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Exercice 1
Calculer les images, par la fonction carré, des nombres
suivants :
a) 3
b)
c)
d) a
3
2 3
e) a3
f) 3x
Exercice 2
Calculer les images, par la fonction inverse, des nombres
suivants :
a) 0,1
1
b) 2
c)
d) t
1
e) 1
t
f) x 37
2- Calculer (ou exprimer) les images, par la fonction G,
de ces mêmes nombres.
Exercice 5
Notons F la fonction qui double un nombre (le nombre
« entré »), puis prend l’inverse (du résultat obtenu).
Notons G la fonction qui prend l’inverse d’un nombre,
puis double (le résultat obtenu).
1- Calculer les images, par la fonction F, des nombres
suivants :
1
a)
b) 2
c) x
2
2- Calculer les images, par la fonction G, de ces mêmes
nombres.
Exercice 6
Notons F la fonction qui, à tout nombre associe la somme
de son double et de son carré.
Notons G la fonction qui, à tout nombre, associe le
produit de son double et de son carré.
a) Exprimer l’image, par F, d’un nombre a.
b) Exprimer l’image, par G, d’un nombre a.
c) L’une des deux fonctions peut être décrite par une
phrase en français un peu plus simplement qu’elle ne
l’a été dans l’énoncé. Quelle fonction ? Quelle
phrase ?
Exercice 3
Exercice 7
Calculer les images, par la fonction racine, des nombres
suivants :
a) 16 + 9
b) 3
c) 3
d) x
e) x 2
f) x 2 y 2
Exercice 4
Notons F la fonction qui ajoute 1 (au nombre « entré »),
puis élève au carré (le résultat obtenu).
Notons G la fonction qui élève au carré, puis ajoute 1.
1- Calculer (ou exprimer) les images, par la fonction F,
des nombres suivants :
a) 10
b) 2
c) x
Notons F la fonction qui double un nombre , puis ajoute
1, puis double à nouveau.
a)
b)
c)
d)
Calculer l’image, par F, de 5
Exprimer l’image, par F, d’un nombre x.
Développer et réduire l’expression obtenue.
En déduire une descriptions plus simple de F par une
phrase en français.
Exercice 8
Notons F la fonction qui, à tout entier relatif, associe le
successeur du produit de son prédécesseur par son
successeur.
Exprimer l’image, par F d’un entier n ; développer et
réduire l’expression obtenue et en déduire une description
plus simple de F par une phrase en français.
d) Calculer f S1 U x T
e) Calculer f X f V x W Y .
Exercice 12
!"#$#%"&'
On pose :
IxJK ; u Z x [ ] x \ 1
x ^1
(« IxJK » se lit : « quel que soit x appartenant à
K.)
Exercice 9
Notons F la fonction carré. Soient a et b deux réels.
Calculer :
a) F ( 3)
b) F + 3, - 2
c) F + 3 - 2 ,
d) F 2 33 4 F 2 2 3
h) F ( a * b )
i) F ( a ) * F ( b )
j) F 0 F . 3/ 1
k) F 0 F . a / 1
e) F 5 3 7 2 6
l) F 0 F . a 8 1/ 1
f) F 5 3 6 7 2
m) F 0 F . a / 8 11
g) F 9 2 4 3 :
n) F 0 F . a / 1 8 1
a) Calculer u _ 2 `
b) Calculer u a 2 c 1b
c) Soit aJ ed . Calculer u f 2a h 1 g
1n
. Que peut-on dire
r x sq
d) Soit aJ lkmiO1j . Calculer u op
1n
par rapport à u t x u ?
r x qs
e) Soit x un réel différent de v1 et de 0. Exprimer
u X u V x W Y en fonction de la seule variable x. Simplifier
l’expression obtenue dans la question précédente.
de u op
Exercice 13
Exercice 10
Notons f la fonction qui ajoute 1 et notons g la fonction
qui double. Soit x un réel. Calculer :
a) f ( 5 )
b) g = 5 >
h) g ? x @
a) Soit f la fonction qui prend la racine de la somme
d’un nombre (le nombre « entré ») et de son carré.
b) Soit g la fonction qui triple le cube de la moitié d’un
nombre.
j) g G f E x F H
Exercice 14
l) g C g A x B D
Traduire en utilisant la notation avec flèche à talon et
simplifier l’expression de l’image lorsque c’est possible.
g) f ; x <
c) f C g A 5B D
i) f G g E x F H
e) f 0 f . 5 / 1
k) f 0 f . x / 1
d) g C f A 5B D
f) g 0 g . 5/ 1
Exercice 11
IxJK ; f L x M N x 2 O x
Calculer f P R1 Q
Calculer f 5 2 7 2 6
On pose :
a)
b)
Traduire en utilisant la notation avec flèche à talon et
simplifier l’expression de l’image lorsque c’est possible.
c) Soit a un réel quelconque. Calculer f S a - 2 T . (Par
« calculer », on veut dire ici exprimer en fonction de la
seule variable a, puis simplifier l’expression obtenue.)
Soit xJK.
a) Soit f la fonction qui somme le carré et le cube d’un
nombre.
b) Soit g la fonction qui élève au cube le carré d’un
nombre.
wwwx yz{|}~| | z
z
Exercice 15
f :x
x 1
x 1
h : x x 1
g : x x 1
i:x
b) Donner une expression de f.
c) Quels sont les antécédents de 0, par f ?
d) Quels sont les antécédents de 5, par f ?
x
x
2
x
Exercice 19
Sans explication, on donnera les domaines de définition
respectifs D f , D g , Dh et Di de chacune des quatre
fonctions définies ci-dessus.
f : x £ x3 ¢ x
a) Quels sont les antécédents de 0, par f ?
b) Quels sont les nombres égaux à leur image, par f ?
Exercice 16
Exercice 20
f :x
h:x
x
x
2
1
x
g:x
x2 1
x2 1
i:x x
f : x § ¤ x ¦ 1¥
x
Sans explication, on donnera les domaines de définition
respectifs D f , D g , Dh et Di de chacune des quatre
fonctions définies ci-dessus.
2
a) Quel est l’ensemble des antécédents de 1, par f ?
b) Quel est l’ensemble des antécédents de 2, par f ?
c) Quel est l’ensemble des antécédents de ¡1, par f ?
Exercice 21
x 1
x 1
a) Quel est l’ensemble de définition de f ?
b) Quels sont les antécédents de 5, par f ?
c) Quels sont les nombres égaux à leur image, par f ? ¨
f :x
Exercice 17
Exceptionnellement, on répondra sans justifier.
a) Quelle est l’image de 9 par la fonction carré ?
b) Quels sont les antécédents de 9 par la fonction carré ?
c) Quel est l’image de ¡9 par la fonction carré ?
d) Quels sont les antécédents de ¡9 par la fonction
carré ?
e) Quelle est l’image de 3 par la fonction carré ?
f) Quels sont les antécédents de 3 par la fonction carré ?
g) Quelle est l’image de 2 par la fonction carré ?
h) Quels sont les antécédents de 2 par la fonction
carré ?
i) Quel nombre a un unique antécédent, par la fonction
carré ?
Exercice 18
Exercice à commencer au brouillon.
Soit f la fonction qui, au carré d’un nombre, soustrait son
quadruple.
a) Vérifier que l’image de 10 par f est bien 60.
Exercice 22
1
©x
x
a) Quel est l’ensemble de définition de f ?
b) Quel est l’ensemble des antécédents de 0, par f ?
c) Quel est l’ensemble des antécédents de 2, par f ?
f :xª
Exercice 23
x2 « 1
x2 ¬ 1
a) Déterminer l’ensemble de définition Df de la fonction
f.
On pose :
f :x
b) Calculer l’image de 2 ® 1 par la fonction f. (Bien
entendu, on éliminera tout radical du dénominateur.)
c) Quel est l’ensemble des antécédents de 2, par f ?
Soit f une fonction affine vérifiant :
ßxàá ; f Õ f Ó x Ô Ö â 2 x ã 1
°± ²³´µ¶·³´¸ ¹º»¶·µ¼½·¾»¿¸
Déterminer les valeurs possibles de f ä1 å .
Exercice 24
Démontrer que chacune des fonctions suivantes est
affine en la mettant sous la forme x Á ax À b puis en
précisant la valeur des constantes a et b. Dire si la fonction
est linéaire.
f est la fonction qui ajoute 1 puis divise par 2.
g est la fonction qui donne pour image 10% du nombre de
départ.
h est la fonction qui augmente un nombre de 10%
i est la fonction qui donne la moyenne d’un nombre, de
son double et du nombre 1.
Id est la fonction identité.
j est la fonction constante 2 (tout réel a pour image 2).
1Â x
k:xÃ
2
N est la fonction nulle.
°æ± ²³´µ¶·³´¸ ¹º·»¿¸ ¿¶ ·ç¹º·»¿¸
Exercice 30
Etudier la parité des fonctions suivantes :
a) La fonction inverse, que nous noterons i.
x2 è 1
b) f : x é
2
c) g : x í x ê x 2 ì 1ë
d) h : x é x 2 î x
e) u : x ð 2 x ï 3
Exercice 31
Exercice 25
Etudier la parité des fonctions suivantes :
f est une fonction affine telle que f Ä1 Å Æ 2 et f Ä 3Å Æ 1 .
a) f : x ñ Ó x ã 1Ô
Déterminer f Ç 0 È .
Exercice 26
g est une fonction affine telle que g É Ë2 Ê Ì 3 et
9
g Í 3Î Ï Ð . Démontrer que g est linéaire.
2
b) g : x ó x 2 ò 1
1
c) h : x õ x ô
x
3
x ö x2
d) j : x ÷
x ö1
°ææ± øù´¶ú¾¸¿
Exercice 27
g est une fonction affine telle que g Ñ Ë2 Ò Ì 1
g Ñ1Ò Ì Ë2 . Déterminer g Õ g Ó 0 Ô Ö .
2
et
Exercice 28
Soit h une fonction affine vérifiant les conditions
suivantes : h × Ù2 Ø Ú 1 et h Û 2 Ü Ý Þh Û1 Ü . Déterminer une
expression de h.
Exercice 32
Soit f la fonction définie par :
Quel que soit x appartenant à û, f ü x ý þ x 2 ÿ 2 x
Autrement dit :
f :x
x2 2x
a) Quel est le domaine de définition de f ?
b) Déterminer l’image, par f, de 3.
c) Calculer f
2 1
d) Quels sont les antécédents de 0, par f ?
Exercice 29
¯
e) Quel est l’ensemble des antécédents de 3 par f ?
(hors programme).
f) Quels sont les nombres égaux à leur image, par f ?
g) Soit g la fonction définie par : g : x
f x 1 1
Déterminer une expression simple de g.
h) Soit h la fonction définie par : h : x
f f x .
Déterminer une expression de h (sous la forme d’un
polynôme).
d) Quels sont les antécédents 0, par F ?
e) Exprimer l’image de l’image d’un nombre x, par F. (Il
n’est pas demandé de réduire l’expression.)
Exercice 35
a)
Exercice 33
On pose :
f :x
b)
c)
d)
e)
22xx1
4 2t 3 3
Quel est le domaine de définition 5 de la fonction
Soit g la fonction définie par
g :t
g
g?
Déterminer l’image de 5 par g.
Quels sont les antécédents de 5, par g ?
Quels sont les antécédents de 5, par g ?
Quels sont les nombres égaux à leur image, par g ?
a) Donner l’ensemble de définition D de la fonction f
(sans justification).
b) Calculer f
c)
d)
e)
f)
g)
h)
2 . (Mettre le résultat sous la forme
a 2 b , où a et b sont des rationnels.)
Quel est l’ensemble des antécédents du nombre 2, par
f?
5
Soit x
2; . Exprimer f f x en fonction
4
de la seule variable x. Réduire l’expression obtenue.
Quel est l’ensemble des antécédents du nombre 0, par
f?
Quel est l’ensemble des réels dont l’image par f est
positive ?
Quel est l’ensemble des réels égaux à leur image par
f?
Démontrer que tout réel différent de 2 admet un
unique antécédent, par f.
6! 7**%898.:'(($-$./(
;<=>?@ABCD DE> FGD HBCI@ABCD J
Exercice 36
Soient f et g deux fonctions. La composée de f par g, notée
g f (lire « g rond f) est la fonction qu’on obtient en
appliquant d’abord la fonction f, puis la fonction g :
K
K
g f
f
x
f(x)
a) Posons :
Considérons la fonction F qui, à tout réel non nul, associe
la somme de son inverse et de son opposé (on pourra
3
vérifier que l’image de 2, par F, est
).
2
a) Quelle est l’image de 2 par la fonction F ?
1
2
5 1
b) Quelle est l’image de
par la fonction F ? (On
2
simplifiera bien entendu l’écriture du résultat.)
c) Donner une expression de F et préciser son ensemble
de définition.
g f x
L g f x f : x N x M 1 et g : x O x . Exprimer
fonctions fKg et gKf. Peut-on dire que
2
alors les
l’opération de
commutative ?
Exercice 34
V T UW
g
gof : x
Autrement dit :
! "#$%&'&$( ()**+,-$./0'%$(
composition
des
fonctions
est
Q P
K K
b) Posons : u : x 2 x 1 . Déterminer une fonction v
telle que u v = v u = Id
(où Id est la fonction
identité).
S R
K
c) Posons : u : x x 1 . Déterminer une fonction v
telle que u = v v.
S 2x .
Même question avec u : x Q 2 x P 1
d) Même question avec u : x
e)
X
Y
f) Démontrer que, si f est une fonction affine, f f l’est
aussi.
Z
ZYZ
[
g) Une fonction , définie sur , est dite involutive si et
seulement si
=Id. Exprimer ou décrire une
fonction définie sur , qui soit involutive, mais qui ne
soit pas la fonction identité. ( est la lettre grecque
phi.)
[
Z
ZYZ Z
[
Z
[
h) Une fonction définie sur est dite idempotente si et
seulement,
= . Exprimer ou décrire une fonction
définie sur , qui soit idempotente, mais ne soit ni
une fonction constante, ni la fonction identité.
Exercice 37
Soient f et g deux fonctions (que nous supposerons ici
définies sur ). On définit la fonction somme de ces deux
fonctions comme étant la fonction qui, à tout réel x
associe la somme des images de x par f et par g. On note
cette fonction somme : f+g.
Autrement dit : f g : x
f x g x .
[
^ _ \ ]^ \ ]
[
Démontrer que toute fonction définie sur est la somme
d’une fonction paire et d’une fonction impaire.
`abcdefgh ifgjdefggkllkh
Exercice 38
m n[ ; h o x q 1p q 1 r x .
2
Soit h une fonction telle que, x
Déterminer une expression de h.
Exercice 39
[
Trouver une fonction f, définie sur , et telle que,
x
; f x 1 f x x.
m n[ s u t v s t w
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