Résolutions attendues et analyses, niveaux 3 à 10

23e RALLYE MATHÉMATIQUE TRANSALPIN
Entraînement (décembre 2014)
©ARMT 2014
No
Titre
3 4 5 6 7 8 9 Ar. Alg. Ge. Lo. Co. Orig.
1.
Du plus petit au plus grand
19e RMT I
3
2.
Le pirate barbenoire (I)
19e RMT II
3 4
3.
Le jeu d’Yvan
20e RMT I
3 4
4.
Le robot Arthur
20e RMT II
3 4
5.
Les couleurs des chapeaux
20e RMT II
3 4 5
6.
Etoile magique
20e RMT Finale
4 5 6
7.
Trois amis et leurs dessins
20e RMT II
4 5 6
8.
Les bornes de la via Aurelia
19e RMT Finale
5 6
X
SI
9.
Un défi pour André
20e RMT II
5 6 7
X
SI
10.
Partages
19e RMT Finale
5 6 7
X
LU
11.
Clous et fils élastiques
19e RMT I
5 6 7
X
g. gplane
12.
Pinocchio le fameux menteur
20e RMT I
13.
Le parcours
19e RMT finale
7 8 9 X
14.
Chasse au trésor
19e RMT II
7 8 9
15.
Le cube
18e RMT II
7 8 9
16.
Jumeaux chanceux
20e RMT I
8 9 X
X
17.
Marché aux puces
19e RMT II
8 9 X
X
18.
La spirale
19e RMT finale
8 9 X
X
Ar : Arithmétique
Géo : Géométrie
Alg : Algèbre
Lo : Logique
X
X
X
FC
X
fj
X
GE, RZ
X
BB
X
RZ
X
PR
X
6 7 8
X
Co : Combinatoire
Grp geop
X
X
X
AO
CA
X
RV
X
2eRMTg.
gsp
X
X
SI
X
PR/fj
23e RALLYE MATHÉMATIQUE TRANSALPIN
Entraînement (décembre 2014)
©ARMT 2014
1. DU PLUS PETIT AU PLUS GRAND (Cat. 3)
Cinq enfants comparent leurs tailles. Ils font les remarques suivantes :
- Michel est plus petit qu’Anne.
- Paul est plus grand que Camille.
- Louis est plus petit que Michel.
- Camille est plus grande qu’Anne.
Écrivez les prénoms des cinq enfants de gauche à droite, du plus petit au plus grand.
ANALYSE A PRIORI
Domaine de connaissances
- Logique : relation d’ordre, déduction
Analyse de la tâche
- Comprendre qu’il y a deux relations opposées dans les données « plus grand » et « plus petit » et qu’il faut
les exprimer avec une seule des deux ; par exemple Michel est plus petit qu’Anne, mais Anne est plus petite
que Camille.
- Traiter les informations dans l’ordre où elles sont données : Michel - Anne, puis Camille - Paul, puis Louis Michel, puis Anne - Camille et rassembler ces conditions : Louis - Michel - Anne - Camille – Paul ;
Ou, appliquer la « transitivité » de la relation d’ordre « est plus petit que » aux données ainsi classées et
interprétées :
• Louis est plus petit que Michel et Michel est plus petit que Anne, on en déduit que Louis est plus petit que
Anne;
• Anne est plus petite que Camille et Camille est plus petite que Paul donc Anne est plus petite que Paul.
On en conclut que Louis est le plus petit de tous parce qu’il est aussi plus petit que Camille et Paul et ainsi on
peut ordonner les enfants : Louis - Michel - Anne - Camille - Paul.
Attribution des points
4 Classement correct : Louis, Michel, Anne, Camille, Paul
3 Classement en ordre inverse (les noms sont écrits de droite à gauche : P, C, A, M, L)
2 Trois des quatre données sont respectées ; l’une ne l’est pas ou l’un des enfants ne figure pas dans le
classement (par exemple, si la donnée « Paul est plus grand que Camille » n’est pas respectée : L, M, A, C
figurent dans cet ordre et P peut se situer n’importe où avant C ou ne pas figurer dans le classement)
1 Deux conditions seulement sont respectées
0 Une seule condition est respectée,
ou dessins ou écritures représentant les différentes données, mais sans rapports entre elles,
ou incompréhension du problème
Niveau : 3
Origine : Franche-Comté
23e RALLYE MATHÉMATIQUE TRANSALPIN
Entraînement (décembre 2014)
©ARMT 2014
2. LE PIRATE BARBENOIRE (I) (Cat. 3, 4)
Le pirate Barbenoire a caché un sac de pièces d’or d’une valeur totale de 500 écus. Dans le
sac il y a exactement quatre sortes de pièces : des pièces de 5 écus, de10 écus, de 20 écus et
de 50 écus.
Barbenoire se rappelle qu’il y a 10 pièces de 5 écus et 10 pièces de 10 écus.
D’après vous, combien peut-il y avoir de pièces de 20 écus et combien de pièces de 50
écus dans le sac de Barbenoire ?
Donnez toutes les possibilités et expliquez comment vous les avez trouvées.
ANALYSE A PRIORI
Domaines de connaissances
- Arithmétique : addition, soustraction, multiplication, division avec des nombres naturels
- Combinatoire
Analyse de la tâche
- Comprendre les enjeux : les « écus » sont des unités de monnaie comme les « euros » ; distinguer le
« nombre » de pièces des « valeurs » des pièces (la valeur totale de 500 écus ne signifie pas qu’il y a 500
pièces) ; le sac est caché et on ne peut plus voir ce qu’il y a dedans ; on peut s’attendre à avoir plusieurs
réponses …
- Calculer la valeur des pièces de 5 et de 10 écus, soit 150 écus (10 x 5 + 10 x 10) et en déduire que le reste a
une valeur de 350 écus (500 – 150).
- Comprendre qu’il faut obtenir la somme de 350 écus en utilisant seulement des monnaies de 20 et de 50 écus
et qu’il peut y avoir plusieurs combinaisons possibles de pièces de 20 et 50 écus pour arriver à une somme
de 350.
- Procéder de manière organisée. Par exemple, supposer qu’il existe une seule pièce de 50 écus et en déduire
qu’il y a 15 pièces de 20 écus (en effet (350 – 50) : 20 = 15).
- Comprendre, en poursuivant cette procédure, que le nombre de pièces de 50 écus ne peut être égal ni à 2, ni à
4, ni à 6 (dans ces cas-là on ne peut pas compléter avec des pièces de 20 écus) et en déduire qu’avec 3 pièces
de 50 écus on a 10 pièces de 20 écus (en effet (350 – 150) : 20 = 10), ou qu’avec 5 pièces de 50 écus on a 5
pièces de 20 écus (en effet (350 – 250) : 20 = 5).
- Se rappeler que Barbenoire a dit qu’il y avait des pièces de chaque sorte et en déduire que la solution 7 pièces
de 50 écus et 0 pièce de 20 écus est inacceptable.
Ou bien : procéder par essais non organisés, mais dans ce cas il est possible qu’on ne trouve pas les trois
solutions.
Attribution des points
4 Réponse correcte (1 pièce de 50 et 15 de 20 ou 3 pièces de 50 et 10 de 20 ou 5 pièces de 50 et 5 de 20) avec
explications et calculs clairs
3 Les trois possibilités correctes sans explication
ou les trois possibilités correctes avec la possibilité erronée : 0 pièce de 20 écus et 7 pièces de 50 écus
ou deux possibilités correctes sans autre solution erronée, avec explications
2 Une seule possibilité correcte sans autre solution erronée
ou deux possibilités correctes et une erronée
1 Début de raisonnement correct ou une combinaison correcte trouvée et une ou plusieurs autres erronées
0 Incompréhension du problème
Niveaux : 3, 4
Origine : Valle D’Aosta
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Entraînement (décembre 2014)
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3. LE JEU D’YVAN (Cat. 3, 4)
Yvan a découpé huit pièces identiques dans une feuille de carton, qui est grise d’un côté et
blanche de l’autre. Il observe que toutes les pièces, lorsqu’on voit leur face grise, ressemblent
à des Y comme la première lettre d’Yvan.
Yvan a placé cinq de ses pièces dans la grille quadrillée ci-dessous : quatre avec la face grise
visible et une avec la face blanche visible. Mais il aurait pu en placer plus.
Combien de pièces peut-on placer au maximum sur cette grille, avec le plus possible de
faces grises visibles ?
Chaque pièce doit recouvrir exactement cinq carrés de la grille et ne peut pas recouvrir un
carré déjà occupé par une autre pièce.
Dessinez ou collez le plus grand nombre possible de pièces sur la grille ci-dessous, avec le
plus possible de faces grises visibles.
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Entraînement (décembre 2014)
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ANALYSE A PRIORI
Domaine de connaissances
- Géométrie : déplacement de figures, pavage sur quadrillage, rotation et translation
Analyse de la tâche
- Essayer de placer les pièces de manière « économique » (pour éviter les espaces vides) et se rendre compte
qu’il est très facile d’en placer 6. Si par exemple on les assemble par deux, on peut placer côte à côte trois
rectangles de 3 x 4 (fig. 1).
fig 1
fig 2
fig 3
- Poursuivre les essais jusqu’à pouvoir placer une septième pièce, éventuellement avec une face blanche (fig.
2) et à obtenir toutes les pièces avec une face grise, (fig. 3) par dessins ou par découpages.
- Les recherches peuvent être stimulées par le comptage des carrés. 40 carrés de la grille permettraient au
maximum de placer 8 pièces de 5 carrés chacune. Avec 6 pièces, 10 carrés ne sont pas recouverts, ce qui
incite à chercher le moyen de placer une 7e pièce. Mais la forme ne permet pas de recouvrir toute la grille et
que 5 carrés resteront vides (fig 2 et fig 3)
Une méthode efficace consiste à découper 8 pièces et de chercher à les placer.
Attribution des points
4 7 pièces dessinées ou collées, distinctement, faces grises visibles (respectant l’orientation du « Y » )
3 7 pièces dessinées ou collées mais avec une face blanche
ou 6 pièces dessinées ou collées avec la face grise visible
2 7 pièces dessinées ou collées, avec plus d’une face blanche
ou 6 pièces dessinées ou collées avec une seule face blanche
1 5 pièces dessinées correctement avec face grise visible
ou 6 sans tenir compte de la couleur
0 Les pièces se superposent ou ne recouvrent pas 5 carrés (dépassement de la grille)
ou incompréhension du problème
Niveaux : 3, 4
Origine : Genova, Rozzano
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Entraînement (décembre 2014)
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4. LE ROBOT ARTHUR (Cat. 3, 4)
Le robot Arthur se déplace sur les lignes de la
grille reproduite ici, en faisant des pas toujours
de la même longueur.
Pour se déplacer de A vers B il peut suivre
différents chemins.
B
A
B
Lorsqu’il suit ce chemin, il fait 42 pas :
A
B
Par contre, il fait 30 pas quand il suit cet autre
chemin :
A
B
Combien de pas fait le robot Arthur quand
il suit ce chemin-là ?
Expliquez comment vous avez trouvé votre
réponse
A
ANALYSE A PRIORI
Domaines de connaissances
- Arithmétique : les quatre opérations
- Géométrie : parcours
Analyse de la tâche
- Comprendre que le robot Arthur fait toujours un nombre entier de pas pour parcourir un trait de grille et que
pour parcourir des traits égaux il fera le même nombre de pas, parce que ses pas ont toujours la même
longueur.
- Déduire du premier chemin, composé de 7 traits obliques tous égaux, que chaque trait vaut 6 pas (42 : 7).
- Observer le second chemin et se rendre compte qu’il est formé de 3 traits obliques et de 3 traits horizontaux.
- En déduire que pour parcourir les trois traits obliques du second chemin, Arthur fera 18 pas (6 × 3) et que
pour parcourir les traits horizontaux il en fera 12 (30 – 18) ; par conséquent chaque trait horizontal vaut 4 pas
(12 : 3).
- Conclure que pour parcourir le troisième chemin, composé de 5 traits obliques et 1 trait horizontal, Arthur
fera 34 pas (6 × 5 + 1 × 4).
Ou bien, observer que le second chemin est formé de 3 traits horizontaux et de 3 traits obliques et en déduire que
pour parcourir 1 trait oblique et 1 trait horizontal Arthur fait 10 pas (30 : 3). Procéder par essais pour trouver
combien de pas vaut chacun des deux traits (5-5, 6-4, 7-3, 8-2, 9-1) et découvrir que l’unique possibilité
compatible avec le premier chemin est 6 pas pour le trait oblique et 4 pas pour l’horizontal. Conclure
qu’Arthur fait 34 pas pour le troisième chemin.
Attribution des points
4
Réponse correcte (34 pas) avec des explications claires
3
Réponse correcte avec des explications peu claires
2
Raisonnement correct mais avec une erreur de calcul
1
Début de raisonnement correct
0
Incompréhension du problème
Niveaux : 3, 4
Origine : Bourg-en-Bresse
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Entraînement (décembre 2014)
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5. LES COULEURS DES CHAPEAUX (Cat. 3, 4, 5)
Quatre amies se rencontrent, chacune porte un chapeau dont la couleur correspond à son nom
:
Blanche porte un chapeau blanc, Violette porte un chapeau violet, Rose un chapeau rose et
Bleuette un chapeau bleu.
Les quatre amies s’amusent à s’échanger leurs chapeaux et, à un certain moment, elles
s’aperçoivent que :
- une seule porte encore le chapeau de la couleur correspondant à son nom,
- Blanche porte le chapeau de Bleuette,
- Rose ne porte pas le chapeau de Violette.
Après ces échanges, quelles peuvent être les couleurs des chapeaux que portent Violette,
Rose et Bleuette ?
Donnez vos réponses et montrez les essais que vous avez faits pour les trouver.
ANALYSE A PRIORI
Domaine de connaissances
- Logique : gestion des informations, utilisation de la négation.
Analyse de la tâche
- Comprendre qu’il faut « mettre de l’ordre » et examiner toutes les possibilités de correspondance entre les
filles et les chapeaux. Puisqu’il est difficile de tenir compte des trois informations en même temps, en choisir
prioritairement une (qui semble la plus restrictive) et rédiger l’inventaire des correspondances encore
possibles.
A. Sachant que Blanche porte le chapeau bleu (de Bleuette), il reste six possibilités pour les autres filles :
1) Violette – violet, Rose – rose, Bleuette – blanc
2) Violette – violet, Rose – blanc, Bleuette – rose
3) Violette – rose, Rose – violet, Bleuette – blanc
4) Violette – rose, Rose – blanc, Bleuette – violet
5) Violette – blanc, Rose – violet, Bleuette – rose
6) Violette – blanc, Rose – rose, Bleuette – violet
En tenant compte qu’une seule fille porte le chapeau de sa propre couleur, on peut éliminer les cas où deux
filles portent leur chapeau et les cas où personne n’a son propre chapeau (1, 3, 4, 5). Il reste donc les deux
possibilités 2) et 6).
B. Ou bien, tenir compte des deux informations en même temps : Rose ne porte pas le chapeau de Violette et
Blanche porte le chapeau bleu, en limitant ainsi l’inventaire à 4 possibilités :
Blanche
Violette
Rose
Bleuette
I)
bleu
rose
blanc
violet
II)
bleu
blanc
rose
violet
III)
bleu
violet
rose
blanc
IV)
bleu
violet
blanc
rose
En tenant compte qu’une seule fille a le chapeau de sa propre couleur, on élimine la possibilité qu’il y ait
deux filles portant leur propre chapeau et le cas où personne n’a son propre chapeau (I et III). Il reste les
possibilités II) et IV).
Ou bien, travailler par essais non organisés sans obtenir la certitude d’avoir trouvé toutes les solutions.
Attribution des points
4 Réponse correcte : les 2 possibilités (Violette – blanc, Rose – rose, Bleuette – violet ;
Violette – violet, Rose – blanc, Bleuette – rose), avec tous les essais clairement présentés qui excluent
d’autres possibilités
3 Réponse correcte : les 2 possibilités avec quelques essais qui ne permettent pas de savoir si on a l’unicité
2 Réponse correcte, mais sans essais,
ou une seule des deux possibilités mais avec une procédure claire,
ou une réponse qui tient compte des deux seules conditions
1 Traces d’essais ou une réponse qui tient compte d’une seule condition
0 Incompréhension du problème
Niveaux : 3, 4, 5
Origine : Rozzano
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Entraînement (décembre 2014)
©ARMT 2014
6. ÉTOILE MAGIQUE (Cat. 4, 5, 6)
Dans son livre de calcul, André a trouvé cette étoile. Quelques nombres y sont déjà inscrits.
…
…
…
5
8
9
6
4
7
…
40
…
25
11
Il faut inscrire des nombres entiers dans les cases vides selon les indications suivantes :
 tous les nombres de l’étoile doivent être différents et inférieurs à 20,
 la somme des nombres qui se trouvent dans les triangles gris de l’étoile doit être égale
à la somme des nombres qui se trouvent sur les pointes blanches de l’étoile,
 la somme des cinq nombres de la ligne où sont déjà inscrits 5, 9 et 4 doit être 40,
 la somme des cinq nombres de la ligne où sont déjà inscrits 8, 6 et 7 doit être 25.
De combien de manières différentes André pourra-t-il compléter l’étoile ?
Expliquez comment vous les avez trouvées.
Présentez vos réponses en utilisant une ou plusieurs des étoiles ci-dessous.
5
8
9
6
4
5
7
8
11
5
8
9
6
11
9
6
4
5
7
8
11
4
5
7
8
9
6
11
9
6
4
7
11
4
5
7
8
9
6
11
4
7
23e RALLYE MATHÉMATIQUE TRANSALPIN
Entraînement (décembre 2014)
©ARMT 2014
ANALYSE A PRIORI
Domaine de connaissances
- Arithmétique: addition et soustraction
Analyse de la tâche
- Déterminer la somme des nombres à l’intérieur de l’étoile: 39.
- Puisque la somme des nombres de la deuxième ligne doit être 25, en déduire que la somme des deux nombres
manquants est 25 – (8 + 6 + 7) = 4. Exclure le couple (0 ; 4) parce que le 4 est déjà utilisé et le couple (2 ; 2)
parce qu’il comprend deux fois le même nombre, il ne reste que le couple (1, 3) pour les deux nombres
manquants de la première ligne.
- De même, puisque la somme des nombres de la première ligne doit être 40, en déduire que la somme des
nombres manquants de cette ligne est 40 – (5 + 9 + 4) = 22 et que les deux nombres manquants sont 10 et
12.
- Trouver que le nombre tout en haut de l’étoile est 2 car 39 – (22 + 4 + 11) = 2.
- Les nombres de la deuxième ligne ne pouvant être que 1 et 3, les nombres de la première ligne ne pouvant
être que 10 et 12, il y a 4 étoiles possibles :
2
12
9
5
8
1
4
7
6
10
10
3
1
9
5
8
4
7
6
11
2
2
2
12
10
3
3
5
8
9
4
7
6
12
12
1
3
8
9
6
4
7
11
11
11
5
Attribution des points
4 Réponse correcte (les quatre étoiles) avec explications claires sur la façon dont les nombres ont été trouvés
3 Réponse correcte avec explications incomplètes et éventuellement avec vérifications
ou éventuellement : les cinq nombres trouvés, avec explications, mais avec oubli d’une étoile
2 Réponse correcte (les quatre étoiles) sans aucune explication,
ou les cinq nombres trouvés, avec explications, mais avec oubli de deux ou trois étoiles
ou 4 étoiles vérifiant toutes les conditions à l’exception de celle qui exige que les nombres soient tous
différents, par exemple :
2
2
9
1
5
8
9
6
11
4
7
13
12
3
0
5
8
9
6
11
2
4
7
10
0
4
1
5
9
8
6
11
deux fois le « 9 »
deux fois le « 4 »
avec le « 22 »
1 Une seule étoile sans aucune explication ou début de raisonnement correct
0 Incompréhension du problème
Niveaux : 4, 5, 6
Origine : Parma
4
7
22
3
10
1
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Entraînement (décembre 2014)
©ARMT 2014
7. TROIS AMIS ET LEURS DESSINS (Cat. 4, 5, 6)
Trois amis, Anne, Béa et Charles, ont dessiné ces trois figures sur une feuille de « papier
ponctué » :
La figure d’Anne a la même aire que celle de Béa et le même périmètre que celle de Charles.
Quelle est la figure d’Anne ? Expliquez votre réponse.
Dessinez ensuite à côté des dessins des trois amis une autre figure qui ait la même aire et
le même périmètre que la figure d’Anne.
ANALYSE A PRIORI
Domaine de connaissances
- Géométrie : propriété des figures fermées, comparaisons de mesures de longueurs et d’aires
- Mesures : comparaison « intuitive » entre le côté et la diagonale d'un carré, recherche d'une unité commune
d’aires
Analyse de la tâche
- Observer les périmètres des trois figures et reconnaître qu'il y a deux types de segments, ceux dont la
longueur correspond à un côté (l) d'un « carré » et ceux dont la longueur correspond à sa diagonale (d).
- Pour chaque figure, compter ces deux types de segments et trouver leurs périmètres : l’octogone, 4 d + 4 l ; le
pentagone, 2 d + 8 l ; l’hexagone : 2 d + 8 l, ou faire une mesure avec une règle graduée.
- Trouver les aires des trois figures en comptant les carrés (q) et les demi-carrés : l’octogone, 7 q ; le
pentagone, 7 q ; l’hexagone, 5 q, ou comparer les aires par découpages et superpositions.
- En conclure que la figure d'Anne est le pentagone.
- Donner une explication qui montre comment sont déterminées les aires les périmètres.
- Pour dessiner une figure ayant la même aire et le même périmètre que celle d'Anne, chercher une disposition
de 2 segments de type d et 8 segments de type l qui donne une aire de 7 q. Il y a diverses figures possibles,
comme, par exemple les suivantes :
Attribution des points
4 Réponse complète : la figure d’Anne (le pentagone) est reconnue, avec des explications correctes et
complètes, et dessin d’une figure ayant les mêmes caractéristiques que celle d’Anne
3 Réponse donnant la figure d’Anne, avec des explications incomplètes et dessin correct de la quatrième figure
ou bien la figure d'Anne reconnue avec des explications claires, mais avec un dessin de la quatrième figure
partiellement correct (seulement pour l’aire ou seulement pour le périmètre)
2 Réponse partielle avec deux des trois conditions précédentes (par exemple reconnaissance de la figure
d’Anne avec une explication sans dessin, ou bien reconnaissance de la figure d’Anne avec un dessin correct
sans explication)
1 Reconnaissance de la figure d’Anne sans explication et sans dessin
0 Incompréhension du problème
Niveaux : 4, 5, 6
Origine: Groupe géométrie plane, à partir du problème n° 4 de l’épreuve I du 15 ème RMT
23e RALLYE MATHÉMATIQUE TRANSALPIN
Entraînement (décembre 2014)
©ARMT 2014
8. LES BORNES DE LA VIA AURELIA (Cat. 5, 6)
En Italie, la Via Aurelia est la route numéro 1. Elle est jalonnée de bornes qui indiquent la
distance parcourue depuis Rome, ces bornes sont disposées tous les 100 mètres.
- Il n’y a pas de borne au point de départ de la Via Aurelia, qui est situé au centre de Rome.
- Les bornes sont de deux types : les bornes hectométriques placées tous les 100 mètres et
les bornes kilométriques placées tous les 1000 mètres. Lorsqu’il y a une borne
kilométrique, il n’y a pas de borne hectométrique.
- Entre deux bornes kilométriques successives, il y a donc 9 bornes hectométriques.
Par la Via Aurelia, du centre de Rome jusqu’à la frontière française il y a 697,330 km.
Combien de bornes y a-t-il sur la Via Aurelia entre le centre de Rome et la frontière
française ? Parmi ces bornes, combien sont hectométriques et combien sont
kilométriques ?
Expliquez comment vous avez trouvé vos réponses.
ANALYSE A PRIORI
Domaines de connaissances
- Arithmétique : numération décimale de position, partie entière d’un nombre décimal, calcul sur les nombres
décimaux
- Géométrie et mesures de longueurs : relation entre km, hm et m
Analyse de la tâche
- Comprendre que l’on est dans une situation de numération de base 10.
- Comprendre que, pour chaque kilomètre, il y a 10 bornes (9 bornes hectométriques et 1 borne kilométrique)
et en déduire que dans 697,330 km il y a donc au total 6 973 bornes, par exemple en multipliant 697,300 par
10 (il faut négliger le chiffre 3 situé à droite de la virgule).
- Ou comprendre qu’il y a une borne pour chaque hectomètre et, comme 697,330 km = 6973,30 hm, en déduire
qu’il y a 6973 bornes (en notant qu’il n’y a que 6973 hectomètres entiers).
- Comprendre qu’il y a une borne kilométrique à chaque kilomètre, soit 697 bornes kilométriques pour les 697
kilomètres entiers et en déduire le nombre de bornes hectométriques (6 973 – 697 = 6 276).
- Ou réaliser éventuellement un dessin ou un schéma pour voir que dans chaque kilomètre il y a 9 bornes
hectométriques et une kilométrique. En conclure que dans 697,330 km (soit 697 km et 330 m) il y a 697
bornes kilométriques et (697  9) + 3 = 6 276 bornes hectométriques.
Attribution des points
4 Réponse correcte et complète (6973 bornes en tout, 697 kilométriques et 6276 hectométriques) avec des
explications complètes sur la procédure suivie
3 Réponse correcte pour les 3 résultats demandés, avec des explications incomplètes
ou les réponses 697 et 6276 avec explications, mais avec oubli du nombre total de bornes ou encore deux des
trois résultats demandés
2 Réponse 6973 sans préciser le nombre de bornes kilométriques et hectométriques
ou 6970 (697 + 6273) qui ne considère pas les trois dernières 3 bornes hectométriques
1 Début d’une recherche cohérente
ou la réponse 697 qui ne donne que le nombre des bornes kilométriques
ou 700 prenant en compte seulement le nombre des bornes kilométriques et les trois bornes hectométriques
ou encore réponse 7670 (en prenant 11 bornes par km).
0 Incompréhension du problème
Niveaux : 5, 6
Origine: Siena
23e RALLYE MATHÉMATIQUE TRANSALPIN
Entraînement (décembre 2014)
©ARMT 2014
9. UN DÉFI POUR ANDRÉ (Cat. 5, 6, 7)
Son oncle dit à André :
« J'ai pensé à un nombre.
- C’est un multiple de 6.
- Si tu le doubles, tu obtiens un nombre plus petit que 100.
- Si tu le triples, tu obtiens un nombre plus grand que 100.
- Si tu lui ajoutes 11 et si tu doubles le résultat, tu obtiens encore un nombre plus petit que
100.
Quel est le nombre auquel j’ai pensé ? »
Et vous, sauriez-vous trouver le nombre pensé par l'oncle d’André ?
Expliquez comment vous avez fait pour trouver votre réponse.
ANALYSE A PRIORI
Domaine de connaissances
- Arithmétique : opérations avec des entiers naturels ; relation d’ordre entre entiers ; concept de multiple
Analyse de la tâche
- Traduire la deuxième et la troisième condition avec des opérations, divisions ou « multiplications à trous », à
partir de 100 ; trouver ainsi les deux limites 50 et 33 et conclure que le nombre est compris entre 34 et 49.
- Se rendre compte que la dernière condition limite l'intervalle précédent et qu'on peut éliminer les nombres de
40 à 49 parce qu’en leur ajoutant 11 on obtient les nombres de 51 à 60, dont les doubles sont plus grands que
100. Il ne reste dans l'intervalle que les nombres 34, 35, 36, 37, 38 et 39 dont un seul, 36, est multiple de 6.
Ou bien, tenir compte d’abord de la première condition et partir de la suite des multiples de 6 : 6, 12, 18, 24, …
Vérifier que les conditions pour chacun d’eux et finalement n’accepter que 36.
Ou bien, procéder par essais, contrôler la validité de toutes les conditions et continuer, si nécessaire, avec des
ajustements successifs jusqu'à trouver le nombre cherché.
Attribution des points
4
Réponse correcte (36) avec des explications claires de la procédure suivie (avec le détail des calculs ou
des tentatives effectuées)
3
Réponse correcte avec des explications incomplètes ou peu claires
ou avec seulement une vérification que 36 satisfait les quatre conditions
2
Réponse correcte sans explication
ou procédure correcte mais avec une erreur de calcul
1
Début de raisonnement correct (par ex. donner les limites à considérer)
0
Incompréhension du problème
Niveaux : 5, 6, 7
Origine : Siena
23e RALLYE MATHÉMATIQUE TRANSALPIN
Entraînement (décembre 2014)
©ARMT 2014
10. PARTAGES (Cat. 5, 6, 7)
Les élèves d’une classe reçoivent chacun une feuille rectangulaire de 12 cm de longueur et de
3 cm de largeur. Ils doivent la partager en trois rectangles dont les mesures des aires sont 8
cm2, 12 cm2 et 16 cm2 et dont les mesures des côtés sont des nombres entiers de cm.
Combien peuvent-ils trouver de partages différents ?
(Attention ! Un partage est différent d’un autre, si au moins un de ses trois rectangles n’a pas
les mêmes dimensions que l’un des rectangles de l’autre partage.)
Pour chacun des partages différents que vous avez trouvé, indiquez la longueur et la
largeur des trois rectangles et montrez par un dessin que ce découpage est possible.
(Un seul dessin par partage)
ANALYSE A PRIORI
Domaine de connaissances
- Géométrie : rectangle, grandeurs et mesures
- Arithmétique : multiples et diviseurs
Analyse de la tâche
- S’assurer éventuellement que le partage est correct du point de vue des aires : 12 x 3 = 36 = 8 + 12 + 16
- Se rendre compte que pour partager un rectangle en trois rectangles, il faut d’abord tracer un segment
parallèle et isométrique à l’un des côtés pour obtenir deux rectangles, puis partager l’un de ces deux
rectangles par un deuxième segment, parallèle ou perpendiculaire au premier. Les deux segments peuvent
donc être parallèles ou perpendiculaires.
Le partage par deux segments parallèles n’est pas possible ici, en nombres entiers, ni dans la longueur, ni
dans la largeur car les trois aires des petits rectangles ne sont pas toutes des multiples de 12, ni des multiples
de 3.
Il faut donc partager le grand rectangle : soit en deux parties dans le sens de la longueur, en un rectangle de
12 x 1 et un autre de 12 x 2 qui sera découpé à son tour en deux rectangles de 8 x 2 et de 4 x 2 ; soit en deux
parties dans le sens de la largeur, en un rectangle de 3 x 4 et un autre de 3 x 8, qui sera découpé à son tour en
deux rectangles de 3 x 8 et de 1 x 8.
Ou par essais successifs, organisés ou non, vérifier si le partage est réalisable en tenant compte des dimensions
possibles des trois rectangles: (1 x 8) et (2 x 4) pour le rectangle de 8 cm2, (1 x 12), (2 x 6) et (3 x 4) pour le
rectangle de 12 cm2, (2 x 8) pour le rectangle de 16 cm2, car (1 x 16) et (4 x 4) ne peuvent entrer dans un
rectangle de (3 x 12).
- Envisager alors les 6 (= 2 x 3 x 1) combinaisons possibles (2 pour le premier, 3 pour le deuxième, une seule
pour le troisième) et voir qu’il n’y en a que 2 de réalisables : (1 x 8) ; (3 x 4) ; (2 x 8) et (2 x 4) ;
(1 x 12) ; (2 x 8)
(pour chacun des partages dessinés ci-dessus, il y a quatre dispositions des trois rectangles, égales à une
symétrie axiale ou centrale près ; selon la consigne, il ne faut en choisir qu’une seule).
Attribution des points
4 Réponse correcte et complète : les dimensions des rectangles des deux partages différents [(1  8) ; (3  4) ;
(2  8)] et [(2  4) ; (1  12) ; (2  8)] avec un seul dessin clair pour chacun (sans autres partages
isométriques)
3 Réponse correcte : les dimensions des rectangles des deux partages différents, mais l’un des dessins manque,
ou l’un des dessins est incorrect, ou les deux dessins sont peu clairs, ou plus d’un dessin par partage (partages
isométriques)
2 Réponse correcte et complète pour l’un des deux partages
ou réponse avec les deux partages et dessins, mais avec un autre partage non réalisable
ou réponse avec les deux partages corrects sans dessins
1 Un seul des deux partages est trouvé, sans dessin ou avec plus d’un partage non réalisable
0 Incompréhension du problème
Niveau : 5, 6, 7
Origine : Luxembourg
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Entraînement (décembre 2014)
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11. CLOUS ET FILS ÉLASTIQUES (Cat. 5, 6, 7)
figure 1
figure 2
Sur le bord d’un disque on a planté 8 clous très régulièrement. Entre deux clous qui se
suivent, il y a toujours la même distance (voir figure 1).
On dispose de quatre fils élastiques qu’on peut tendre entre deux clous.
Le but est de former des rectangles (ou des carrés) ayant leurs côtés sur les quatre fils.
Jules a tendu les quatre fils (voir figure 2), mais il n’a pas atteint son but : il a obtenu un
trapèze !
Trouvez tous les rectangles ou carrés différents que les quatre fils peuvent former.
Dessinez toutes les figures que vous avez trouvées. Si vous avez deux figures de mêmes
dimensions, n’en dessinez qu’une seule !
(Utilisez les cercles ci-dessous pour dessiner vos rectangles ou carrés différents.)
23e RALLYE MATHÉMATIQUE TRANSALPIN
Entraînement (décembre 2014)
©ARMT 2014
ANALYSE A PRIORI
Domaine de connaissances
- Géométrie : reconnaissance de rectangles en tenant compte de leurs propriétés
Analyse de la tâche
- Percevoir les positions des clous sur le cercle et imaginer les isométries qui déterminent les positions
relatives des clous et des fils qui les relient. Par exemple un fil tendu entre deux clous voisins se retrouve sur
un fil tendu sur les deux clous opposés après une rotation d’un demi-tour, ce qui permet de savoir que ces fils
sont parallèles, des rotations d’un quart de tour font apparaître des diamètres perpendiculaires, …
- Comprendre que pour construire les rectangles possibles, il est nécessaire de faire intervenir le parallélisme et
l’isométrie des côtés opposés et la perpendicularité des côtés adjacents.
- Procéder par essais non organisés, avec le risque de ne pas trouver toutes les solutions.
Ou chercher une méthode systématique. Par exemple, un inventaire des clous supportant des fils parallèles :
• pour deux clous voisins de la figure a (1 et 2), il y a trois autres paires de clous qui déterminent la même
direction (3 et 8), (4 et 7), (5 et 6), ce qui permet de déterminer les quatre rectangles des figures a, b, c et d,
dont la longueur d’un côté est la distance de 1 à 2.
• pour deux clous séparés par un autre, (8 et 2) de la figure e, il y a deux autres paires de clous qui
déterminent la même direction (3 et 7), (4 et 6), ce qui permet de déterminer les deux rectangles des figures e
et f, dont la longueur d’un côté est la distance de 2 à 8. Avec une paire de côtés de cette direction, la
combinaison avec les paires de perpendiculaires fait apparaître encore un autre rectangle (carré de la figure g)
dont le côté vaut la moitié de la distance de 2 à 8.
- Contrôler que les rectangles ainsi formés n’ont pas les mêmes dimensions. En particulier les carrés des
figures d et g (car la distance de 1 à 2 est supérieure à la moitié de la distance de 8 à 2.)
- Dessiner les sept solutions (dont trois sont des carrés).
4
5
fig a 3
2
6
8
5
fig c
fig d
2
2
7
1
4
fig b
1
7
4
6
1
4
3
3
2
2
fig e
6
fig f
7
8
2
1
8
Attribution des points
4 Les sept solutions correctes sans autres solutions isométriques
3 Six solutions correctes sans autre solution isométrique
ou les sept solutions correctes avec une solution isométrique à l’une des précédentes
2 Quatre ou cinq solutions correctes sans autre solution isométrique
ou cinq ou six solutions correctes plus une solution isométrique à l’une des précédentes
ou les sept solutions correctes plus un quadrilatère qui n’est pas un rectangle
1 De une à trois solutions avec ou sans solutions isométriques
ou quelques solutions correctes et un quadrilatère qui n’est pas un rectangle.
0 Quadrilatères non rectangles ou incompréhension du problème
Niveaux : 5, 6, 7
Origine : groupe géométrie plane
5
7
8
fig g
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Entraînement (décembre 2014)
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12. PINOCCHIO LE FAMEUX MENTEUR (Cat. 6, 7, 8)
Pinocchio est un fameux menteur. Lorsqu'on lui pose des questions, parfois il dit des gros
mensonges et parfois des petits mensonges. Quelquefois aussi, il dit la vérité.
Chaque fois qu'il dit un petit mensonge, son nez s'allonge de 4 cm et chaque fois qu'il dit un
gros mensonge, son nez s'allonge de 6 cm. Heureusement, chaque fois qu'il dit une vérité son
nez devient la moitié de ce qu'il était avant.
Lorsque Pinocchio s'est levé ce matin, son nez mesurait 2 cm. Au cours de la journée, il a
répondu à 5 questions. La deuxième et la cinquième fois, il a dit la vérité. Mais, les autres
fois, il a menti.
À la fin de la journée, Pinocchio mesure son nez et se dit : « Mon nez mesure 1,5 cm de plus
que si je n'avais dit qu'un seul gros mensonge ».
Combien Pinocchio a-t-il pu dire de gros mensonges et à quelles questions a-t-il pu le
faire : à la première, à la troisième, à la quatrième ?
Expliquez comment vous avez trouvé.
ANALYSI A PRIORI
Domaine de connaissances
- Arithmétique
- Combinatoire
Analyse de la tâche
- Comprendre la situation et admettre qu'il y a peut-être plusieurs solutions ; déduire de l'énoncé que
Pinocchio a dit au moins deux gros mensonges et comprendre que l'ordre dans lequel sont données les
réponses a de l'importance.
- Faire l'inventaire des situations qui correspondent à un seul gros mensonge et déterminer le nombre de
centimètres correspondants auquel il faudra ajouter 1,5 cm. (Par exemple, on peut disposer, le gros mensonge
(G) ou (+6) en 1e questions ou en 3e ou 4e question, ces deux dernières conduisant au même résultat, lignes 2
et 3) :
1) départ : 2
G (+6) –> 8
V ( :2) –> 4
P (+ 4) –> 8
P (+ 4) –> 12 V (: 2) –>
à la fin : 6
(cm)
2) départ : 2
P (+4) –> 6
V ( :2) –> 3
G (+ 6) –> 9 P (+ 4) –> 13 V (: 2) –>
à la fin : 6,5
(cm)
3) départ : 2
P (+4) –> 6
V ( :2) –> 3
P (+ 4) –> 7
G (+ 6) –> 13 V (: 2) –>
à la fin : 6,5
(cm)
En déduire que le nez de Pinocchio mesure 7,5 ou 8 cm.
- Envisager alors les cas avec deux gros mensonges, c’est-à-dire un seul petit mensonge qui peut être en 1e
question ou en 3e ou 4e (avec le même résultat dans ces deux lignes 5 et 6)
4) départ : 2
P (+ 4) –> 6
V ( : 2) –> 3 G (+ 6) –> 9 G (+ 6) –> 15 V (: 2) –>
à la fin : 7,5
(cm)
5) départ : 2
G (+ 6) –> 8 V ( : 2) –> 4 P ( + 4) –> 8 G (+ 6) –> 14 V (: 2) –>
à la fin : 7
(cm)
6) départ : 2
G (+ 6) –> 8 V ( : 2) –> 4 G (+ 6) –> 10 P (+ 4) –> 14 V (: 2) –>
à la fin : 7
(cm)
Les 2 gros mensonges sont en 3e et 4e question, le nez a 7,5 cm, soit 1,5 de plus que 6 cm avec un gros
mensonge.
- Envisager enfin le dernier cas, avec trois gros mensonges :
7) départ : 2
G (+6) –> 8
V ( :2) –> 4
G (+ 6) –> 10 G (+ 6) –> 16 V ( :2) –>
à la fin : 8
(cm)
Avec 3 gros mensonges le nez a 8 cm, soit 1,5 de plus que 6,5 cm avec un seul gros mensonge à la 3 e ou 4e
question.
Attribution des points
4 Réponse correcte (deux possibilités : 3 gros mensonges aux questions 1, 3 et 4 ou 2 gros mensonges aux
questions 3 et 4) avec explication montrant clairement l’exhaustivité des cas possibles, avec le détail des
longueurs du nez
3 Réponse correcte avec méthode peu claire (où l’on n’est pas certain que toutes les possibilités aient été
envisagées)
2 Une seule possibilité trouvée avec méthode apparente
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Entraînement (décembre 2014)
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ou deux possibilités trouvées avec le détail des longueurs mais sans préciser à quelles questions ont été dits
les gros mensonges
1 Une seule possibilité trouvée avec méthode peu apparente ou mal expliquée
ou début de recherche correcte, en particulier déduction correcte du nombre de cm à la fin (7,5 cm ou 8 cm)
0 Incompréhension du problème
Niveaux : 6, 7, 8
Origine : Valle D’Aosta
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Entraînement (décembre 2014)
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13. LE PARCOURS (Cat. 7, 8, 9)
Dans la cour de l’école, on a dessiné un parcours composé d’un certain nombre de cases
numérotées.
Un jeu consiste à se déplacer sur le parcours, de cases en cases, à l’aide d’un dé et selon les
règles suivantes :
 si, en jetant le dé, on obtient un nombre supérieur à 3, on avance de 5 cases,
 si le nombre est inférieur à 3, on recule de trois cases,
 si le nombre est 3 on reste immobile,
 si on doit reculer au-delà de la case de départ, on est éliminé.
Au cours d’une partie, Roberto, après avoir jeté treize fois le dé, se rend compte qu’il a
avancé de 9 cases.
Combien de fois le nombre 3 a-t-il pu apparaître lors de ses treize lancers.
Trouvez toutes les possibilités et expliquez votre raisonnement.
ANALYSE A PRIORI
Domaine de connaissances
- Arithmétique : addition, soustraction, multiplication, nombres relatifs,
- Algèbre : système linéaire
Analyse de la tâche
- Comprendre les règles du jeu et la situation de Roberto : en 13 lancers, il n’a pas été éliminé, a avancé de 9
cases par des déplacements de 5 vers l‘avant, de 3 vers l’arrière et/ou des cas où il est resté immobile.
- Se rendre compte que, au niveau mathématique, on doit obtenir le nombre 9 (9 cases vers l’avant) comme
différence d’un multiple de 5 (m5) et d’un multiple de 3 (m3) (C’est-à-dire 9 = m5 -- m3). Faire quelques essais
mentalement pour comprendre que, parmi les multiples de 5 : 5, 10, 15, 20, 25, … , certains valent 9 de plus
qu’un multiple de 3 (comme 15, 30, 45, …) et d’autres non, comme 5, 10, 20, 25, 35, 40 … Il ne faudra donc
examiner que les cas 15, 30, 45 … correspondants à 3, 6, 9, … déplacements de 5 cases vers l’avant (« +5 »):
- avec 3 « +5 », il faut 2 « - 3 » et 8 « 0 » car 3 x 5 – 2 x 3 = 9 et 3 + 2 + 8 = 13
- avec 6 « +5 », il faut 7 « - 3 » et 0 « 0 » car 6 x 5 – 7 x 3 = 9 et 6 + 7 + 0 = 13
au-delà de 6, le nombre de déplacements dépassera 13.
Il y a donc deux possibilités comme réponse à la question : le « 3 » est sorti 8 fois ou 0 fois :
Ou : travailler par essais organisés, avec des listes, inventaires, … (si les essais ne sont pas organisés, on
trouvera aussi les deux solutions mais sans savoir qu’elles sont les seules).
Ou, par algèbre, noter par a, b, c, les nombres de fois qu’on obtient respectivement un nombre plus grand que 3,
un nombre plus petit que 3 et le nombre 3, puis poser le système :
5a – 3b = 9
et
a + b + c = 13,
Ce système doit être résolu dans l’ensemble des nombres naturels. Si, par exemple, on multiplie la deuxième
équation par 3 et on soustrait la première, on réduit le système à l’équation : 8a + 3c = 48. dont les solutions
(a ; c), avec a > 0, sont (3 ; 8) et (7 ; 0), correspondant aux deux possibilités de réponse à la question : le
« 3 » est sorti 8 fois ou 0 fois.
Attribution des points
4 Réponse correcte (les deux possibilités 0 ou 8) avec des explications complètes sur la procédure suivie :
calculs ou représentations exhaustifs
3 Réponse correcte avec des explications incomplètes :calculs ou représentation qui ne permettent pas d’établir
clairement la procédure suivie ni l’exhaustivité des solutions
2 Réponse correcte sans explication
ou organisation correcte du problème qui aboutit à une seule solution bien expliquée
1 Début d’une recherche cohérente, ou une seule réponse sans explication
0 Incompréhension du problème
Niveaux : 6, 7, 8, 9
Origine : Cagliari
23e RALLYE MATHÉMATIQUE TRANSALPIN
Entraînement (décembre 2014)
©ARMT 2014
14. CHASSE AU TRÉSOR (Cat. 7, 8, 9, 10)
L’autre jour, en fouillant dans le grenier, Marc a découvert une vieille malle qui contenait un
parchemin et un coffre. En lisant le parchemin, il a compris que le coffre contenait un trésor
protégé par une serrure avec une combinaison à 3 chiffres (de 1 à 9). En outre, le parchemin
donnait ces informations :
a) dans 3 4 5 un seul des chiffres est correct, mais n’est pas bien placé
b) dans 2 3 6 aucun de ces chiffres n'est correct
c) dans 6 7 8 un seul chiffre est correct et bien placé
d) dans 4 7 2 un seul chiffre est correct et bien placé
e) dans 8 5 9 deux chiffres sont corrects, mais un seul est bien placé
f) dans 5 8 2 un seul chiffre est correct et bien placé
Pouvez-vous aider Marc à trouver la bonne combinaison pour ouvrir le coffre.
Expliquez comment vous avez résolu ce problème.
ANALYSE A PRIORI
Domaine de connaissances
- Logique
Analyse de la tâche
- Comprendre les informations données dans l’énoncé. Éliminer les chiffres incorrects 2, 3, 6 selon les
indications données dans b).
- La première information, comparée à la seconde, implique que l’un des chiffres est 4 ou 5.
- Si ce chiffre est 4, il doit être en première position d’après d) et 7 est incorrect. D’après c) et b), 8 est correct
et placé en troisième position. Alors, d’après e) et a), 9 est correct, mais ni 8 ni 9 sont bien placés.
L’hypothèse « 4 correct » est donc à rejeter.
- Si d’après a) ce chiffre est 5, d’après f) 5 est placé en premier et on doit éliminer 8. D’après c) et b), 7 est
correct et placé au milieu. D’après e), 9 est correct et placé en dernier. La combinaison est 5 7 9
Ou : après avoir éliminé les chiffres 2, 3, 6, des conditions c) et d) on déduit deux possibilités : 4 – 8 ou – 7 –
. La première est contredite par f) où ni 5 ni 8 seraient bien placés et 2 est exclu. La deuxième donne 7
comme chiffre central et élimine 8. La condition e) indique que 5 et 9 sont les deux autres chiffres et d’après
f) la combinaison est 5 7 9. On peut vérifier que toutes les conditions sont respectées.
Ou : adopter la stratégie qui consiste à appliquer à chaque donnée la contrainte la plus forte, la condition b), car
elle permet d'en simplifier 4 autres :
a) devient : dans – 4 5
un seul de ces chiffres est correct, mais n’est pas bien placé
c) devient : dans – 7 8
un seul chiffre est correct et bien placé
d) devient : dans 4 7 –
un seul chiffre est correct et bien placé
e) reste :
dans 8 5 9
deux chiffres sont corrects, mais un seul est bien placé
f) devient : dans 5 8 –
un seul chiffre est correct et bien placé
On en déduit d’après a) que soit 4 est correct et placé en premier, ce qui élimine 7 mais est contraire à c) et
f) ; soit 5 est correct, placé en premier d’après a), ce qui élimine 8 d’après f), donc 7 est correct au centre et 9
est le troisième chiffre cherché d’après e). Il y a donc une seule combinaison possible pour ouvrir le coffre :
5 7 9.
Attribution des points
4 La réponse correcte 5 7 9 avec une présentation détaillée du raisonnement mis en œuvre
3 La réponse correcte avec des explications peu claires pour arriver à la bonne conclusion
2 Une combinaison à trois chiffres, mais pas dans le bon ordre,
ou deux chiffres dans le bon ordre
1 Début de recherche avec la découverte d’un seul chiffre bien placé
ou de deux chiffres mal placés
0 Aucun chiffre correctement placé ou incompréhension du problème
Niveaux : 7, 8, 9, 10
Origine : Riva del Garda
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Entraînement (décembre 2014)
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15. LE CUBE (Cat. 7, 8, 9, 10)
Roberto a construit un cube.
Il a écrit une lettre sur chaque face.
Il a ensuite photographié son cube dans plusieurs
positions.
Voici trois de ces photos :
Carlo trouve que le cube de son ami Roberto est
très intéressant et décide de construire, pour luimême, un cube parfaitement identique.
Il a préparé un patron de son cube, avec les six
faces qu’il va plier et coller avec du papier
adhésif transparent.
Il a déjà dessiné le A et un I sur deux des faces.
Dessinez les lettres des quatre autres faces du cube de Carlo pour qu’elles se retrouvent
dans les mêmes positions que sur le cube de Roberto.
Y a-t-il plusieurs possibilités de placer les lettres sur ces quatre faces ?
Si oui, faites un dessin pour chaque possibilité.
ANALYSE A PRIORI
Domaine de connaissances
- Géométrie dans l’espace : visualisation spatiale, passage de deux à trois dimensions et vice versa
Analyse de la tâche
- Observer que les six lettres des faces sont A, H, I, F, X et que la lettre I apparaît deux fois.
- Comprendre que de la première à la troisième photo (si elles sont prises du même endroit), le cube a subi une
rotation de 90 degrés dans le sens contraire des aiguilles d’une montre en observant la lettre A qui a passé sur
la face latérale de droite et que la lettre H a aussi subi une rotation de 90 degrés.
- Remarquer que la lettre A peut servir de point de référence puisqu’elle figure sur deux photos et sur le
patron.
À droite du A, sur le patron et sur la première photo, il y a une lettre I. Ces deux lettres permettent de
déterminer la face sur laquelle se trouve le H et la position de cette lettre : ce I et le H ont leur axe vertical (de
lecture) dans le même plan pour l’objet « cube » et sur la même droite pour le patron.
D’après la troisième photo, le X est dans la face à gauche du A. Il sera donc également à gauche du A sur le
patron.
- Les quatre cases A, I, H et X étant complétées, il reste deux cases libres pour l’autre I et le F. (figure 1)
figure 1
figure 2
figure 3
- Deux possibilités se présentent alors et il faut observer la deuxième photo, qui montre les trois faces I, I, F,
où les deux I ne sont pas dans un même plan mais sur des droites orthogonales et, par conséquent, seront sur
des droites perpendiculaires sur le patron.
• si l’on place le second I dans la case sous le premier I, le F sera sur la case de droite dans la position décrite
sur la figure 2. (Dans ce cas, le premier I, du centre du patron, est celui de la face supérieure sur la deuxième
photo.)
• si l’on place le second I dans la case à droite du premier I, le F sera sur la case du bas dans la position
décrite sur la figure 3. (Dans ce cas, le premier I, du centre du patron, est celui de la face de devant sur la
deuxième photo.)
Ou : Découper un patron, y écrire les lettres A et I puis compléter une à une les faces, par essais, pliages et
vérifications.
Attribution des points
4 Les deux solutions (figures 2 et 3) avec les lettres sur les bonnes faces et bien orientées
23e RALLYE MATHÉMATIQUE TRANSALPIN
Entraînement (décembre 2014)
©ARMT 2014
3. Une solution (figure 2 ou figure 3) avec les lettres sur les bonnes faces et bien orientées
ou les deux solutions, avec toutes les lettres sur les bonnes faces mais certaines mal orientées
2 Une solution (figure 2 ou figure 3), avec toutes les lettres sur les bonnes faces mais certaines mal orientées
1 Une solution avec deux lettres mal placées (sur les « mauvaises » faces
0 Incompréhension du problème
Niveaux : 7, 8, 9, 10
Origine : 3e RMR F + Groupe géométrie dans l’espace
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Entraînement (décembre 2014)
©ARMT 2014
16. JUMEAUX CHANCEUX (Cat. 8, 9, 10)
On dit que deux nombres forment un « couple de jumeaux » si :
 ce sont des nombres consécutifs,
 le chiffre 0 n’apparaît pas dans leur écriture,
 pour écrire le couple on utilise exactement deux chiffres différents.
Par exemple 43 et 44 forment un couple de jumeaux, ainsi que 343 et 344, alors que 434 et
435 ne le sont pas (parce qu’on utilise trois chiffres différents pour les écrire).
Francesca, qui pense que 13 est son nombre « porte-bonheur », a essayé d’écrire tous les
couples de jumeaux dont 13 est la somme des chiffres.
(Dans les exemples précédents, les sommes des chiffres des deux couples de jumeaux sont
respectivement 15 et 21).
Faites la liste complète de tous les couples de nombres jumeaux que Francesca devra
écrire et indiquez combien il y en a.
Expliquez comment vous les avez trouvés.
ANALYSE A PRIORI
Domaine de connaissances
Arithmétique : chiffre - nombre, numération de position
Combinatoire : permutations
Analyse de la tâche
Comprendre que si un nombre appartient à un couple de jumeaux, il s’écrit avec un seul chiffre
(éventuellement répété) ou deux chiffres différents (éventuellement répétés).
Comprendre aussi que si deux nombres sont consécutifs, les nombres obtenus par les sommes des
chiffres de chacun le sont aussi et, dans le cas où les nombres consécutifs sont jumeaux, alors les deux seuls
chiffres qui apparaissent doivent aussi être consécutifs et le plus petit des deux doit apparaître dans les unités du
premier nombre du couple.
Déduire, alors, que pour avoir une somme de 13 dans un couple de jumeaux le premier nombre doit
avoir 6 comme somme des chiffres et le second 7. (C’est le seul moyen d’obtenir 13 comme somme de deux
nombres consécutifs).
Faire la liste des deux chiffres consécutifs qui peuvent apparaître dans un nombre comme somme des
chiffres, 6 (ou 7 pour celui qui le suit): 1-2, 2-3, 3-4, 6-7 (éliminer 0-1 parce que le 0 ne doit pas apparaître). Les
chiffres consécutifs 4-5, 5-6 sont éliminés parce qu’avec les nombres d’un chiffre, on n’atteint pas la somme 13,
alors qu’avec des nombres de deux chiffres, la somme est supérieure à 13 (17 au minimum); les chiffres
consécutifs 7-8, 8-9 sont éliminés parce qu’avec des nombres d’un chiffre, on obtient déjà des sommes
supérieures à 13.
Chercher les nombres jumeaux que l’on peut obtenir pour chacun des deux couples possibles de
chiffres :
1-2:
1221-1222; 2121-2122; 2211-2212
11121-11122; 11211-11212; 12111-12112; 21111-21112
111111-111112
2-3:
222-223
3-4:
33-34
6-7:
6-7
Conclure qu’il y a 11 couples de jumeaux de somme 13
Ou: partir du couple de jumeaux d’un chiffre 6-7 et décomposer successivement le 6 et le 7 en couples de
nombres consécutifs de 2 chiffres qui forment des nombres de 2, 3…, 6 chiffres.
6 dans 33 et 7 dans 34, puis 6 dans 222 et 7 dans 223, etc.
Ou : procéder par divisions avec reste. Pour trouver le premier nombre du couple de jumeaux, diviser 6 (qui est
la somme des chiffres de ce nombre) progressivement pour 1, 2, 3…, 6 et trouver de cette manière les couples de
jumeaux de 1 chiffre, 2 chiffres…, 6 chiffres, par exemple :
6:1 = 6 avec reste 0 (couple de jumeaux de 1 chiffre dans lequel le chiffre 6 apparaît exactement une
fois dans le premier nombre) (6-7)
6:5 = 1 avec reste 1 (couple de jumeaux de 5 chiffres dans lequel le chiffre 1 apparaît exactement 4 fois
dans le premier nombre) ( 11121-11122 ; 11211-11212 ; 12111-12112 ; 21111-21112) ; etc.
Ou : procéder par voie algébrique, sachant que la somme des chiffres du couple de jumeaux est 13, posant z et
z + 1 les deux chiffres consécutifs qui apparaissent dans le couple, établir une équation paramétrique : si
l’écriture des deux nombres utilise n fois z et m fois (z + 1), on a : n z + m (z + 1) = 13, pour arriver à
(n + m) z = 13 – m et discuter les solutions pour 0 < n + m < 13 avec n + m pair (parce que le nombre total des
chiffres de deux nombres consécutifs n’utilisant pas le 0 est pair) :
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Entraînement (décembre 2014)
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- pour n + m = 12 on obtient 12 z = 13 – m, donc z = (13 – m) / 12 dont la solution est entière
seulement si 13 – m est un multiple de 12, donc seulement si 13 – m = 12, sinon on aurait m négatif. On obtient
m = 1, n = 11 et donc z = 1 et z + 1 = 2 et le couple de jumeaux sera formé par onze chiffres 1 et par 1 chiffre 2
avec lesquels on obtient le couple de jumeaux 111111-111112 ;
- de même pour n + m = 10, 8, 6, 4 et 2.
Attribution des points
4
Réponse correcte (les 11 couples de jumeaux) avec explications claires de la procédure
3
Réponse correcte avec des explications peu claires
ou 9 ou 10 couples de jumeaux corrects, et aucun autre erroné
2
De 5 à 8 couples trouvés et aucun autre erroné
ou 9 ou 10 couples corrects et d’autres erronés (mais au plus 3)
1
Au moins 4 couples de jumeaux corrects trouvés
0
Incompréhension du problème
Niveaux : 8, 9, 10
Origine : Siena
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17. MARCHÉ AUX PUCES (Cat. 8, 9, 10)
Au stand des livres d’occasion, Philippe veut acheter quelques anciens numéros de
« Mickey », « Tintin » et « Spirou ». Les prix varient selon la bande dessinée et Philippe
remarque que :
 un numéro de « Tintin » coûte 0,60 euro de plus qu’un numéro de « Spirou » ;
 pour le même prix, on peut avoir deux numéros de « Mickey » ou bien un numéro de
« Spirou » et un numéro de « Tintin » ;
 il y a 1,70 euro de différence entre le prix de trois numéros de « Tintin » et deux numéros
de « Mickey ».
À votre avis, combien coûte au marché aux puces un numéro de « Spirou » ?
Un numéro de « Tintin » ? Un numéro de « Mickey » ?
Donnez votre réponse et expliquez votre raisonnement.
ANALYSE A PRIORI
Domaine de connaissances
- Arithmétique : opérations avec des nombres décimaux.
- Algèbre : passage du langage naturel au langage algébrique ; mise en équations d’un problème et
résolution d’un système d’équations
Analyse de la tâche
- Lire les informations avec une attention particulière pour les expressions importantes comme « de plus
que », « différence entre », « ou bien … ou bien ».
- Traduire les informations données en langage algébrique par des égalités, utilisant des notations
appropriées. Par exemple, indiquer par T le coût en euro d’un numéro de « Tintin », par M celui d’un
numéro de « Mickey » et par S celui d’un numéro de « Spirou ».
- Exprimer les trois conditions données sous la forme suivante :
T = S + 0,60
2M = S + T
3T – 2M = 1,70
- En remplaçant 2M par S + T (deuxième équation) dans la troisième équation, obtenir 2T = S + 1,70 ;
puis remplacer T par S + 0,60 (première équation) pour obtenir S = 0,50. Déduire de la première
condition que T = 1,10 et de la seconde que M = (1,10 + 0,50)/2 = 0,80.
Ou bien : sans formaliser, mais éventuellement avec l’aide de diagrammes ou de dessins, déduire des
deuxième et troisième conditions que deux numéros de « Tintin » coûtent le prix d’un numéro de
« Spirou » plus 1,70 euro. Mais comme, d’après la première condition, un numéro de « Tintin » coûte le
prix d’un numéro de « Spirou » plus 0,60 euro, on en déduit qu’un numéro de « Tintin » coûte 1,70 0,60 = 1,10 euro.
Ou bien : procéder par essais pour fixer le coût en euro d’un numéro de « Spirou », déterminer ensuite, à
partir de la première et la seconde condition, celui d’un numéro de « Tintin » et celui d’un numéro de
« Mickey », puis vérifier si la troisième condition est respectée. Continuer en modifiant la valeur initiale
pour obtenir finalement la vérification de toutes les conditions.
Attribution des points
4 Les trois réponses correctes (« Spirou » 0,50 euro ; « Mickey » 0,80 euro ; « Tintin » 1,10 euro) avec des
explications claires et complètes
3 Les trois réponses correctes avec des explications incomplètes ou avec seulement une vérification que les
prix donnés conviennent
2 Les trois réponses correctes sans explication ou justification
ou procédure correcte mais avec une erreur de calcul
1 Début de raisonnement cohérent
0 Incompréhension du problème
Niveaux : 8, 9, 10
Origine : Siena
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18. LA SPIRALE (Cat. 8, 9, 10)
Léonardo forme des rectangles en juxtaposant des carrés. Il a commencé par deux petits carrés
dont un des sommets est le point A. Puis il a continué en ajoutant un carré sur la droite, puis audessous, puis sur la gauche, puis dessus, puis de nouveau sur la droite, etc.
Sur la figure ci-dessous on a représenté son rectangle, obtenu avec les 7 premiers carrés, dont un
sommet est le point B.
Leonardo a dessiné ensuite un quart de cercle dans chacun des sept carrés Chacun des quarts de
cercle va d’un sommet du carré au sommet opposé et a son centre sur un autre sommet du même
carré.
Les sept premiers quarts de cercle forment une « spirale » qui va de A à B.
A
B
Le périmètre du rectangle composé des 7 premiers carrés est 136 cm.
Quelle est la longueur de la spirale de A à B ?
(Exprimez cette longueur à l’aide de  ou par une approximation au mm près) ?
Expliquez comment vous avez trouvé votre réponse.
ANALYSE A PRIORI
Domaine de connaissances
- Arithmétique : propriétés de l’addition et de la multiplication, (distributivité), proportionnalité
- Géométrie : propriétés des carrés et rectangles, périmètre, cercle
- Algèbre ; équation du premier degré
Analyse de la tâche
- Observer le dessin et les carrés suivant la « spirale » : les deux petits carrés unités, puis des carrés de 2, 3, 5,
8, 13, … de côté, ce qui permet de constater que la largeur et la longueur du rectangle sont respectivement 13
et 21 (13+8) et le périmètre est 2  (13 + 21) = 68 (en côtés du carré unité). (Pour ce calcul, il faut faire appel
systématiquement à l’addition de segments et au report de mesures d’un côté dans les carrés successifs). En
déduire que le côté du carré unité mesure 136/68 = 2 (en cm).
Ou par voie algébrique, avec par exemple x comme côté du carré unité, 2x, 3x … 13 x, les mesures des carrés
successifs, l’équation (21 x + 13 x) = 136, a pour solution x = 2
- Calculer la longueur des quarts de cercle et les additionner:
/2 + /2 +/2 /2 + /2 + /2 + /2 = 33/2 ou encore 16,5  (en côtés de carrés unités) ou 33 
(en cm) ou une approximation comme103,7 cm ou 1037 mm. (On acceptera aussi 103,6 cm et 1036 mm pour
les élèves qui auraient utilisé 3,14 comme approximation de 
Attribution des points
4 Réponse exacte (33ou103,7 ou 103,6 en cm), avec explications claires et complètes
3 Réponses exactes avec explications peu claires ou incomplètes
ou une erreur ou imprécision dans l’approximation (avec plus d’un chiffre après la virgule entre 103,6 et
103,7), avec explications
2 Réponses exactes sans explications
ou erreur (due par exemple aux additions des longueurs des sept arcs )
ou réponse en côtés du carré unité (33/2avec explications
1 Début de raisonnement correct
0 Incompréhension du problème
23e RALLYE MATHÉMATIQUE TRANSALPIN
Niveaux : 8, 9, 10
Origine : Parma/fj, variation sur un thème connu
Entraînement (décembre 2014)
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