Cours fractions 4eme

Chapitre 11 :
Les fractions
I) Vocabulaire
Soient a et b deux nombres décimaux avec b ≠ 0.
Le quotient de a par b se note a ÷ b, ou, en écriture fractionnaire,
a
.
b
a est le numérateur et b est le dénominateur.
a
est une fraction.
b
Le quotient de a par b est le nombre qui, multiplié par b donne a.
Lorsque a et b sont des nombres entiers, on dit que
xb=a
II) Simplification de quotients
Propriété :
Si on multiplie ou si on divise le numérateur et le dénominateur d’un quotient par un même nombre
non nul alors on obtient un quotient égal.
Autrement dit, pour tous nombres a, k et b (b non nul)
×
×
=
÷
et
÷
=
Simplifier une fraction, c’est trouver une fraction égale avec le numérateur et le dénominateur les
entiers les plus petits possibles.
On se sert de la propriété précédente.
Exemple : Simplifie la fraction
.
1) On divise le numérateur et le dénominateur par le même nombre (il faut connaître ses tables !)
÷
=
2)
÷
÷
=
=
÷
=
On peut aussi faire apparaître le même nombre au numérateur et au dénominateur pour les
simplifier.
=
×
×
=
× ×
×
×
=
III)
Addition et soustraction de quotients
Propriété :
Pour additionner (ou soustraire) des nombres en écriture fractionnaire ayant le même dénominateur,
on additionne (ou on soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur commun.
+ =
Si les nombres n’ont pas le même dénominateur, il faut les mettre au même dénominateur.
Exemples :
A=
+
=
=
B=
−
=
C=
+
-2
×
C=
+
×
C=
+
C=
=
×
×
-
×
×
−
÷
÷
=
IV) Multiplication de quotients
Propriété :
Pour calculer le produit de deux nombres en écriture fractionnaires, on multiplie les numérateurs
entre eux et les dénominateurs entre eux.
Si b ≠ 0 et d ≠ 0 alors
!
"
×"
#
!×#
× =
Il est toujours préférable de faire des simplifications avant de faire le calcul.
Exemples :
14 -4
×
=
3 7
22
16
- ×(- ) =
4
12
5 -2
×
=
9 9
4×
9
=
-2
Quand utiliser la multiplication dans un problème ?
Rappel : le double de 7 =
Le triple de =
$
La moitié de …… =
Le quart de ……
Les ……… de …….. =
Dans les énoncés, les mots « de », « d’ », « des »,…, renvoient à un produit.
Exemple : Les de 250 g
$
->
V) Inverse d’un nombre
Exemples :
L’inverse de …
x
3
2
0,4
7
1
2
est …
1
x
1
3
1
2
1
0,4
1
7
2
1
1
1
1
1
x×
1
x
7
12
12
7
1
21
1
1
0
21
0 n’a pas d’inverse ↑
Définition :
Deux nombres sont inverses l’un de l’autre si leur produit est égal à 1.
Exemples :
•
Les nombres 3 et 0,333 sont-ils inverses l’un de l’autre ?
Non, car 3 x 0,333 = 0,999 ≠ 1
•
Mais 0,25 est l’inverse de 4 car 0,25 x 4 = 1. On note 4-1 = 0,25
Propriétés :
•
L’inverse d’un nombre x différent de 0 est
•
Tout nombre en écriture fractionnaire
1
. On peut aussi e noté x -1.
x
(a ≠ 0 et b ≠ 0) a un inverse qui est
.
VI) Quotient de deux nombres
1)
Propriété :
Diviser par un nombre, c’est multiplier par son inverse.
1
% ( % )
% ÷ & = % × ÷ = ×
&
& ) & (
Démonstration : Prouvons que N : x = N ×
N×
$
1 N ×1 N
=
= = N:x
x
x
x
1
x
÷ =
2) Règle des signes
« Diviser, c’est multiplier », ainsi :
La règle des signes s’applique aussi à la division et en particulier aux fractions.
−a a
=
−b b
Exemples :
−a
a
a
=
=−
b
−b
b
a)
b)
−4 4
=
−5 5
−4 4
4
=
=−
5
−5
5
VII)
Produits en croix
Propriétés :
•
Si deux nombres en écriture fractionnaire sont égaux alors leurs produits en croix
sont égaux.
•
Réciproquement, si les produits en croix de deux nombres en écriture
fractionnaire sont égaux alors ces deux nombres sont égaux.
Autrement dit :
a, b, c et d sont quatre nombres relatifs avec b ≠ 0 et d ≠ 0.
a
c
Dire que
=
revient à dire que ad = bc.
b
d
Preuve : On multiplie par db de chaque côté du signe =.
Remarque : Pour montrer que deux nombres en écriture fractionnaire ne sont pas égaux, il suffit de
démontrer que leurs produits en croix sont différents.
Objectifs du Socle Commun :
•
•
•
Savoir additionner, soustraire ou multiplier deux nombres en écriture fractionnaire.
Donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
Connaître le vocabulaire (numérateur, dénominateur, …)
L’inverse de
…
est …
x
3
1
x
1
3
x×
L’inverse de
…
est …
L’inverse de
…
est …
3
1
x
1
3
L’inverse de
…
est …
3
1
x
1
3
L’inverse de
…
est …
3
1
x
1
3
0
7
12
1
21
0
7
12
1
21
0
7
12
1
21
0
7
12
1
21
0
2
2
0,4
1
7
2
2
0,4
1
7
2
2
0,4
1
7
2
1
x
x
3
1
x
1
3
x×
1
21
1
x
x
x×
1
7
7
12
1
x
x
x×
0,4
1
x
x
x×
2
1
x
2
0,4
1
7
2

Download Report