解析入門演習問題5（2016年後期半年使用）

練習問題５（科目名解析入門ＩＩＣ/１１月７日）
出題者澤野嘉宏
氏名合計点点
学修番号 ○ １５１７２０ ○ １５１７５０ ○ １１７（その他）.
1. 1 の 5 乗根
１８ページ問１．１６練習問題Ｂ（ＰＤＦの最後に解答あり）も必要に応じて参照，類題
多数
2
2
問題 1.1. α = cos π + i sin π とおく．
5
5
(1) (z − α)(z − α2 )(z − α3 )(z − α4 ) を整数係数の z の多項式としてあらわせ．
(2) 1 + α + α2 + α3 + α4 を計算せよ．
2
4
6
8
(3) cos π + cos π + cos π + cos π を計算せよ．
5
5
5
5
(4) α8 + α9 + α31 + α32 を計算せよ．
2. テーラー展開
∞
∞
∞
∑
∑
∑
問題 2.1. ez , sin z, cos z を与える級数を【ア】
an z n 【イ】
an z 2n 【ウ】
an z 2n+1 の
n=0
n=0
n=0
形のうちのどれかで表せ．また，
【ア】，
【イ】，
【ウ】どの形式を用いた場合でも，ez , sin z, cos z
のそれぞれについて，a0 , a1 , a2 を具体的な値を求めよ．
3. 線積分
(1) a → b は点 a から点 b までの線分を表す．
(2) ∂∆(a, r) は点 a 中心，半径 r > 0 の円周を表す．
６３ページ例４．３∼４．５，例題２９
問題 3.1. 次の線積分を求めよ．
∫
z dz,
(1)
1→1+i
∫
(2)
∫
z dz,
2→1+i
(z − 2) |dz|
(3)
2→2+2i
６３ページ例４．２，例題２８
1
練習問題５
2
問題 3.2. 次の線積分を求めよ．
I
dz
(1)
,
∂∆(1) z
I
(2)
∂∆(3,2)
dz
,
z−3
I
(3)
∂∆(i,4)
dz
z−i
６３ページ例４．３
問題 3.3. 次の線積分を求めよ．
I
I
dz
(1)
, (2)
(z − 3) dz,
2
∂∆(6) z
∂∆(3,8)
I
(3)
∂∆(−i,2)
dz
z+i
６８ページ例題３０
問題 3.4.
I
ez dz を求めよ．
(1) ez が正則関数であることを利用して，
∂∆(1)
I
sin z dz を求めよ．
I∂∆(1,1)
cos z dz を求めよ．
(3) cos z が正則関数であることを利用して，
∂∆(3,5) I
1
1
(4) は Re(z) > 0 では正則であることを利用して，
dz を求めよ．
z
z
∂∆(5,3)
(5) tan z は 2|Re(z)| < π では正則である．このことを利用して，C を
I 1, 1 + i, 1 − i, −1 −
(2) sin z が正則関数であることを利用して，
i, −i, 0, 1 をこの順番に回ることによって得られる折れ線として，
tan z dz を求めよ．
C
７２ページ定理４．１２
I
問題 3.5. 次の線積分の値を求めよ．(1)
|z|=3
1
dz (2)
z−2
I
|z−5|=3
1
dz (3)
z−3
I
|z+7|=10
1
dz
z+1
７２ページ定理４．１３
問題 3.6. C を 1 − i, 1 + i, 1 − i, −1 −I i, 1 − i をこの順番に回ることによって得られる折れ線と
I
I
ez
cos z
1
して，次の線積分の値を求めよ．(1)
dz (2)
dz (3)
dz
z
|z|=6 z − 2
C
C z+1
７２ページ例題３１
I
問題 3.7. 次の線積分の値を求めよ．
|z−1|=2
1
dz
z(z + 1)
練習問題５
問題 1.1. (1) z 4 + z 3 + z 2 + z + 1, (2) 0, (3) −1, (4) −1
問題 2.1. ez =
∞
∞
∞
∑
∑
∑
zn
(−1)n z 2n+1
(−1)n z 2n
, sin z =
, cos z =
n!
(2n + 1)!
(2n)!
n=0
n=0
n=0
1
• ez に対しては a0 = a1 = 1, a2 =
2
1
1
• sin z に対しては a0 = 1, a1 = − , a2 =
6
120
1
1
• cos z に対しては a0 = 1, a1 = − , a2 =
2
24
問題 3.1.
∫
(1)
∫
1
z dz =
∫1→1+i
(1 + it)i dt = i +
∫0 1
1
2
1
1
(2 + (−1 + i)t)(−1 + i) dt = −1 + i − i = −1 + i
2
2
0
√
[
]2
∫2→1+i
∫ 2 √
√
16
1
2
−8
(3)
(4 + t2 )3 =
(z − 2) |dz| =
i
it 4 + t2 i dt = i
3
3
2→2+2i
0
0
(2)
z dz =
問題 3.2. (1), (2), (3) 2πi
問題 3.3. (1), (2) 0, (3) 2πi
問題 3.4. (1), (2), (3), (4), (5) 0
問題 3.5. (1) 2πi, (2) 2πi, (3) 2πi
問題 3.6. (1) 2πe6 i, (2) 2πi, (3) 2πi
問題 3.7. 0
3

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