1 sinxcosx - SUUGAKU.JP

年番号
1
¼
1
(0 < x <
) と直線
sin x cos x
2
y = a の交点の x 座標を ®; ¯ (® < ¯) とする．以下の問いに答えよ．
a を a > 2 である実数とする．xy 平面上の曲線 C : y =
4
a; b は定数であり，0 < a < b とする．定積分
I=
(1) tan ® および tan ¯ を a を用いて表せ．
(2) C と x 軸，および 2 直線 x = ®，x = ¯ で囲まれた領域を S とする．S の面積を a を用いて
氏名
Z
1
0
a1¡t bt dt
について，次の問に答えよ．
表せ．
(1) I を求めよ．
(3) S を x 軸の周りに回転して得られる立体の体積 V を a を用いて表せ．
(2) 0 5 t 5 1 のとき，
（熊本大学 2014 ）
B
a1¡t bt + at b1¡t = 2 ab
2
xy 平面上で，媒介変数 µ により
x=
B
cos 2µ cos µ;
y=
B
p
であることを示せ．また，I > ab を示せ．
cos 2µ sin µ
#¡
¼
¼
;
5µ5
4
4
(3) 0 < t < 1 とする．x > 1 のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．
xt < 1 + t(x ¡ 1)
と表される曲線を C とする．
(1) 曲線 C 上で y 座標が最大となる点の座標を (p; q) とする．(p; q) を求めよ．
(4) (3) の不等式を利用して，I <
a+b
を示せ．
2
(2) 曲線 C で囲まれた図形のうち x = p の部分の面積を求めよ．ただし，p は (1) で求めた x 座
（佐賀大学 2015 ）
標である．
（埼玉大学 2014 ）
3
5
連続関数 f(x) は次の条件を満たす．
f(x) = 1 +
Z
(1) f(x) の極値を求めよ．
x
(x ¡ t)f(t) dt
0
(2) a を a = 0 となる実数とし，I(a) =
f0 (x) とおくとき，
Z
a
0
2
e¡x dx とする．このとき，定積分
Z
a
0
2
x2 e¡x dx を
a; I(a) を用いて表せ．
このとき，次の問いに答えよ．
(1) Á(x) = f(x) +
2
関数 f(x) = (¡4x2 + 2)e¡x について，次の問いに答えよ．
(3) 曲線 y = f(x)，x 軸，y 軸および直線 x = 5 で囲まれる部分の面積を求めよ．
Á0 (x)
を求めよ．
Á(x)
（新潟大学 2014 ）
(2) f(x) を求めよ．
（鳥取大学 2015 ）
6
関数 y =
1
のグラフ C について，次の問いに答えよ．
ex + e¡x
9
(1) C の変曲点のうち，x 座標が最大となる点 P の x 座標を求めよ．
¼
とし，曲線 y = 1 ¡ cos x (0 5 x 5 a) を C とする．0 < t < a とし，原点と C
2
上の点 (t; 1 ¡ cos t) を通る直線を ` とおくとき，次の問いに答えよ．
0<a5
(1) 曲線 C と直線 ` とで囲まれた部分の面積を S1 (t)，t 5 x 5 a の範囲で C と ` と直線 x = a と
(2) (1) で求めた P の x 座標を b とするとき，
で囲まれた部分の面積を S2 (t) とおくとき，S1 (t) + S2 (t) を求めよ．
tan µ = eb
(2) S1 (t) + S2 (t) を最小とする t の値を t0 とするとき，t0 を a を用いて表せ．
¼
; に対し，tan 2µ および µ の値を求めよ．
2
(3) 上の b に対する直線 x = b と x 軸，y 軸および C で囲まれた図形の面積を求めよ．
をみたす µ #0 < µ <
S1 (t0 ) ¡ S2 (t0 )
a3
a5
a3
< sin a < a ¡
+
(a > 0) は用
を求めよ．ただし，a ¡
3
3!
3!
5!
a
a!+0
いてよい．
(3) lim
（金沢大学 2014 ）
7
（旭川医科大学 2014 ）
x > 0 において，つねに正の値をとる連続な関数 f(x) がある．xy 平面において，0 < a < b
をみたすすべての実数 a; b に対して，曲線 y = f(x)，x 軸，直線 x = a および直線 x = b で
囲まれた部分の面積 S は
S=
1
1
¡
a
b
であるとする．
(1) f(x) を求めよ．
10 連続関数 f(x) に対して v(x) =
(2) c > 0 とする．曲線 y = f(x) 上の点 (c; f(c)) における接線，x 軸および y 軸で囲まれた三
角形の面積を T とするとき， lim T を求めよ．
c!1
（愛知工業大学 2014 ）
Z
x
0
et f(x ¡ t) dt とする．このとき，次の問に答えよ．
(1) f(x) = x のとき，v(x) を求めよ．
(2) v(x) + f(x) = sin4 x のとき，v(x) を求めよ．
f(x)
(3) v(x) + f(x) = sin4 x のとき，lim
を求めよ．
x
x!0
（佐賀大学 2014 ）
8
関数 f(x) = log(1 +
(1)
Z
1
0
x2 ) について，次の問いに答えよ．
log(1 + x2 ) dx を求めよ．
(2) 導関数 f0 (x) の増減を調べ，y = f0 (x) のグラフの概形をかけ．
(3) 曲線 C : y = f(x) と曲線 C の互いに直交している 2 本の接線とで囲まれる図形の面積 S を求
めよ．
（旭川医科大学 2014 ）

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