Econometria lezione 11 regressione non lineare interazioni tra regressori Econometria lezione 11 AA 2014-2015 Paolo Brunori approssimazione lineare e quadratica Econometria lezione 11 regressione non lineare interazioni tra regressori modello di regressione quadratico Econometria lezione 11 regressione non lineare interazioni tra regressori modello di regressione quadratico Econometria lezione 11 regressione non lineare interazioni tra regressori - il nuovo modello sarà quindi: TestScore = β0 + β1 redditoi + β2 redditoi2 + ui - che segno mi aspetto per β1 e β2 ? - come possiamo verificare che la nostra ipotesi sia corretta? qual’è l’effetto di ∆X su Y ? Econometria lezione 11 regressione non lineare interazioni tra regressori - prendiamo l’esempio del libro (reddito espresso in migliaia di $): TestScore = 607.3 + 3.85redditoi − 0.0423redditoi2 - il reddito passa da 10.000 a 11000 per cui: ˆ = [607.3+3.85×11−0.0423×112 ]−[607.3+3.85×10−0.0423×102 ] ∆Y ˆ = 644.53 − 641.57 = 2.96 ∆Y inferenza su regressori non lineari Econometria lezione 11 regressione non lineare interazioni tra regressori - come si può costruire un intervallo di confidenza per ∆Y data una variazione di X ? - per la regressione lineare: ˆ ∈ [βˆ1 ∆X1 ± 1.96SE(βˆ1 )∆X1 ] ∆Y - come si calcola? metodo 1 si calcola la statistica F per l’ipotesi H0 : β1 + 21β2 = 0 metodo 2 si trasforma la regressione in modo tale da ottenere un coefficiente γ = β1 + 21β2 statistica F per una restrizione su due coefficienti Econometria lezione 11 regressione non lineare interazioni tra regressori ˆ ) = SE(βˆ1 + 21βˆ2 ) - SE(∆Y - si può testare l’ipotesi congiunta: H0 : β1 + 21β2 = 0 - la statistica F è il quadrato della statistica t per la stessa ipotesi: ˆ /SE(∆Y ˆ )]2 F = t 2 = [(βˆ1 +21βˆ2 )/SE(βˆ1 +21βˆ2 ]2 = [∆Y ˆ) = - quindi SE(∆Y ˆ |∆ √Y | F ˆ ) l’intervallo di confidenza - una volta ottenuto SE(∆Y è immediato manipolazione della regressione Econometria lezione 11 regressione non lineare interazioni tra regressori - un’alternativa è riscrivere la funzione di regressione Y = β0 + β1 X + β2 X 2 = = β0 + (β1 + 21β2 )X + β2 (X 2 − 21X ) = Y = β0 + γ1 X + β2 Z - dove Z = X 2 − 21X come procedere? Econometria lezione 11 regressione non lineare interazioni tra regressori 1 identificare una possibile relazione non lineare 2 stimare un OLS con funzione non lineare 3 testare se costituisce un miglioramento rispetto a quella lineare 4 rappresentare quello che stiamo facendo graficamente 5 stimare l’effetto di una variazione di X su Y polinomi Econometria lezione 11 regressione non lineare interazioni tra regressori - se la relazione è non lineare potrebbe essere meglio approssimata da una funzione più complessa di quella quadratica - il modello polinomiale di grado r: Yi = β0 + β1 Xi + β2 Xi2 + ... + βr Xir + ui - stesse tecniche di inferenza usate nel caso lineare quale grado di polinomio usare? Econometria lezione 11 regressione non lineare interazioni tra regressori - cè un trade-off fra precisione e flessibilità della stima - si parte da un grado r elevato e si testa se l’r − esimo coefficiente è significativo - la significatività congiunta degli r coefficienti è testabile: H0 : β2 = 0, β3 = 0, ..., βr = 0 H1 : almeno un βj 6= 0 funzioni di logaritmi Econometria lezione 11 - spesso si esprimono relazioni economiche in termini percentuali: differenziale salariale di sesso, elasticità, ... - l’uso della funzione logaritmica di un regressore ci permette di cogliere una relazione non lineare e di interpretare il coefficiente in termini di variazioni % - la funzione logaritmica è la funzione inversa della funzione esponenziale f (x) = e x → f −1 (x) = loge (x) = ln(x) - ovvero x = ln(e x ) regressione non lineare interazioni tra regressori proprietà di ln Econometria lezione 11 regressione non lineare interazioni tra regressori - ln(1/x) = −ln(x) - ln(ax) = ln(a) + ln(x) - ln(x/a) = ln(x) − ln(a) - ln(x a ) = aln(x) ln e variazioni % Econometria lezione 11 regressione non lineare interazioni tra regressori - la proprietà che ci interessa di più (valida se ∆X è piccolo) ∼ ∆x ln(x + ∆x) − ln(x) = x regressione di funzioni logaritmiche Econometria lezione 11 regressione non lineare interazioni tra regressori - 3 modelli possibile 1. X è espressa in logaritmi Y no 2. Y è espressa in logaritmi X no 3. X e Y sono entrambe espresse in logaritmi modello lineare-logaritmico Econometria lezione 11 regressione non lineare - se X è logaritmica e Y no Yi = β0 + β1 ln(Xi ) + ui - ad una variazione dell’1% di X si associa una variazione di 0.01β1 di Y - infatti ∆X → ∆Y = [β0 + β1 ln(X + ∆X )] − [β0 + β1 ln(X )] = ∆X ∆Y = β1 ln(X + ∆X ) − β1 ln(X ) ∼ = β1 X interazioni tra regressori modello log-lineare Econometria lezione 11 regressione non lineare - se è la Y ad essere espressa in forma logaritmica ma la X no - ln(Yi ) = β0 + β1 Xi + ui - una variazione unitaria di X si associa ad una variazione di 100β1 % di Y - a seguito di ∆X il valore di Y è ln(Y + ∆Y ) ln(Y + ∆Y ) − ln(Y ) = [β0 + β1 (X + ∆X )] − [β0 + β1 X ] ∆Y ∼ = β1 X Y interazioni tra regressori modello log-log Econometria lezione 11 regressione non lineare interazioni tra regressori - nel caso in cui entrambe le variabili siano espresse in termini logaritmici ln(Yi ) = β0 + β1 ln(Xi ) + ui - β è la variazione percentuale di Y dovuta ad una variazione percentuale di X : (Y ,X !) - come si dimostra? due accorgimenti usando i logaritmi Econometria lezione 11 regressione non lineare - gli R2 di due modelli non sono sempre confrontabilie - nel caso log-lineare e il caso lineare-logaritmico ad esempio la varianza da spiegare cambia - inoltre nel caso si voglia valutare l’effetto di ∆X su Y originario si incorre in un problema: Yi = e β0 +β1 Xi +ui - quando stimiamo ∆ln(Y ) possiamo basarci sull’assunzione: E(ui |Xi ) = 0 9 E(e ui |Xi ) = 0 - per questo motivo generalmente si usano valori predetti mantenendoli in forma logaritmica interazioni tra regressori interazioni tra regressori Econometria lezione 11 regressione non lineare interazioni tra regressori Yi = β0 + β1 D1,i + β2 D2,i - dove D1,i = laureata/o e D2,i = sesso - in questo modello la laurea ha un effetto identico per i due gruppi - è possibile considerare un possibile effetto di interazione fra le due variabili: Yi = β0 + β1 D1,i + β2 D2,i + β3 (D1,i × D2,i ) l’effetto di avere una laurea Econometria lezione 11 regressione non lineare interazioni tra regressori Yi = β0 + β1 D1,i + β2 D2,i + β3 (D1,i × D2,i ) - E(Y |D1,i = 0, D2,i = d2 ) = β0 + β1 × 0 + β2 d2 + β3 × 0 × d2 = β0 + β2 d2 - E(Y |D1,i = 1, D2,i = d2 ) = β0 + β1 + β2 d2 + β3 × d2 = β0 + β1 + (β2 + β3 )d2 - l’effetto di avere o meno una laurea D1 dipende dal sesso (D2 ): β1 + β3 d2 interazione fra variabili binarie e continue Econometria lezione 11 regressione non lineare - D = laurea o meno, X =esperienza lavorativa. - modello base: Yi = β0 + β1 Xi + β2 Di + ui - in pratica stiamo stimando due rette parallele di regressione - ma nella realtà le prospettive di carriera dipendono dall’istruzione - anche qui si può aggiungere un termine di interazione Yi = β0 + β1 Xi + β2 Di + β3 Di Xi + ui interazioni tra regressori Econometria lezione 11 regressione non lineare - se si tratta di un laureato/a la funzione di regressione è: Yi = (β0 + β2 ) + (β1 + β3 )Xi + ui - se non è laureato/a: Yi = β0 + β1 Xi + ui - per cui ho intercette diverse e pendenze diverse interazioni tra regressori interazioni fra variabili continue Econometria lezione 11 regressione non lineare - è possibile che due variabili continue interagiscano nel determinare Y - in questo caso si usa lo stesso trucco: Yi = β0 + β1 X1,i + β2 X2,i + β3 X2,i X1,i + ui - ∆X implica una variazione di Y pari a: ∆Y |∆X1 = (β1 + β3 X2 )∆X1 - che appunto dipende dal valore di X2 interazioni tra regressori interazioni fra variabili continue cnt. Econometria lezione 11 regressione non lineare interazioni tra regressori - è possibile dimostrare che l’effetto di una variazione congiunta ∆X1 e ∆X2 è: ∆Y = (β1 +β3 X2 )∆X1 +(β2 +β3 X1 )∆X2 +β3 ∆X1 ∆X2
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