ISTITUZIONI DI MATEMATICA per SFP, aa2014/15 (1)

ISTITUZIONI DI MATEMATICA per SFP, a.a.2014/15
(1) Enunciare gli assiomi di Peano.
(2) Spiegare che cosa significa sistema decimale posizionale di scrittura dei numeri naturali, e confrontare
tale sistema con altri esistenti.
(3) Dimostrare col principio di induzione che:
a) la somma degli angoli interni di un poligono di n lati ´e (n − 2)π, per ogni n > 2;
b)in un piano, n rette individuano al pi´
u 2n regioni distinte;
c)1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2, per ogni naturale n ≥ 1;
d) 12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6; per ogni naturale n ≥ 1;
e) 13 + 23 + 33 + ... + n3 = n2 (n + 1)2 /4; per ogni naturale n ≥ 1;
f) 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n − 1) = n2 ; per ogni naturale n ≥ 1;
g)1 − xn = (1 − x)(1 + x + x2 + ... + xn−1 ) dove x ´e un numero reale fissato, per ogni naturale n ≥ 2;
h) n3 − n + 6 `e divisibile per 3, per ogni naturale n ≥ 1;
i) 42n+1 + 3n+2 `e divisibile per 13 per ogni naturale n ≥ 1;
l) 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)/3 per ogni naturale n ≥ 1.
(4) Illustrare la fallacia della dimostrazione per induzione dell’affermazione ”tutti i gatti hanno lo stesso
colore”.
(5) Esporre un enunciato equivalente al principio di induzione.
(6) Quando un insieme si dice infinito?
(7) Illustrare il teorema fondamentale di rappresentazione dei numeri naturali.
(8) Le propriet`
a delle operazioni di somma e prodotto sui naturali.
(9) Che cosa ´e una relazione di ordine su un insieme X? Produrre degli esempi.
(10) Che cosa ´e una relazione di equivalenza su un insieme X? Produrre degli esempi.
(11) Esistono due modi naturali di confrontare tra loro i numeri naturali, quali? Illustrarne le caratteristiche.
(12) Costruzione dell’insieme dei numeri interi a partire dai numeri naturali.
(13) Secondo quale principio basilare si definisce la operazione di somma(prodotto) sull’insieme dei numeri interi a partire da quella definita sui numeri naturali? Che significa che la definizione di somma
(prodotto) ´e ben posta? Dimostrare che lo ´e.
(14) Dimostrare che (−1) × (−1) = 1.
(15) Che cosa si intende per divisione euclidea con resto sui numeri interi? Enunciare e dimostrare il relativo
teorema.
(16) Dimostrare il teorema di rappresentazione dei numeri interi.
(17) Dimostrare la validit`
a dell’algoritmo euclideo per il calcolo del MCD di due numeri interi.
(18) Calcolare il MCD delle seguenti coppie di numeri usando l’algoritmo euclideo:
(345678; 4234); (76542; 3456); (128763; 34599); (141504; 15792).
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