur: (h, k, l) = (2, 0, 0); (−2, 0, 0); (0, 2, 0); (0, −2, 0); (0, 0, 2); (0, 0, −2); (1, 1, 0); (−1, 1, 0); (1, −1, 0); (−1, −1, 0); (1, 0, 1); (−1, 0, 1); (1, 0, −1); (−1, 0, −1); (0, 1, 1); (0, −1, 1); (0, 1, −1); (0, −1, −1) (2 Punkte) Die triviale L¨osung (0,0,0) kann man auch nennen, wenn man will; diese beschreibt den Fall, dass keine Beugung stattfindet. b) Z.B.    2 2π   π 0 ; k=  G= a a 0   −1 π (2a/λ)2 − 1  ; k =  a 0  1 (2a/λ)2 − 1  0 Dann gilt k −k =G (2 Punkte) Aufgabe 5: a) Leiten Sie die Formeln f¨ ur den Fermi-Wellenvektor und die Fermi-Energie f¨ ur ein zweidimensionales Elektronengas mit Fl¨achendichte η (Elektronen pro Fl¨ache) her? (Tip: beginnen Sie mit der Zustandsdichte im k-Raum) b) Wie ver¨andern sich kF und EF , wenn sich die Fl¨achendichte verdoppelt? a) Wir betrachten einen quadratischen Ausschnitt mit Kantenl¨ange L. Die erlaubten k-Vektoren nx sind k = 2π/L ; im k-Raum besetzt also jeder erlaubte Zustand eine Fl¨ache von (2π/L)2 . ny Die Zahl der Elektronen im Ausschnitt ist Ne = ηL2 ; je zwei besetzen einen k-Zustand. Bei T=0 wird im k-Raum eine Kreisscheibe besetzt mit Radius kF ; f¨ ur die Zahl der darin enthaltenen Zust¨ande gilt: πkF2 η 1 = Ne = L2 Nk = 2 (2π/L) 2 2 also kF = 2πη Die dazugeh¨orige Fermi-Energie ist EF = h ¯2 2 h ¯2 kF = πη 2m m (3 Punkte) b) Bei Verdopplung der Dichte nimmt kF um einen Faktor √ 2 und EF um einen Faktor 2 zu. (1 Punkt) (Bemerkung: die Herleitung nimmt f¨ ur die Bestimmung der k periodische Randbedingungen an und damit Wellenfunktionen der Form exp(ikx) an, da man einen virtuellen Ausschnitt betrachtet, an dessen Rand die Wellenfunktionen nicht unbedingt den Wert Null haben m¨ ussen. Geht man dagegen von den in Aufgabe 1 verwendeten ”harten” Randbedingungen eines Potentials mit unendlich hohen W¨anden aus, und damit Wellenfunktionen der Form sin(kx) bzw. cos(kx), bekommt man kmin = π/L, also eine Fl¨ache pro Zustand von (π/L)2 und scheinbar ein anderes Ergebnis. Da aber bei trigonometrischen Funktionen (im Gegensatz zur Exponentialfkt.) Zust¨ande mit k und -k nicht linear unabh¨angig sind, z¨ahlen nur positive k-Werte (ein Viertel der Kreisscheibe). Die Gesamtzahl der Zust¨ande ist dann Nk = πkF2 /4(π/L)2 , also genau wie oben. Es ergeben sich damit dieselben Werte f¨ ur kF und EF ). (2 Punkte) Aufgabe 6: Wir betrachten eine lineare Kette aus drei Atomsorten (mit streng periodischer Abfolge -12-3-1-2-3- usw.); der Abstand benachbarter Atome sei a, die Federkonstante der Bindungen D. a) Wie groß ist die Einheitszelle, wenn alle Atome die gleiche Masse haben (und damit als identisch angesehen werden k¨onnen), wie groß bei verschiedenen Massen? Wie groß ist die 1. Brillouinzone in beiden F¨allen? b) Schreiben sie die gekoppelten Differentialgleichungen f¨ ur die Auslenkung der drei Atomsorten auf. c) Skizzieren Sie (ohne sie zu berechnen!) den Verlauf der Phononendispersionskurven f¨ ur identische, f¨ ur nur sehr wenig verschiedene und f¨ ur deutlich verschiedene Massen (zumindest f¨ ur die beiden ersten F¨alle ist der Verlauf eindeutig) a) Gr¨oße der Einheitszelle: a (alle Atome gleich); 3a (Atome verschieden) Gr¨oße der 1. Brillouinzone: diese ist das Intervall im k-Raum [−π/a, π/a] (alle Atome gleich); [−π/3a, π/3a] (Atome verschieden). Die Ausdehnung ist also 2π/a und 2π/3a. (1 Punkt) b) Wenn uin die Auslenkung des i-ten Atoms in der n-ten Einheitszelle beschreibt, lauten die Differentialgleichungen: m1 u¨1n = D(u2n − u1n ) − D(u1n − u3(n−1) ) m2 u¨2n = D(u3n − u2n ) − D(u2n − u1n ) m3 u¨3n = D(u1(n+1) − u3n ) − D(u3n − u2n ) (1 Punkt) c) Bei fast identischen Massen bleibt die Dispersionfunktion der linearen Kette ( 4D/m sin ka/2) gleich und wird nur in die auf ein Drittel geschrumpfte 1. Brillouinzone geschoben, d.h. hier erh¨alt man drei Zweige (andere Begr¨ undung: eine dreiatomige Basis hat drei Freiheitgrade, also erh¨alt man drei Moden). Bei deutlich verschiedenen Massen spalten die Dispersionskurven stark auf, d.h. die Entartung der Zweige bei k=0 und π/a wird deutlich aufgehoben. ω(k) fast ident. Massen ident. Atome verschiedene Massen π/3a π/a k