ECS 3 Semaine de colle no 17 2013 – 2014 du 20 au 24 janvier Toutes les définitions /énoncés du cours sont à connaître précisément. Les démonstrations/exemples vus en classe peuvent être proposées comme questions de cours 1 Espaces vectoriels Exemple 2 (n, p) est un K-ev. Dans tout ce qui suit K = R ou C. 1.1 Mn,p (K) . — Pour tous n, p ∈ N∗ , l’ensemble des matrices de taille La structure d’espaces vectoriel Exemple 3 K[X] . — L’ensemble des polynômes à coefficients dans K est un K-ev. Définition Exemple 4 RN . — L’ensemble des suites réelles, noté RN , est un R-ev. Un espace vectoriel sur K, ou K-espace vectoriel (en abrégé K-ev), est un ensemble non vide E muni : i) d’une addition interne notée « + » i.e. une application E × E −→ E (~ x, y~) 7−→ x~ + y~ E ii) d’une multiplication externe notée « · » i.e. une application K × E → (λ, y~) 7→ λ · y~ qui vérifient les propriétés suivantes : i) 1. Commutativité : ∀(~ x, y~) ∈ E 2 , x~ + y~ = y~ + x~. 2. Associativité : ∀(~ x, y~,~z) ∈ E 3 , (~ x + y~) + ~z = x~ + (~ y + ~z). 3. Vecteur nul : il existe un unique élément de E, noté ~0E , tel que : ∀~ x ∈ E, x~ + ~0E = ~0E + x~ = x~. 4. Vecteur opposé : pour tout x~ ∈ E, il existe un unique élément de E, noté −~ x, tel que : x~ + (−~ x) = (−~ x) + x~ = ~0E . ii) 1. ∀~ x ∈ E, 1 · x~ = x~ 2. ∀~ x ∈ E, ∀(λ, µ) ∈ K2 , (λ + µ) · x~ = λ · x~ + µ · x~ 3. ∀(~ x, y~) ∈ E 2 , ∀λ ∈ K, λ · (~ x + y~) = λ · x~ + λ · y~ 4. ∀~ x ∈ E, ∀(λ, µ) ∈ K2 , λ · (µ · x~) = (λµ) · x~ = µ · (λ · x~) • Vocabulaire. Les éléments de E sont appelés vecteurs, les éléments de K sont appelés scalaires. Exemple 5 F (I, R) . — L’ensemble F (I, R) des fonctions de I dans R est un R-ev. 2 Sous-espaces vectoriels Dans tout ce qui suit E désigne un espace vectoriel. 2.1 Définition Définition Soit F une partie de E. On dit que F est un sous-espace vectoriel (sev) de E si la restriction de + et de · de E à F confèrent à F une structure d’espace vectoriel. Cela équivaut à • F , ∅, • F est « stable par + » : ∀(~ x, y~) ∈ F 2 , x~ + y~ ∈ F, • F est « stable par . » : ∀λ ∈ K, ∀~ x ∈ E, λ · x~ ∈ F. Théorème : Critère pratique Une partie F de E est un sev de E si et seulement si : i) F , ∅. ii) ∀(~ x, y~) ∈ F 2 , ∀λ ∈ K, λ · x~ + y~ ∈ F. Proposition : Règles de calculs Soient x~, y~ ∈ E et λ, µ ∈ K. On a 1. λ · x~ = ~0E ⇐⇒ λ = 0 ou x~ = ~0E 2. (−λ) · x~ = λ · (−~ x) = −(λ · x~) 3. λ · (~ x − y~) = λ~ x − λ~ y (λ − µ) · x~ = λ~ x − µ~ x • Remarque. Tout sev de E possède le vecteur nul. Par contraposée, si ~0E < F, alors F n’est pas un sev de E. 2.2 Sous-espaces vectoriels engendrés Définition 1.2 Exemples de références Une famille (finie) de vecteurs de E est une n-liste (~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n ) de vecteurs de E. Le nombre n de vecteurs de cette famille est appelé le cardinal de la famille. Exemple 1 Kn . — pour tout n ∈ N∗ l’ensemble des n-listes est un K-ev. Page 1/3 Définition Définition Soit (~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n ) une famille de vecteurs E. Un vecteur x~ est une combinaison linéaire de (~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n ) s’il existe n scalaires α1 , α2 , . . . αn tels que n P x~ = α1 u ~1 + α2 u ~2 + · · · + αn u ~n = αi u ~i . • Une famille (~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n ) de vecteurs de E est une base de E si : – Tout vecteur de E est d’une manière unique combinaison linéaire de (~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n ), ou encore, – Pour tout x~ ∈ E, il existe une unique n-liste (λ1 , λ2 , . . . , λn ) ∈ Kn telle n P que x~ = λi ui . i=1 Théorème – définition i=1 • Les scalaires αi s’appellent alors les coordonnées de x~ dans la base (~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n ) Soit (~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n ) une famille de E. On note Vect(~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n ) l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires de (~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n ) i.e. n P x~ ∈ Vect(~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n ) ssi il existe α1 , α2 , . . . , αn ∈ K tels que x~ = αi u ~i • Remarque. Que se passe-t-il lorsque l’on ajoute/enlève des vecteurs dans une famille génératrice ? • Ajouter ne pose pas de problème. Toute sur-famille d’une famille génératrice est génératrice : si (~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n ) est une famille génératrice, alors pour tout v~ ∈ E, (~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n , v~) est une famille génératrice. • On peut enlever sous condition : i=1 Vect(~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n ) est un sev de E, appelé sous-espace vectoriel engendré par (~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n ). Proposition : Propriétés du « Vect » Soit (~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n ) une famille de vecteurs de E. i) Le sev Vect(~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n ) contient les vecteurs u ~1 , u ~2 , . . . et u ~n . ii) Vect(~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n ) est le « plus petit » sev contenant les vecteurs u ~1 , u ~2 , . . . , u ~n : Si F est un sev contenant u ~1 , u ~2 , . . . et u ~n , alors Vect(~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n ) ⊂ F Si (~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n ) est une famille génératrice et si u ~n est combinaison linéaire de (~ u1 , . . . , u ~n−1 ) alors (~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n−1 ) est encore une famille génératrice. 3.2 • Méthode : Pour montrer qu’une partie F est un sev de E, il peut être utile de montrer que F = Vect(~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n ). 3 Familles remarquables de vecteurs Kn Pour tout i ∈ ~1 , n, on pose ~ei = (0, . . . , 0, 1, 0 . . . , 0) (le coefficient d’indice i vaut 1 et tous les autres 0). La famille (~e1 ,~e2 , . . . ,~en ) est une base de Kn , appelée base canonique. ~ij la matrice dont le coefficient Mn,p (K) Pour tout (i, j) ∈ ~1 , n × ~1 , p, on note E Ici E désigne un K-ev. 3.1 Bases canoniques des espaces vectoriels de références d’indice (i, j) vaut 1 et tous les autres 0. La famille de matrices (Ei,j )1≤i≤n est Familles génératrices, bases 1≤j≤p une base de Mn,p (K), appelée base canonique. Définition Kn [X] La base canonique de Kn [X] est la famille de (n + 1) polynômes Une famille (~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n ) de vecteurs de E est dite génératrice si : • Tout vecteur de E est combinaison linéaire de (~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n ) ou • Vect(~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n ) = E ou encore n P • Pour tout x~ ∈ E, il existe une n-liste (λ1 , λ2 , . . . , λn ) ∈ Kn telle que x = λi ui (1, X, X 2 , . . . , X n ). i=1 2/3 3.3 Familles libres • Exemples élémentaires de familles liées 1. Toute famille contenant le vecteur nul est liée. Définition 2. Toute famille contenant deux fois le même vecteur est liée. Plus généralement : • Une famille (~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n ) de vecteurs de E est dite libre si la seule combinaison linéaire de (~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n ) donnant le vecteur nul est celle où tous où Théorème tous les coefficients sont nuls. Autrement dit : n P i=1 Une famille de vecteurs est liée si et seulement si l’un au moins des vecteurs est combinaison linéaire des autres. αi u ~i = ~0E =⇒ α1 = α2 = · · · = αn = 0 • On dit qu’une famille (~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n ) est liée (ou que les u ~i sont linéairement dépendants) si elle n’est pas libre i.e. si il existe une famille de scalaires n P (α1 , α2 , . . . , αn ) non tous nuls tels que αi u ~i = ~0E . • Lien avec les bases Théorème Une famille est une base de E si et seulement si elle est à la fois libre et génératrice. i=1 Proposition : Cas simples de familles libres Proposition 1. Famille d’un seul vecteur La famille à un seul élément (~ u ) est libre ssi u ~ , ~0E . 2. Famille de deux vecteurs La famille (~ u , v~) est libre ssi u ~ et v~ ne sont pas colinéaires i.e. si on n’a pas u ~ = λ~ v ou v~ = λ~ u. Si (~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n ) est une famille libre, alors c’est une base du sev F = Vect(~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n ). L’adresse de la page des maths est : http://mcathala.perso.math.cnrs.fr/ecs1_ozenne.html 3/3
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