Chapitre 11 : Les fractions I) Vocabulaire Soient a et b deux nombres décimaux avec b ≠ 0. Le quotient de a par b se note a ÷ b, ou, en écriture fractionnaire, a . b a est le numérateur et b est le dénominateur. a est une fraction. b Le quotient de a par b est le nombre qui, multiplié par b donne a. Lorsque a et b sont des nombres entiers, on dit que xb=a II) Simplification de quotients Propriété : Si on multiplie ou si on divise le numérateur et le dénominateur d’un quotient par un même nombre non nul alors on obtient un quotient égal. Autrement dit, pour tous nombres a, k et b (b non nul) × × = ÷ et ÷ = Simplifier une fraction, c’est trouver une fraction égale avec le numérateur et le dénominateur les entiers les plus petits possibles. On se sert de la propriété précédente. Exemple : Simplifie la fraction . 1) On divise le numérateur et le dénominateur par le même nombre (il faut connaître ses tables !) ÷ = 2) ÷ ÷ = = ÷ = On peut aussi faire apparaître le même nombre au numérateur et au dénominateur pour les simplifier. = × × = × × × × = III) Addition et soustraction de quotients Propriété : Pour additionner (ou soustraire) des nombres en écriture fractionnaire ayant le même dénominateur, on additionne (ou on soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur commun. + = Si les nombres n’ont pas le même dénominateur, il faut les mettre au même dénominateur. Exemples : A= + = = B= − = C= + -2 × C= + × C= + C= = × × - × × − ÷ ÷ = IV) Multiplication de quotients Propriété : Pour calculer le produit de deux nombres en écriture fractionnaires, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Si b ≠ 0 et d ≠ 0 alors ! " ×" # !×# × = Il est toujours préférable de faire des simplifications avant de faire le calcul. Exemples : 14 -4 × = 3 7 22 16 - ×(- ) = 4 12 5 -2 × = 9 9 4× 9 = -2 Quand utiliser la multiplication dans un problème ? Rappel : le double de 7 = Le triple de = $ La moitié de …… = Le quart de …… Les ……… de …….. = Dans les énoncés, les mots « de », « d’ », « des »,…, renvoient à un produit. Exemple : Les de 250 g $ -> V) Inverse d’un nombre Exemples : L’inverse de … x 3 2 0,4 7 1 2 est … 1 x 1 3 1 2 1 0,4 1 7 2 1 1 1 1 1 x× 1 x 7 12 12 7 1 21 1 1 0 21 0 n’a pas d’inverse ↑ Définition : Deux nombres sont inverses l’un de l’autre si leur produit est égal à 1. Exemples : • Les nombres 3 et 0,333 sont-ils inverses l’un de l’autre ? Non, car 3 x 0,333 = 0,999 ≠ 1 • Mais 0,25 est l’inverse de 4 car 0,25 x 4 = 1. On note 4-1 = 0,25 Propriétés : • L’inverse d’un nombre x différent de 0 est • Tout nombre en écriture fractionnaire 1 . On peut aussi e noté x -1. x (a ≠ 0 et b ≠ 0) a un inverse qui est . VI) Quotient de deux nombres 1) Propriété : Diviser par un nombre, c’est multiplier par son inverse. 1 % ( % ) % ÷ & = % × ÷ = × & & ) & ( Démonstration : Prouvons que N : x = N × N× $ 1 N ×1 N = = = N:x x x x 1 x ÷ = 2) Règle des signes « Diviser, c’est multiplier », ainsi : La règle des signes s’applique aussi à la division et en particulier aux fractions. −a a = −b b Exemples : −a a a = =− b −b b a) b) −4 4 = −5 5 −4 4 4 = =− 5 −5 5 VII) Produits en croix Propriétés : • Si deux nombres en écriture fractionnaire sont égaux alors leurs produits en croix sont égaux. • Réciproquement, si les produits en croix de deux nombres en écriture fractionnaire sont égaux alors ces deux nombres sont égaux. Autrement dit : a, b, c et d sont quatre nombres relatifs avec b ≠ 0 et d ≠ 0. a c Dire que = revient à dire que ad = bc. b d Preuve : On multiplie par db de chaque côté du signe =. Remarque : Pour montrer que deux nombres en écriture fractionnaire ne sont pas égaux, il suffit de démontrer que leurs produits en croix sont différents. Objectifs du Socle Commun : • • • Savoir additionner, soustraire ou multiplier deux nombres en écriture fractionnaire. Donner le résultat sous forme de fraction irréductible. Connaître le vocabulaire (numérateur, dénominateur, …) L’inverse de … est … x 3 1 x 1 3 x× L’inverse de … est … L’inverse de … est … 3 1 x 1 3 L’inverse de … est … 3 1 x 1 3 L’inverse de … est … 3 1 x 1 3 0 7 12 1 21 0 7 12 1 21 0 7 12 1 21 0 7 12 1 21 0 2 2 0,4 1 7 2 2 0,4 1 7 2 2 0,4 1 7 2 1 x x 3 1 x 1 3 x× 1 21 1 x x x× 1 7 7 12 1 x x x× 0,4 1 x x x× 2 1 x 2 0,4 1 7 2
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