Einfu ¨ hrung in die Quantentheorie Hausu ¨ bung, Blatt 2 SoSe 2015 Abgabe: 30.04.2015 [H4] Messwerte einer Messapparatur (3 Punkte) Einer Messapparatur entspreche in der {|xi, |yi}-Basis die Matrix 1 2(1 − i) . 1 . A = −1 3 2(1 + i) (a) Welche Messwerte a sind m¨oglich? Man bestimme die zugeh¨origen (normierten) Eigenzust¨ande |φa i. (b) Mit welchen Wahrscheinlichkeiten Wa werden die Werte a erhalten, wenn sich das System unmittelbar vor der Messung im Zustand 1 |ψi = √ i|xi + |yi 2 befindet? (c) Berechnen Sie bez¨ uglich |ψi den mittleren Messwert hAi und die Schwankung ∆A, wobei (∆A)2 = h(A − hAi)2 i. [H5] Kommutierende Operatoren (4 Punkte) In einem dreidimensionalen komplexen Hilbertraum H seien zwei Operatoren durch ihre Wirkung auf die Vektoren der orthonormierten Basis {|e1 i, |e2 i, |e3 i} folgendermaßen definiert √ √ A|e1 i = 3|e1 i − i 2|e2 i + |e3 i , B|e1 i = |e1 i + i 2|e2 i + |e3 i , √ √ √ √ A|e2 i = i 2|e1 i + 2|e2 i − i 2|e3 i , B|e2 i = −i 2|e1 i + i 2|e3 i , √ √ A|e3 i = |e1 i + i 2|e2 i + 3|e3 i , B|e3 i = |e1 i − i 2|e2 i + |e3 i , (a) Man gebe die den Operatoren A und B bzgl. dieser Basis zugeordneten Matrizen an. (b) Zeigen Sie, dass die Operatoren A und B hermitesch sind und dass sie miteinander kommutieren. (c) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A und B, deren Vielfachheiten sowie eine Orthonormalbasis {|f1 i, |f2 i, |f3 i} simultaner Eigenzust¨ande von A und B. Hinweis: Betrachten Sie das Eigenwertproblem zu A. Bestimmen Sie zuerst den Eigenvektor |f1 i zum einfachen Eigenwert. Ein Eigenvektor zum doppel√ 1 ten Eigenwert lautet |f2 i = 2 (|e1 i − i 2|e2 i − |e3 i). Konstruieren Sie den dritten Eigenvektor orthogonal zu |f1 i und |f2 i. (d) Welche Matrizen sind A und B bzgl. der Basis {|f1 i, |f2 i, |f3 i} zugeordnet? [H6] Dichtematrix fu ¨ r einen teilweise polarisierten Lichtstrahl (3 Punkte) Man betrachte einen teilweise polarisierten Lichtstrahl. Es seien pR und pL der Anteil der rechtspolarisierten bzw. linkspolarisierten Photonen. (a) Wie lautet die Dichtematrix in der Basis {|Ri, |Li}? (b) Wie lautet die Dichtematrix in der Basis {|xi, |yi}? (c) Man u ufe ρ2 6= ρ und trρ2 < 1. ¨berpr¨