Feuille de TD no 4
Méthodes de calcul
Exercice 1 (manipulation de sommes et de produits)
Soit n ∈ N? . Calculer les sommes et les produits suivants :
1) la somme des n premiers carrés d’entiers impairs ;
2) la somme des cubes d’entiers compris entre n et 2n (inclus) ;
3) la somme des n premiers produits non nuls de deux entiers consécutifs ;
4) le produit des n premiers entiers pairs non nuls ;
5) le produit des n premiers entiers impairs.
Exercice 2 (manipulation de sommes)
Soient a et b deux nombres complexes.
1) Ecrire la quantité a2 − b2 sous forme factorisée.
2) Même question avec les quantités an − bn où n = 3, 4 et 5.
3) Démontrer l’égalité suivante pour tout n ∈ N? :
n
n
a − b = (a − b)
n−1
X
ak bn−1−k .
k=0
Exercice 3 (manipulation de produits)
Q
k
Soit n ∈ N? . Calculer le produit nk=1 e n .
Exercice 4 (sommes et produits télescopiques)
Soit n ∈ N? . Calculer les sommes et les produits suivants :
Pn
1
1)
k=1 k(k+2) ;
Pn
3
2)
k=1 ln 1 + k ;
Pn
θ
3) ∀θ ∈ R, sin 2θ
k=0 sin (2k + 1) 2 ;
Q
1
;
4) nk=1 1 − k+1
Q
1
5) nk=1 1 − (k+1)
2 .
Exercice 5 (sommes doubles et produits doubles)
Soit n ∈ N? . Calculer les sommes et les produits suivants :
P
P
1)
16i,j6n (i + j) puis
16i6j6n (i + j) ;
P
P
i+j puis
i+j ;
2)
16i,j6n 2
16i6j6n 2
Q
Q
3) 16i,j6n ij puis 16i6j6n ij.
Exercice 6 (somme des termes d’une suite géométrique)
P
Soit n ∈ N? . On considère la fonction f définie pour tout x ∈ R par f (x) = nk=0 xk .
P
1) Pour tout x ∈ R \ {1}, exprimer f (x) sans le symbole .
BCPST 1A lycée Hoche 2014-2015
Sébastien Godillon
1 sur 2
2) En dérivant f de deux façons différentes, montrer que :
n−1
X
(k + 1)xk =
∀x ∈ R \ {1},
k=0
nxn+1 − (n + 1)xn + 1
.
(x − 1)2
Exercice 7 (coefficients binomiaux, formule de Pascal)
Pn
On fixe un entier m ∈ N. Montrer que ∀n > m,
k=m
k
m
=
n+1
m+1
.
Exercice 8 (coefficients binomiaux, formule du binôme de Newton)
Soit n ∈ N? .
1) Montrer que ∀k ∈ N, 1 6 k 6 n =⇒ nk = nk n−1
k−1 .
P
2) En déduire l’expression de la somme nk=0 k nk en fonction de n.
Exercice 9 (sommes télescopiques, formule du P
binôme de Newton)
Soit n ∈ N? . Pour p ∈ {1, 2, 3, 4}, on pose Sp = nk=1 k p .
1) Rappeler les expressions de S1 , S2 et S3 en fonction de n.
P
2) Simplifier la somme nk=1 (k + 1)5 − k 5 .
3) Pour tout k ∈ N? , développer la quantité (k + 1)5 à l’aide de la formule du binôme de Newton.
P
4) Exprimer la somme nk=1 (k + 1)5 − k 5 en fonction de n et des sommes S1 , S2 , S3 et S4 .
5) En déduire l’expression de S4 en fonction de n.
Exercice 10 (formule du binôme de Newton, formules d’Euler, formule de Moivre)
Soit θ ∈ R.
1) Développer cos(9θ) et sin(9θ).
2) Linéariser cos4 (θ) sin5 (θ) et cos5 (θ) sin4 (θ).
Exercice 11 (formule du binôme
de Newton)
√
√
Montrer que ∀n ∈ N, (3 + 5)n + (3 − 5)n est un entier pair.
Exercice 12 (formule du binôme
de Newton) P
P
Soit n ∈ N? . On pose An = nk=0 nk et Bn = nk=0
n
k
(−1)k .
1) Rappeler les expressions de An et Bn en fonction de n.
2) En calculant de deux façons différentes An + Bn et An − Bn , exprimer les sommes suivantes en
fonction de n :
bn
c
b n−1
c
2 2
X
X
n
n
et
.
2k
2k + 1
k=0
BCPST 1A lycée Hoche 2014-2015
k=0
Sébastien Godillon
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