obligatoire pour les futurs S - 1 ES

Objectif 1S : Vecteurs compléments
Lecture 3
1) On choisit (B, D, C) comme repère, lire graphiquement les coordonnées des points
2) On choisit (C, B, A) comme repère, lire graphiquement les coordonnées des points
3) On choisit (B, E, C) comme repère, lire graphiquement les coordonnées des points
Lecture 4
Toutes les coordonnées considérées sont entières.
Le plan est muni du repère (O, I, J)
1) Placer les points C(2 ; 1) D(-2 ; 3)
2) Lire graphiquement les coordonnées des points A et B.

3) Lire graphiquement les coordonnées du vecteur AB
   2 
4) Construire un représentant du vecteur u  
 1 
Lecture 5
Le plan est muni du repère orthonormal (O, I, J)
Comment mesurer la longueur EF avec une règle ?
Coordonnées 3
Partie A


Partie B

Le plan étant muni d’un repère (O, i , j )
A(3 ; -2), B(4 ; 2), C(-1 ; -1),
D(-1 ; 2)
Faire une figure et placer les points. En examinant la figure (pas de calculs), répondre aux questions :
 Le triangle BDC semble-t-il rectangle ?
 Le triangle ABC semble-t-il rectangle ?
 Le triangle ABC semble-t-il isocèle ?

(O, i , j ) étant un repère orthonormé, on donne :
Quelle est la nature du triangle ABC ?
A(3 ; -2),
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B(4 ; 2),
C(-1 ; -1).
Le 01/04/2015
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Construction 2
ABC est un triangle.






Soit E tel que : 2 AE  EB  EC . Exprimer BE en fonction de BA et BC . Construire E.
Construction 3
En physique, on représente parfois une force par un vecteur.
 La direction du vecteur est la direction selon laquelle s’exerce la force.
 Le sens du vecteur est le sens selon lequel s’exerce la force.
 La longueur du vecteur est proportionnelle à l’intensité de la force.
Deux forces sont déjà exercées sur le point A.

1) Combien de fois l’intensité de f 2 est-elle plus grande que

l’intensité de f 1
2) Pour obtenir le même effet, au lieu d’exercer deux forces, on

pourrait en appliquer une seule. Représenter là par un vecteur f .
3) Représenter la force manquante pour que le point A reste
immobile.
Réponses
Corrigé lecture 3

B(0, 0)
D(1, 0)
C(0, 1)
A(-1, 1)
E(-2, 0)

C(0, 0)
B(1, 0)
A(0, 1)
D(1, -1)
E(1, 2)

B(0, 0)
E(1, 0)
C(0, 1)
D(-0,5, 0)
Corrigé lecture 4
Question 2
A 3;3
B 1;2
A(0,5, 1)
Question 4
On peut remarquer que d’après les


coordonnées : u   AB
Question 3
  2 
AB  
  1
Votre représentant a même direction,
même longueur mais sens contraire

que AB
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Corrigé lecture 5
Mesurer une valeur approchée
Pour vérifier un calcul de longueur, on peut mesurer sur la
figure … mais en prenant soin d’utiliser la règle adaptée à
l’unité choisie !
Dans notre exemple, il faut utiliser une règle construite à partir du même quadrillage que la figure.
Calculer rapidement
Attention, les coordonnées du vecteur sont approximatives car lues sur la figure.
  3 
On lit graphiquement les coordonnées du vecteur EF  
  5
On en déduit : EF  3 2   5  16  25  41
2
Coordonnées 3
Partie A
Si vous avez répondu « oui » à une des trois questions, vous avez tracé un repère particulier : un repère
orthonormal. Dans un repère quelconque, les triangles sont quelconques !
ABC n’est ni isocèle, ni
rectangle
BCD n’est pas rectangle
Partie B
Le repère est orthonormal, on va pouvoir utiliser la formule pour les distances et la réciproque du théorème de Pythagore
  x  x 
1
A
    donc AB  ( x B  x A ) 2  ( y B  y A ) 2  12  4 2  17
AB  B
 yB  y A   4
  - 4 
AC   donc AC  (4) 2  12  17
1
  - 5 
BC   donc BC  (5) 2  (3) 2  34
 - 3
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
Le triangle est isocèle en A car AB  AC

Comme
BC 2  34
donc BC 2  AC 2  AB 2
2
2
AB  AC  17  17  34
d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est aussi rectangle en A
Construction 2



Dans l’égalité 2 AE  EB  EC le point inconnu E apparaît dans trois vecteurs : pour le construire, il faut donc
transformer l’égalité. On commence par faire apparaître le point E seulement avec le point B.



      
2 AE  EB  EC

2 AB  BE   EB EB BC (relation de Chasles)















2 AB  2 BE  2 EB  BC

2 BE  2 EB  BC  2 AB

2 BE  2 BE  BC  2 BA

4 BE  BC  2 BA

1  1 
BE  BC  BA
4
2




Autre méthode :
On commence par faire apparaître le point E seulement avec le point A.




2 AE  EB  EC








2 AE  EA AB  EA AC


4 AE  AB  AC

1  1 
AE  AB  AC
4
4

(relation de Chasles)
(ajouter 2 AE à chaque membre puis simplifier)
(en divisant chaque membre par 4)
Construction 3



1) La longueur du vecteur f 1 est appelée sa norme. On note f1 . Posons :
f1  a
Dans le triangle gris, d’après le théorème de Pythagore :

f 2  a 2  ( 2a ) 2  5  a 2  a 5
(Attention :
a 2  a car a est positif)


En conclusion, la force f 2 est environ 2,24 fois plus intense que la force f 1 .
2) Pour obtenir le même effet, au lieu d’exercer les deux forces, on pourrait en appliquer



une seule : f  f1  f 2

Il suffit de construire f
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
3) Il suffit de tracer  f

Ainsi, la somme des force sera nulle



 f  f1  f 2  0
Le point A reste immobile.
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